方程的根与函数的零点教案设计 方程的根与函数的零点说课教案优推10篇

通过分析方程的根与函数的零点的关系，帮助学生理解二者的本质联系及其在实际问题中的应用，如何更好地掌握这一知识点呢？以下是网友为大家整理分享的“方程的根与函数的零点教案设计”相关范文，供您参考学习！

方程的根与函数的零点教案设计 篇1

一、教材分析

“方程的根与函数的零点”中主要教学内容是函数零点的定义和零点存在性定理。函数零点的定义将数与形，函数与方程有机地联系在一起，它的发现及应用过程是培养学生化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的优质载体。而零点存在性定理的得出也要通过对这三种数学思想的应用来加以实现,所以本节课的学习，对于提高学生的直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括等数学思维能力有着重要的意义。

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础、可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

二、学情分析

学生之前已经学习了函数的图象和性质，理解了函数图象与性质之间的关系，已经能初步用数形结合思想解决简单问题，这为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持；学生有一定的方程知识的基础，知道从特殊到一般的归纳方法，这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据。但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数零点的存在性时造成了一定的难度，又加上这种函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。因此，教学中尽可能提供学生动手实践的机会，利用信息技术工具，让学生从亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程，通过直观感受发现并归纳出函数的零点概念；在函数零点存在性判定方法的教学时，应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维，引导学生通过观察、计算、作图，思考，理解问题的本质。

三、教学目标

（1）知识与技能：理解函数（结合已学的函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件。

（2）过程与方法：通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识。

（3）情感、态度与价值观：让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

四、教学重点、难点

重点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。

难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

五、教学过程

1、 巧设疑云，联系旧知

活动1：解关于x的方程2013×2-2015x+1=0

意图：通过一个学生熟悉又不容易解的方程，让学生了解学习本节内容的必要性。

师生活动预设：学生不情愿解方程。要解一个方程，一般要先判断这个方程的根的情况，也就是要先判断方程的根是否存在，如果存在，还要判断有几个根。

问题1：你是如何判断这个方程的根的情况的？还有其他方法吗？

意图：联系旧知，以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

活动2：方程的根与相应函数图象的关系

完成下表，并思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交点横坐标之间的关系是什么。

意图：回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。

（预设）生：上讲台填表。方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标。

2、转化问题，形成概念

问题2：上述结论对其他函数成立吗？为什么？

在《几何画板》下展示函数的图象，观察函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系。

函数y=f(x)的图象与x轴交点(x0,0)，即f(x0)=0。该方程有几个根，y=f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标。

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

师生活动预设：结合图像提出概念。

1、函数零点概念：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点、

2、方程的根与函数零点的关系

3、探索新知，思形想数

课件展示核心问题：如何探求一般函数f(x)的零点？

问题3：以后我们求方程的根或函数零点是不是只需画出函数图像就行呢？

活动3：请分小组分析下面关于x的方程的根的情况：

意图：让学生自己动手画函数图象，发现图像不好画，画不准确！

师：我们所作的函数图象只能反映函数一部分的情况，如果根据一个图象就作出判断可能就会片面。

当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导：

问题4、当遇到这么复杂的问题，我们一般应该怎么办？

意图：以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。

问题5、以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

意图：以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

4、归纳定理，深刻理解

活动4：观察图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃？为什么？（假设气温是连续变化的）

给出零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

若学生不能很好地归纳出定理，老师可以这样引导：

问题6：结合二次函数的分析和画气温图，函数f(x)满足哪些要求时一定有零点？

展示学生的气温图，抛出一系列问题：

问题①：若函数y=f(x)不是连续函数，定理的结论还成立吗？请举例说明。

问题②：若f(a)f(b)>0，函数y=f(x)在区间在[a,b]上一定没有零点吗？

问题③：若f(a)f(b)<0，函数y=f(x)在区间在[a,b]上只有一个零点吗？可能有几个？

问题④：若f(a)f(b)<0，增加什么条件可确定函数y=f(x)在区间在[a,b]上只有一个零点？

意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。

5、归纳总结，梳理提升

教师：本节课最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想。数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！

方程的根与函数的零点教案设计 篇2

教学内容：《人教课标A版数学必修I》的第三章3、1、1方程的根与函数的的零点。

教学目标：

知识和技能目标：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会在某

区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

过程与方法目标：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程

为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区间上图象连续

的函数存在零点的判定方法；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的

归纳思想。

情感、态度、价值观目标：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和

价值、在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思

维的思想，以及分析问题解决问题的能力。

教材分析：

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是出等数学与高等数

学的连接纽带。在现实生活实践中，函数与方程都有着十分的应用，在注重理论与实践

相结合的今天，有着无可替代的作用，在加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之

一。因此函数与方程在高一乃止整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。

本节课要求学生通过对二次函数的图象的研究，去判断一元二次方程根的存在性以

及根的个数，近而了解函数的零点与一元二次方程根的联系。它既揭示了初中两大知识

方程与函数的内在联系，是对本章函数知识的加深与总结，同时也是对函数知识的总深

拓展。把函数在解方程中加以应用，从而还可以渗透中学的重要数学思想：方程与函数

的思想，数形结合的思想。

教学重点难点：

1、重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

2、难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

教学方法：采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。

方程的根与函数的零点教案设计 篇3

一、教学目标

学生能够理解方程的根与函数的零点的概念。

学生能够掌握求方程的根与函数的零点的方法。

学生能够运用所学知识解决相关问题。

二、教学重点

方程的根与函数的零点的概念。

求方程的根与函数的零点的方法。

三、教学难点

如何区分方程的根与函数的零点。

如何灵活运用求方程的根与函数的零点的方法。

四、教学方法

讲解法：教师通过讲解、示范，帮助学生理解方程的根与函数的零点的概念和求解方法。

启发式教学法：教师通过提问、讨论等方式，引导学生思考，探究问题，得出结论。

练习巩固法：通过课堂练习、课后作业等形式，巩固学生的所学知识。

五、教学时间安排

40分钟

六、教学过程

1、 导入新课

教师通过提问、演示等方式，引导学生回顾方程和函数的有关知识，并引入方程的根与函数的零点的概念。

2、 讲解新知

(1) 讲解方程的根与函数的零点的概念。

方程的根是指使方程成立的实数或虚数。

函数的零点是指使得函数值等于零的自变量的值。

(2) 讲解求方程的根与函数的零点的方法。

求方程的根的方法：

因式分解法

配方化平方法

求根公式

图形法

求函数的零点的方法：

设函数等于零，解方程

图形法

3、 课堂练习

教师布置课堂练习，让学生巩固所学知识。

4、 课后作业

教师布置课后作业，进一步巩固学生的所学知识。

七、教学反思

在本节课的教学中，我主要采用了讲解法、启发式教学法和练习巩固法等教学方法，取得了较好的教学效果。学生能够理解方程的根与函数的零点的概念，掌握求方程的根与函数的零点的方法，并能够运用所学知识解决相关问题。

但是，在教学中也存在一些不足之处，例如：

对学生的个体差异考虑不够，导致部分学生理解不够深刻。

课堂练习的难度不够，没有充分发挥学生的思维能力。

在以后的教学中，我将改进不足之处，进一步提高教学质量。

八、教学延伸

在教学完方程的根与函数的零点之后，还可以进一步拓展以下内容：

方程的多重根与函数的重零点

方程的根与函数的单调性

不定方程

方程的根与函数的零点教案设计 篇4

（一）引入新课

首先是导入环节。我会带领学生复习到目前为止所学过的函数都有哪些。根据学生的举例我会提问：若将函数改写成方程，是否都可以求解？如若不能，能否判断出该方程是否有解？学生很容易发现，对于复杂方程或未接触过的方程，是没有办法求解的，由此引发认知冲突，进而进入本节课的学习。

通过这样的导入，由已知到未知，学生能够感受到前后知识之间的联系以及知识的螺旋上升，有效的激发学生的好奇心，为新课的展开做好铺垫。

（二）讲解新知

接下来是新知讲解环节。

我会请学生思考一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象有什么关系，学生是无法一下子就得出结论的，因此我会紧接着给出几组具体的一元二次方程及其相应的二次函数，并请学生自行探究。

一元二次方程与二次函数学生是非常熟悉的，通过实例的探究，学生能够想到，一元二次方程的根就是对应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标。

此时，我会说明，上述关系可以推广到一般情形。同时给出函数零点的概念：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做y=f(x)的零点。

为加深学生对于新概念的理解，我会请学生根据概念说一说，函数的零点是实数还是点，方程的根、函数的零点以及函数图象三者之间有什么关系。

结合前面的探究，学生能够说出，函数的零点是一个实数不是点，方程f(x)=0有实数根表示函数y=f(x)的图象与x轴有交点，也就是说函数y=f(x)有零点。我会进一步说明，一般地，对于不能用公式法求根的方程，可将它与函数联系起来，利用函数性质找出零点，从而求出方程的根。

接下来，我会设置小组活动，请学生观察二次函数f(x)=x²-2x-3的图象在区间[-2,1]上是否存在零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，说一说特点，并思考在区间[2,4]上是否也存在这种特点。再任意画几个函数图象并观察，看看是否能得出同样的结果。在观察的基础上给出猜想。

学生经历了大量的观察分析后，可以看出，若函数在某一区间内存在零点，则区间端点函数值的乘积小于0。我会结合学生的回答加以补充：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

对于这一判定方法，我会请学生思考，在其他条件不变的情况下，函数图象不连续是否可以；f(a)·f(b)＜0是否可以；满足以上两个条件的函数是否只有一个零点。并结合具体例子说明理由。

通过反例的举出，学生能进一步理解该判定方法。

以上整个教学过程，通过教师的设问帮助学生一步步全面深入地领悟新知，经历从特殊到一般的思维过程，且通过对新知的辨析，培养了学生的辩证思维，从多角度进行思考。

（三）课堂练习

为使学生充分感受到所学知识的实用性，也为了进一步的巩固新知，我会出示以下练习题：判断函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。可借助计算器。

（四）小结作业

小结部分，我会请学生谈一谈自己的收获。收获不仅仅只限于知识方面，也可以谈一谈学习方法和数学思想，使学生在知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个维度都得到成长。

课后作业我会请学生完成书上相应练习题，夯实学生对于新知的掌握，同时培养学生分析问题、解决问题的能力。

方程的根与函数的零点教案设计 篇5

学习目标

1、 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;

2、 掌握零点存在的判定定理、

学习过程

一、课前准备

（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）

复习1：一元二次方程 +bx+c=0 （a 0）的解法、

判别式 = 、

当 0，方程有两根，为 ;

当 0，方程有一根，为 ;

当 0，方程无实根、

复习2：方程 +bx+c=0 （a 0）的根与二次函数y=ax +bx+c （a 0）的图象之间有什么关系?

判别式 一元二次方程 二次函数图象

二、新课导学

学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

① 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 、

② 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 、

③ 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 、

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 、

你能将结论进一步推广到 吗?

新知：对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点（zero point）、

反思：

函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?

试试：

（1）函数 的零点为 ;

（2）函数 的零点为 、

小结：方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点、

探究任务二：零点存在性定理

问题：

① 作出 的图象，求 的值，观察 和 的符号

② 观察下面函数 的图象，

在区间 上 零点; 0;

在区间 上 零点; 0;

在区间 上 零点; 0、

新知：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个c也就是方程 的根、

讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析、

典型例题

例1求函数 的零点的个数、

变式：求函数 的零点所在区间、

小结：函数零点的求法、

① 代数法：求方程 的实数根;

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点、

动手试试

练1、 求下列函数的零点：

练2、 求函数 的零点所在的大致区间、

三、总结提升

学习小结

①零点概念;

②零点、与x轴交点、方程的根的关系;

③零点存在性定理

知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号、

推论：函数在区间 上的图象是连续的，且 ，那么函数 在区间 上至少有一个零点、

（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号、

学习评价

自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）、

A、 很好 B、 较好 C、 一般 D、 较差

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1、 函数 的零点个数为（ ）、

A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

2、若函数 在 上连续，且有 、则函数 在 上（ ）、

A、 一定没有零点 B、 至少有一个零点

C、 只有一个零点 D、 零点情况不确定

3、 函数 的零点所在区间为（ ）、

A、 B、 C、 D、

4、 函数 的零点为 、

5、 若函数 为定义域是R的奇函数，且 在 上有一个零点、则 的零点个数为 、

课后作业

1、 求函数 的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象、

2、 已知函数 、

（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点;

（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求 值、

方程的根与函数的零点教案设计 篇6

一、内容和内容解析

本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备、

从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系、利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的、方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想、

从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想、

基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断、

二、目标和目标解析

1、通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，

2、零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

3、通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系、掌握函数零点存在性的判断、

4、在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用、

三、教学问题诊断分析

1、零点概念的认识、零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍、

2、零点存在性的判断、正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了、

3、零点（或零点个数）的确定、学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题、这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难、

基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点、

四、教学支持条件分析

考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性、

通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用、

五、教学过程设计

（一）引入课题

问题引入：求方程3×2＋6 x－1=0的实数根。

变式：解方程3×5＋6x－1=0的实数根、 （一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。）

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。

方程的根与函数的零点教案设计 篇7

教学目标：

1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2、理解函数的零点与方程的联系。

3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。

教学重点、难点：

1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

2、难点：函数零点存在的条件。

教学过程：

1、问题引入

探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程

方程的根

二次函数

图像与X轴的交点

x2-2x-3=0

x1=-1，x2=3

y=x2-2x-3

（-1，0），（3，0）

x2-2x+1=0

x1=x2=1

y=x2-2x+1

（1，0）

x2-2x+3=0

无实数根

y=x2-2x+3

无交点

（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像

（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像

（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像

归纳：

（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；

（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。

反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；

二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

2、函数的零点

（1）概念

对于函数y=f（x）（x∈D）,把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）（x∈D）的零点。

（2）意义

方程f（x）=0有实数根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点

（3）求函数的零点

①代数法：求方程f（x）=0的实数根

②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

3、函数零点的存在性

（1）二次函数的零点

△=b2-4ac

ax2+bx+c=0的实数根

y=ax2+bx+c的零点数

△﹥0

有两个不等的实数根x1、x2

两个零点x1、x2

△=0

有两个相等的实数根x1=x2

一个零点x1（或x2）

△﹤0

没有实数根

没有零点

（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像

（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像

（图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像

（2）探究发现

问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f（-2）与f（1）的乘积有什么特点？

解：f（-2）=（-2）2-2*（-2）-3=4+4-3=5

f（1）=12-2*1-3=1-2-3=-4

f（2）f（1）=-45=-20﹤0

问题2：在区间[2,4]呢？

解：f（2）=（2）2-2*2-3=-3

f（4）=42-2*4-3=5

f（4）f（2）=（-3）5=-15﹤0

归纳：

f（2）f（1）﹤0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f（2）f（4）﹤0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。

结论：

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。

①图像在上的图像是连续不断的

②函数在区间内至少有一个零点

4、习题演练

利用函数图像判断下列二次函数有几个零点

①y=－x2＋3x＋5，②y=2x（x－2）+3

解：①令f（x）=－x2＋3x＋5,

做出函数f（x）的图像，如下

它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2＋3x＋5有两个零点。

②y=2x（x－2）+3可化为

做出函数f（x）的图像,如下：它与x轴没有交点，所以方程2x（x－2）＝－3无实数根，则函数y=2x（x－2）+3没有零点。

方程的根与函数的零点教案设计 篇8

教材分析：

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

1、知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。

2、过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。培养学生函数和方程结合思想的能力。

3、思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。

『重点。难点。关键点』：

1、重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。

2、难点：理解探究发现函数零点的存在性。理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。

3、关键点：帮助学生寻找方程和函数图象之间的联系。

『教学方法和手段』：

教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）

教学手段：教学软件PPT和几何画板辅助教学。

『教学进程构思及说明』：

置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。

通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？（表格见资料）

课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。（反馈课前作业，抽学生回答。）

分析：

1、方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程的两实根对应与函数与x轴的交点坐标的横坐标。

2、根据函数图象和方程对应的实根，观察可得到：

方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为

（－1，0），（3，0）；方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为（1，0）；方程无实根，函数 与x轴没有交点坐标。继而猜想：一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴的交点坐标的横坐标。

设计意图：问题1的设置，以学生基本掌握了的二次函数和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。学生很快就容易入手解决，对于猜想，如果学生不能得出，从问题2的 继续观察，学生能够更进一步发现一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴的交点坐标的横坐标，而问题2包括了三种情况，全面地描述了这个过程，也为接下来的推广奠定了基础。同时引出了 本节课的课题。

一、推广：

思考：对于一般的一元二次方程的根与二次函数的图象是否有上述猜想成立呢？

分析：从一元二次方程根的情况有三种来分析：判别式（采用列表的方法）

（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实根，相应的二次函数的图像与x轴有 两个交点（）,()；

(2)当时，一元二次方程有两个相等的实根，相应的二次函数的图像与x轴有唯一一个交点（）；

（3）当时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点。通过学生的探究和老师的辅助讲解，观察可得到

结论一：

一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴的交点坐标的横坐标。

设计意图：推广练习从特殊到一般是对之间的引例的补充，是其更一般化，进而能够得出结论

二、再次推广：

零点的概念：对于函数，我们把使得的实数x叫做函数的零点。

强调注意：函数的零点不是一个点，也不是f(x),不能写成坐标的形式，而是一个实数x、

分析关于一般的一元二次方程的根与二次函数图像与x轴交点坐标的横坐标从而可以探求出三个等价关系。

方程有实根

函数的图象与x轴有交点

函数有零点

方程的根与函数的零点教案设计 篇9

一、教材分析

本节课选自人教A版高中数学必修一第三章第一节。是在学生学习了基本初等函数的图像和性质的基础上，引入函数的零点的概念，研究函数与相应方程的根的关系，函数零点存在的条件，及零点个数的判断方法。为后面学习“用二分法求方程的近似解”奠定基础。

二、教学目标：

1、方程的根与函数零点之间的关系；

2、掌握函数零点存在性定理；

3、能结合图象求解函数零点问题、

三、教学重难点:

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点的概念。

难点：函数零点的存在性定理。

重难点的突破：以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，通过让学生观察方程和函数形式上的联系，引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，为探索零点存在定理做好铺垫、

四、教学过程

课程引入：

以数学史引入课题，激发学生的崇拜心，让学生带着极大的心理满足感进入课程的学习，以达到更好的学习效果。

探究：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次函数的图象，观察二者有何联系？

（1）方程与函数

（2）方程与函数

（3）方程与函数

观察方程的根与函数图像与轴的交点，总结提升出零点的定义；

知识点一 零点的概念

1、零点：对于函数，我们把使 的实数叫做函数的零点(zero point)。

说明：零点不是一个点，零点指的是一个 。

2、函数零点的等价说法：

函数有零点

【例1】函数的零点为( )

A、(0，0)，(2，0)B、0

C、(4，0)，(0，0) D、4，0

题后反思：对零点概念的理解

1、函数的零点是实数，而不是点、

2、求函数零点的方法：①解方程：f(x)=0的解即为f(x)零点；②图象法：函数图象与x轴交点的横坐标即为f(x)零点、

探究：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢？

知识点二 零点存在性定理

3 、零点存在性定理：

若函数在区间上的图象是 的一条曲线，且满足 ，那么函数在区间上有零点、即存在，使得，这个就是方程的根,即函数 的、

合作探究 零点存在性定理

思考1:为什么强调函数满足 ,就说明函数在(a,b)上存在零点？

思考2:为什么强调“函数在区间上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者不满足，那么零点存在性定理还成立吗？

思考3:若函数在区间内有零点，一定能得出的结论吗？

思考4:若函数 在区间内，那么一定能得函数没有零点的结论吗？

思考5:满足什么条件，函数在内只有一个零点？

（此处可举例说明，列出一系列的函数图象，使学生直观感受零点存在性定理，充分发挥数形结合的思维方法，让学生感受数形结合思想的作用，充分体现“数无形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，数形分离百事休。”）

【例2】求函数的零点的个数、

方法一：利用计算机给出，的对应值表和图像，给学生直观感受。

方法二：转换为两个函数的交点问题。

题后反思：判断函数零点个数的主要方法：

(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点、

(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数、

(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数、

(4)转化成两个函数图象的交点问题、

思考：1、怎样求函数的零点个数？

2、怎样求函数的零点？

归纳小结

1、正确理解函数的零点：

2、函数零点的求法：

3、判断函数是否存在零点的方法

方程的根与函数的零点教案设计 篇10

1、教学设计的理念

本节课以提升数学核心素养的为目标任务，树立学科育人的教学理念，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，进行教学流程的 “再创造”，积极启发学生思考。

2、教学分析

在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用。函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系、第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系、第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系、

3、教学目标

（1）经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系；

（2）经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点；

（3）积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养。

4、教学重点、难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

5、教学过程

环节一：利用一个学生不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发来思考问题

环节二：建立一元二次方程的根与相应二次函数图象的关系，突出数形结合的思想方法，并引导学生从特殊到一般，得到方程的根与相应函数零点的本质联系

环节三：利用二次函数的图象与性质，从直观到抽象，具体到一般，得到判断函数零点存在的充分条件（即函数的零点存在性定理）

环节四：学会判断函数在某区间内是否存在零点