分 式【范例4篇】

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分 式【第一篇】

一、教学过程 

复习提问

1.分式的基本性质？

2.分式的变号法则？

新课

数学小笑话：（配上漫画插图幻灯片）

从前有个不学无术的富家子弟，有一次，父母出远门去办事，把他交给厨师照看，厨师问他：“我每天三餐每顿给你做两个馒头，够吗？”他哭丧着脸说：“不够，不够！”厨师又问：“那我就一天给你吃六个，怎么样？”他马上欣喜地说：“够了！够了！”

问：这个富家子弟为什么会犯这样的错误？

分数约分的方法及依据是什么？

1.提出课题：分式可不可以约分？根据什么？怎样约分？约到何时为止？

学生分组讨论，最终达成共识。

2.教师小结：

（1）约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）分式约分的依据：分式的基本性质。

（3）分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式。

（4）最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

3.例题与练习：

例1 约分：

（1）；

请学生观察思考：①有没有公因式？②公因式是什么？

解：.

小结：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。②分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边。

（2）；

请学生分析如何约分。

解：.

小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分。②注意对分子、分母符号的处理。

（3）；

解：原式。

（4）；

解：原式

.

（5）；

解：原式。

例2  化简求值：

.其中，.

分析：约分是实现化简分式的一种手段，通过约分可把分式化成最简，而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件。

解：原式。

当，时。

.

二、随堂练习

教材P65练习1、2.

三、总结、扩展

1.约分的依据是分式的基本性质。

2.若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母和系数约去它们的最大公约数。

3.若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分。

四、布置作业

教材P73中2、3.

补充思考讨论题：

1.将下列各式约分：

（1）；（2）；

（3）

2.已知，则

五、板书设计 

分 式【第二篇】

一、教学目标

1.使学生掌握的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。

2.通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；

3.通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点。

二、重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点：的解法。

2.教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验。

3.教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性。

4.解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解。（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤。（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.

三、教学步骤

（一）教学过程

1.复习提问

（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？

（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？

（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因。

通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：的解法相同。

在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量。

在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.例题讲解

例1  解方程。

分析  对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正。

解：两边都乘以，得

去括号，得

整理，得

解这个方程，得

检验：把代入，所以是原方程的根。

∴  原方程的根是。

虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学

生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中。需强调方程两边同时乘以最简公分母。另

外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解

分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调。

例2  解方程

分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所

以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母。

解：方程两边都乘以，约去分母，得

整理后，得

解这个方程，得

检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

代入它等于0，所以是增根。

∴   原方程的根是

师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较。

例3  解方程。

分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分  和互为倒数，由此可设  ，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值。

解：设，那么，于是原方程变形为

两边都乘以y，得

解得

.

当时，，去分母，得

解得；

当时，，去分母整理，得

，

检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.

∴  原方程的根是

，.

此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验。

巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答。

（二）总结、扩展

对于小结，教师应引导学生做出。

本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行。

本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法。

此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握。

四、布置作业

1.教材P50中A1、2、3.

2.教材P51中B1、2

五、板书设计

探究活动1

解方程：

分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

设，则原方程变为

∴

∴或无解

∴

经检验：是原方程的解

探究活动2

有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积。

解：设桶的容积为 升，第一次用水补满后，浓度为 ，第二次倒出的农药数为4. 升，两次共倒出的农药总量（8＋4· ）占原来农药 ，故

整理，

（舍去）

答：桶的容积为40升。

分 式【第三篇】

一、教学目标 

1.使学生理解分式方程的意义。

2.使学生掌握的一般解法。

3.了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法。

4.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧。

5.通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想。

二、教学重点和难点

1.教学重点：

(1)的解法。

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。

2.教学难点 ：理解解分式方程时产生增根的原因。

三、教学方法

启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法。

四、教学手段

演示法和同学练习相结合，以练习为主。

五、教学过程 

(一)复习及引入新课

1.提问：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知数的等式叫做方程。

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

2.

解：(1)当 时，

左边= ，

右边=0，

∴左边=右边，

∴

(2)

(3)

3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式： ， 根据量间的关系列出方程：

这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程。

(二)新课

板书课题：

板书：分式方程的定义。

分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程。

练习：判断下列各式哪个是分式方程。（投影）

(1) ； (2) ； (3) ；

(4) ； (5)

在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程。

1、如何求解方程 ？

先由同学讨论如何解这个方程。

在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母。如何去掉？方程两边同乘最简公分母。

解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得

90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.

如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解。

检验：把x=18代入原方程

,

左边=右边

∴x=18是原方程的解。

2、如何解方程 ?

此题可由学生讨论解决。

解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2

解整式方程，得x=1.

x=1时原方程的解是否正确？

检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解。

∴原方程无解。

讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？

分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解。

在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解。

在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解。

像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验。

由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根。如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便。

例1、解方程

对于例题给学生示范做题的格式、步骤。 （投影显示步骤格式）

解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得

5(x-2)=7x解这个整式方程，得

x=5.

检验：把x=-5代入最简公分母

x(x-2)=35≠0，

∴x=-5是原方程的解。

例2、解方程

解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得

1=x-1-3(x-2). （ -3这项不要忘乘）

解这个整式方程，得

x=2.

检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，

∴x=2是增根，

∴原方程无解。

注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成。

(三)总结

解分式方程的一般步骤：

1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。

2.解这个整式方程。

3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

(四)练习

教材中1由学生在黑板上写，教师订正。

六、作业 

教材中1.

七、板书设计 

分 式【第四篇】

三角形全等的判定(一)(1)

教学目标

1.    通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2.    比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3.    初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4.    掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点

应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程 设计

一、          实例演示，发现公理

1.        教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2.        在此过程中应启发学生注意以下几点：

（1）             可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可将△abc绕a点转到b与c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保证ad能与ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d与e重合。因此△bad可与△cae重合，说明△bad≌△cae.

（2）             每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3）             由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3.画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、          提出公理

1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“sas”，说明记号“sas’的含义。

2.强调以下两点：

（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等。

（2）使用时记号“sas”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上。

3.板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程。

如图3-50，在△abc与△a’b’c’中，（指明范围）

三、应用举例、变式练习

1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

例1已知：如图 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：△abd≌△cbd.

分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 bd＝bd得到。

说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等。

（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）.

分析：△abd≌△cbd

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与ab，cb夹两已知角的公共边bd.

（3）可将此题做条种变式练习：

练习1（改变结论）如图 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：ad=cd，bd平分∠adc.

分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即ad=cd；对应角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等。

练习2(改变条件）如图 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求证： ∠a＝∠c.

分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有ab＝cb，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出。这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作。教师板书完整证明过程如下：

以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式。

（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法。

练习 3如图 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求证： db=fe.

分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠bad＝∠eaf.

练习  4如图  3-52(d)，已知  a为 bc中点，  ae//bd，  ae＝bd.求证： ad//ce.

分析：由中点定义得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行线性质得出∠abd=∠cae.

练习  5已知：如图  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求证： ab//de.

分析：由 ae//bd及平行线性质得出∠adb=∠dae；由公共边 ad＝da及已知证明全等。

练习6已知：如图3－52（f），ae//bd，ae＝db.求证：ab//de，ab＝de.

分析：通过添加辅助线——连结ad，构造两个三角形去证明全等。

练习 7已知：如图 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求证：∠b=∠e.

分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的补角相等”得出∠bad＝∠efc.

练习8已知：如图3－52（h），be和cd交于a，且a为be中点，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求证： ac＝ad.

分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠b=∠e，这点利用“等角的余角相等”可以实现。

练习 9已知如图 3－52（i），点 c， f， a， d在同一直线上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分别为 c和d.求证：ef//ab.

在下一课时中，可在图中连结ea及bf，进一步统习证明两次全等。

小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径。

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它。

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它。

例2已知：如图3－53，△abe和△acd均为等边三角形。求证：bd=ec.

分析：先选择bd和ec所在的两个三角形△abd与△aec，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供。

四、师生共同归纳小结

1.证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

条件？

2.在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

五、练习与作业

练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题。

作业 ：课本第32页中第6，7，8，9，10题。

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成。

1.课本第节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题。

2.本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标 之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。

3.本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标 之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化。

4.教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。

5.教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率。教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系。

6.本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学

三角形全等的判定(一)(1)

教学目标

1.    通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2.    比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3.    初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4.    掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点

应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程 设计

一、          实例演示，发现公理

1.        教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2.        在此过程中应启发学生注意以下几点：

（1）             可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可将△abc绕a点转到b与c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保证ad能与ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d与e重合。因此△bad可与△cae重合，说明△bad≌△cae.

（2）             每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3）             由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3.画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、          提出公理

1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“sas”，说明记号“sas’的含义。

2.强调以下两点：

（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等。

（2）使用时记号“sas”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上。

3.板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程。

如图3-50，在△abc与△a’b’c’中，（指明范围）

三、应用举例、变式练习

1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

例1已知：如图 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：△abd≌△cbd.

分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 bd＝bd得到。

说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等。

（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）.

分析：△abd≌△cbd

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与ab，cb夹两已知角的公共边bd.

（3）可将此题做条种变式练习：

练习1（改变结论）如图 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求证：ad=cd，bd平分∠adc.

分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即ad=cd；对应角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等。

练习2(改变条件）如图 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求证： ∠a＝∠c.

分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有ab＝cb，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出。这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作。教师板书完整证明过程如下：

以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式。

（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法。

练习 3如图 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求证： db=fe.

分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠bad＝∠eaf.

练习  4如图  3-52(d)，已知  a为 bc中点，  ae//bd，  ae＝bd.求证： ad//ce.

分析：由中点定义得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行线性质得出∠abd=∠cae.

练习  5已知：如图  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求证： ab//de.

分析：由 ae//bd及平行线性质得出∠adb=∠dae；由公共边 ad＝da及已知证明全等。

练习6已知：如图3－52（f），ae//bd，ae＝db.求证：ab//de，ab＝de.

分析：通过添加辅助线——连结ad，构造两个三角形去证明全等。

练习 7已知：如图 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求证：∠b=∠e.

分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的补角相等”得出∠bad＝∠efc.

练习8已知：如图3－52（h），be和cd交于a，且a为be中点，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求证： ac＝ad.

分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠b=∠e，这点利用“等角的余角相等”可以实现。

练习 9已知如图 3－52（i），点 c， f， a， d在同一直线上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分别为 c和d.求证：ef//ab.

在下一课时中，可在图中连结ea及bf，进一步统习证明两次全等。

小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径。

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它。

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它。

例2已知：如图3－53，△abe和△acd均为等边三角形。求证：bd=ec.

分析：先选择bd和ec所在的两个三角形△abd与△aec，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供。

四、师生共同归纳小结

1.证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

条件？

2.在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

五、练习与作业

练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题。

作业 ：课本第32页中第6，7，8，9，10题。

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成。

1.课本第节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题。

2.本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标 之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。

3.本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标 之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化。

4.教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。

5.教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率。教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系。

6.本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学