二项式定理教学设计实用5篇

由网友分享时间：2024-02-03 20:04:36

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二项式定理教学设计二项式定理1

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二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型：新授课课时安排：3课时教具：多媒体、实物投影仪二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基

定内容分析：础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，近似计算等方面形成技能或技巧；正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．组合数的性质

这是因为，证明中符号比较抽象、以发挥他们的自主精神；

需要恰当地运用

2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

尽量创造让学生活动

以

尽量引导学生的发展和创造意识，通项公式，杨辉三角，特

同时在求展开式、其通项、证恒等式、重视学生

进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；

中学教材中的二项式定理主要包括：在教学中，努力把表现的机会让给学生，使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴(a⑵(a⑶(a的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；

b)b)b)

2aa

22abb

CabCa

3312

Cb；CabCab

3ab3abb)(a

333

4(ab)(a

4b)(a

b)的各项都是4次式，2

4即展开式应有下面形式的各项：展开式各项的系数：上面恰有

a，ab，ab，ab，b，0

即C4种，a的系数是C4；4个括号中，每个都不取b的情况有1种，14种，1个取b的情况有C24，恰有

ab的系数是C，恰有2个取b的情况有C

142

4种，ab的系

22数是C

3个取b的情况有C种，ab的系数是C，有4都取b的情况有C种，b的系数是C4，4

学习必备欢迎下载∴(ab)

C4a

C4ab

222

C4ab

C4b．

44二、讲解新课：二项式定理：(a⑴(a

Cab

Cb(n

n)b的展开式的各项都是

n次式，即展开式应有下面形式的各项：

a，ab，…，a⑵展开式各项的系数：每个都不取恰有1个取恰有r个取有n都取∴(a

b，…，b，rn

b的情况有1种，即C种，a的系数是C；b的情况有C种，ab的系数是Cb的情况有Cn种，a

1n，……，0n

b的系数是Cn，……，n

b的情况有Cn种，b的系数是Cn，Ca

nb)

Cab

Cb(n

N)，n)b的二项展开式，⑶它有n1这个公式所表示的定理叫二项式定理，项，各项的系数⑷Cnarnr

右边的多项式叫

C(r

0,1,n)叫二项式系数，Tr1表示，即通项Tr

b叫二项展开式的通项，用

1,b

CaCx

b．

r⑸二项式定理中，设三、讲解范例：

x，则(1x)

1Cx

14例1．展开(1)．

x解一：

(11x

1x)

4解二：（11C()C()C()

xxx

14144413()(x1)()xC4xxx

234

3()x

Cx1

62x43x14．x

31x

．例2．展开(2x)．解：(2x

1x)

(2x1)

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[(2x)

C(2x)

5C(2x)

C(2x)

C(2x)1]

64x192x

240x160

6012x

x4项

．例3．求(x解：(x

a)的展开式中的倒数第a)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，912912T91

Cxa

9Cxa

312

220xa．

2a)的展开式中的第3项．

39例4．求（1）(2a解：（1）T2（2）T2

3b)，（2）(3b

C(2a)(3b)

2160ab，4

C(3b)(2a)

4860ba．

6点评：(2a3b)，(3b2a)的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同例5．（1）求（x33x

3x)的展开式常数项；

9（2）求（x3)的展开式的中间两项

32解：∵Tr

C()

（3x)

2r9

9r，∴（1）当

0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C

2268；（2）（x3)的展开式共10项，它的中间两项分别是第152

5项、第6项，T

242x

3，T6

3109

9x378x

3例6．（1）求(12x)的展开式的第（2）求

4项的系数；

9的展开式中x的系数及二项式系数

3解：(12x)的展开式的第四项是∴（17

1C(2x)

280x，3

2x)的展开式的第四项的系数是280．

学习必备欢迎下载（2）∵∴9

x3，r)的展开式的通项是Tr

3，3

（1x

39)

(1)Cx

92r，∴x的系数(1)C例7．求(x

284，x的二项式系数C

84．

4)的展开式中x的系数

才可以用二项式分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，定理展开，然后再用一次二项式定理，项式定理展开解：（法一）(x

2，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二

3xC(x

[(x

3x)

4C(x

3x)

3x)4C(xx的项，C

3x)

C(x

3x)4

4，4显然，上式中只有第四项中含∴展开式中含（法二）：(x

x的项的系数是3x

343

4)]

768(x1)(x

134

4)Cx

[(x1)(xCx

4(Cx

C)(CxC4

Cx4Cx

Cx4

4∴展开式中含

x的项的系数是

768．

N)的展开式中含x项的系数为36，*例8．已知f(x)求展开式中含

14x

(m,n

x项的系数最小值

x项的系数是关于

2分析：展开式中含可得

m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，2m4n36，从而转化为关于

m或n的二次函数求解解：1

14x展开式中含x的项为

4x(2C

4C)x

1n∴(2C4C)

36，即m2n18，n12x14xC4

展开式中含x的项的系数为

2t∵

2m2m8n

8n，m2n18，∴m182n，2(182n)

2∴t2(182n)8n

8n16n

148n612

学习必备欢迎下载16(n∴

153n)，∴当n44

378

时，t取最小值，但n

N，5,m

8．*

5时，t即x2项的系数最小，最小值为

12x

272，此时n例9．已知()的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（2）求展开式中所有的有理项（1）证明展开式中没有常数项；解：由题意：

11222

1Cn()，即n22

（12x

80，∴n

8(n1舍去）∴Tr

88r)

（12

8r)Cx

r8r

163r4

0r8rZ

163r

0，即163r1是常数项，则

4∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

163r②若Tr1是有理项，当且仅当为整数，4①若Tr∴0

0，r8,rZ，∴r0,4,8，T1

x，T5

4即展开式中有三项有理项，分别是：例10．求的近似值，使误差小于解：

x，T981x256

．

()

C()

C()，66

6展开式中第三项为略不计，∴

，小于，以后各项的绝对值更小，可忽

()

C()

，一般地当a较小时(1a)四、课堂练习：1.求2.求

1na2a3b的展开式的第3项。3b2a的展开式的第3项。36

63.写出(x

12x

3)的展开式的第r+1项。n4.求x3

2x的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数。5.用二项式定理展开：

学习必备欢迎下载（1）(a

b)；（2）（5x

2（12x).11

56.化简：（1）(17．

52x)；（2）(2x

4(2x

4xxx

lgx5

展开式中的第2n

3项为10，求x． 8．求

展开式的中间项

42答案：

C(2a)

(3b)2160ab

C(3b)

(2a)

4860ab

C(x)

（12x

n2r

34.展开式的第4项的二项式系数

35，第4项的系数C2

280

25.（1）

(ax2

5a132x

b10ax

10ab5ab3bbb；

2（2）（2x

xx5x

.6.（1）(1

124

220x10x；

4（2）(2x3x)(2x

3x)192x

32lgx

432x

lgx5

展开式中的第3项为Cx

lgx

1052

32lgx

52lgx3lgx5

01,lgxx10,x

展开式的中间项为

(1)C

n2n五、小结：二项式定理的探索思路式的特点

:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公六、课后作业：P36 习题组七、板书设计（略）

二项式定理教学设计2

二项式定理一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

新课讲解：

问题

1abcd的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题

2abab的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论

问题

3ababab的ab原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案

问题

4abababab的ab的原始展开式有多少项？

问题

5你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？在4个括号（袋子）中

4423问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？问题7 ab在合并后的展开式中，annnrbr的系数应该是多少？有理由吗？

问题8

那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想学生们快速地说出

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabLCnabLCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

① 展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相

nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2,L,n

ankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cnk种情况可以得到ankbk，因此，该项的系数为Cnk

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabLCnabLCnbnN*

注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成b，则

nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabL1CnabL1CnbnN*

kn练习：令a1,bx，则

1xn01122kknnCnCnxCnxLCnxLCnxnN*

问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）项数：共有n1项

（2）指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

knkk（3）二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2,L,n

012knk（4）二项式系数：依次为Cn,Cn,Cn,LCnL,Cn。这里Cn（k0,1,2,L,n）称为二项式系数

现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以

810071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cnn1，故应为星期四。

61001例

1求2x的展开式

x方法一：直接展开

11技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x2

6方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例

2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

3（2）x的展开式中x的系数和中间项

x例3

求(xa)12的展开式中的倒数第4项小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。作业：P37 4，5 教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到81009天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广。(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3.情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。一、说教材

1、地位及作用：

二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节，是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。2、重点难点分析：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式系数的规律。

（2）能够应用二项式定理、对二项式进行展开。难点：

运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。A.知识与技能

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律。

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。B.过程与方法

通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的能力。

C.情感态度与价值观

（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。

（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美。

三﹑说教法和学法

1、教法

为了完成本节课的教学目标，让学生主动探索展开式的由来是关键。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用多媒体辅助教学方法，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。

2、学法

根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照学习。

3、教学手段

二项式定理教学设计3

1．3．1二项式定理

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？

新课讲解：

问题

1abdc的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题

2abb的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成a的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论问题

3abbaa2bab的3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案问题

4abbaaba的bab的原始展开式有多少项？

44问题

5你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？在4个括号（袋子）中

0（1）若每个括号都不取b，只有一种取法得到a，即C4种 1（2）若只有一个括号取b，共有C4种取法得到ab 2（3）若只有两个括号取b，共有C4种取法得到ab 3（4）若只有三个括号取b，共有C4种取法得到ab 4（5）若每个括号都取b，共有C4种取法得到b

4134322引导学生发现：原始展开式中确有同类项存在，且确实可省去“合并”

04132223344因此ab3C4aC4abC4abC4abC4b 4问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？

nrr问题7 ab在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？ n问题8

那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想学生们快速地说出

nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

① 展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相

nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2,,n

kankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到

kankbk，因此，该项的系数为Cn

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

n注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成b，则

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*

kn练习：令a1,bx，则

1xn01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*

问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）项数：共有n1项

（2）指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

knkk（3）二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2,,n

012knk（4）二项式系数：依次为Cn。这里Cn（k0,1,2,,n）称为二，Cn,Cn,Cn,Cn项式系数

现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？

n810071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn1，故100应为星期四。

1例

1求2x的展开式

x方法一：直接展开

112技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2xx2

66方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例

2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

3（2）x的展开式中x的系数和中间项

x例3

求(xa)12的展开式中的倒数第4项 9小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。作业：P37 4，5 教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到8100天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。

二项式定理教学设计4

二项式定理

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？

新课讲解：

问题

1abdc的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题

2abb的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成a的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论问题

3abbaa2bab的3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案问题

4abbaaba的bab的原始展开式有多少项？

44问题

5你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？在4个括号（袋子）中问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？问题7 ab在合并后的展开式中，annnrbr的系数应该是多少？有理由吗？

问题8

那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想学生们快速地说出

abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

① 展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相

nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2，n

ankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cnk种情况可以得到ankbk，因此，该项的系数为Cnk

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*

注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成b，则

nabn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkk1Cnabknn1CnbnN*

n练习：令a1,bx，则

1xn01122CnCnxCnxkkCnxnnCnxnN*

问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）项数：共有n1项

（2）指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

knkk（3）二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2，n,n）称为二（4）二项式系数：依次为Cn,Cn,Cn,012kCnnk,Cn。这里Cn（k0,1,2,项式系数

现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？

810071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cnn1，故应为星期四。

61001例

1求2x的展开式

x方法一：直接展开

11技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x2

6方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例

2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

3（2）x的展开式中x的系数和中间项

x例3

求(xa)12的展开式中的倒数第4项小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

1.知识与技能：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。一、说教材

1、地位及作用：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式系数的规律。

（2）能够应用二项式定理、对二项式进行展开。难点：

运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。A.知识与技能

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律。

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。B.过程与方法

通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的能力。

C.情感态度与价值观

（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。

（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美。

三﹑说教法和学法

1、教法

2、学法

3、教学手段

利用电脑，投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程，激发学生的的兴趣。

二项式定理教学设计5

《二项式定理》教学设计

1．教学目标

知识技能：理解二项式定理，记忆二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过从特殊到一般的探究活动，经历“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理的研究，掌握展开式的结构特点，体验数学公式的对称美、和谐美，了解杨辉、牛顿等数学家做出的巨大贡献．

2.教学过程

探索研究二项式定理的内容

从学生比较熟悉的完全平方公式入手，去观察，猜想

02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

三次方的让学生按照多项式乘法进行运算在合并，不合并之前是几项，为什么？

（分步乘法计数原理）

0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

每一项中字母a，b的指数和相同，项的个数有n1项

00每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a4的系数是C4； 11恰有1个取b的情况下有C4种，所以a3b的系数是C4； 22恰有2个取b的情况下有C4种，所以a2b2的系数是C4； 33恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab3的系数是C4； 444个都取b的情况下有C4种，所以b4的系数是C4； 0413222344因此(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b．

归纳、猜想(ab)n

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnnCnb(nN)

设问：

（1）将(ab)n展开，有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字母a，b指数和始终是多少？（4）如何确定ankbk的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：（1）项数规律：n1项；

（2）次数规律：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

（3）二项式系数规律：下标为n，上标由0递增至n；

knkk（4）通项：Tk1Cnab指的是第k1项，不是第k项，该项的二项式系k数是Cn

板书以上几点 3.例题处理

51例1：（1）在2x的展开式中

x（1）请写出展开式的通项。（2）求展开式的第4项。

（3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。

3（4）求展开式中含 x 的项。

课件展示解题过程

自主探究：在12x的展开式中，求第4项，并指出它的二项式系数和系数

7是什么？

独立完成，爬黑板

01合作探究：设n为自然数，化简Cn2nCn2n11Cnk2nk1Cnn

分组讨论，交流想法

4.归纳小结

学生的学习体会与感悟；教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现．5.作业（1）巩固型作业：

课本36页习题 A组1、3、4（1）（2）5（2）思维拓展型作业：（查阅相关资料）查阅有关杨辉一生的主要成就。

012探究二项式系数Cn,Cn,Cn,n 有何性质。,Cn3

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