反函数数学教案精编5篇

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反　函　数1

互为反函数的函数图象间的关系

一、        教学目标

1.理解并掌握互为反函数的函数图像间的关系定理，运用定理解决有关反函数的问题，深化对互为反函数本质的认识。

2.运用定理画互为反函数的图像，研究互为反函数的有关性质，提高解函数综合问题的能力。

3.提高学生的形象思维与抽象思维相结合的逻辑思维能力，培养学生数形结合的数学思想和转化的数学思想。

二、        教学重点

互为反函数的函数图象间的关系和数形结合的数学思想

三、        教学难点

互为反函数的函数图象间的关系

四、        教学方法

启发式教学方法

五、        教学手段

多媒体课件

六、        教学过程

（一）     复习：

1.  求反函数的步骤 （1解 2换 3注明）

2.  求出下列函数的反函数

① y=2x+4  (x∈r)     (y=x/2 -2   x∈r)

② y=6-2x   (x∈r)     (y=3- x/2   x∈r)

③ y=x2     (x≥0)     (y=x1/2        x≥0)

（二）     新课导入

1.  分别将上述三个函数与其反函数的图象做在同一个直角坐标系中

2.  分析各图中互为反函数的函数图象间的关系

3.  给出定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f –1(x)图象关于直线

y=x对称

4.  讲解例一：

例1 求函数y=x3 (x∈r)反函数，并画出原来的函数和它的反函数

的图象。

解：由y=x3，得x=y1/3。因此，函数y=x3反函数是y=x1/3 (x∈r)。函数y=x3 (x∈r)和它的反函数y=x1/3 (x∈r)的图象略。

5.  讲解例二：

例2 在直角坐标内，画出直线y=x，然后找出下面这些点关于直线y=x的对称点，并写出它们的坐标：

a (2,3)  b (1,0)  c(-2,-1)  d (0,-1)

解：图略

点a的对称点为a’ (3,2)，点b的对称点为b’ (0,1)，

点c的对称点为c’ (-1,-2)，点d的对称点为d’(-1,0)。

6.  给出推论：点（a,b）关于直线y=x的对称点为（b,a）

7.  练习：函数f(x)=ax+b的图象经过(1,3)，其反函数的图象经过(2,0)，

求f(x)的解析式。

解：因为函数f(x)的反函数图象经过点（2，0），根据定理和推论，

函数f(x)的图象经过点（0，2）。

将点（0，2）（1，3）的横、纵坐标分别代入f(x)的解析式得：

0×a+b=2

解得：a=1  b=2

a×1+b=3

所以，f(x)=x+2

七、        教学小结

对这节课所学知识进行小结，互为反函数的函数图象是关于直线y=x对称的。

八、        教学作业

思考题及教材64页2、3、5题

九、        板书设计

互为反函数的函数图象间的关系

定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f –1(x)图象关于直线y=x对称。

推论：点（a,b）关于直线y=x的对称点为（b,a）

十、       教学反思

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反　函　数2

教学目标

1.使学生了解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法。

2.通过反函数概念的学习，培养学生分析问题，解决问题的能力及抽象概括的能力。

3.通过反函数的学习，帮助学生树立辨证唯物主义的世界观。

教学重点，难点

重点是反函数概念的形成与认识。

难点是掌握求反函数的方法。

教学用具

投影仪

教学方法

自主学习与启发结合法

教学过程

一。 揭示课题

今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数。

反函数(板书)

(一)反函数的概念(板书)

二。讲解新课

教师首先提出这样一个问题：在函数 中，如果把 当作因变量，把 当作自变量，能否构成一个函数呢？(让学生思考后回答，要讲明理由)可以根据函数的定义在 的允许取值范围内的任一值，按照法则 都有唯一的 与之相对应。(还可以让学生画出函数的图象，从形的角度解释“任一 对唯一 ”)

学生解释后教师指出不管从哪个角度，它都是一个函数，即 有反函数，而且把这个函数称为 的反函数。那么这个反函数的解析式是什么呢？

由学生回答出应为 .教师再提出 它作为函数是没有问题的，但不太符合我们的表示习惯，按习惯用 表示自变量，用 表示因变量，故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题： 和 是同一函数吗？

由学生讨论，并说明理由，要求学生能从函数三要素的角度去认识，并给出解释，让学生真正承认它们是同一函数。并把 叫做 的反函数。继而再提出： 有反函数吗？是哪个函数？

学生很快会意识到 是 的反函数，教师可再引申为 与 是互为反函数的。然后利用问题再引申：是不是所有的函数都有反函数呢？如果有，请举出例子。在教师启发下学生可以举出象 这样的函数，若将 当自变量， 当作因变量，在 允许取值范围内一个 可能对两个 (可画图辅助说明，当 时，对应 ),不能构成函数，说明此函数没有反函数。

通过刚才的例子，了解了什么是反函数，把对 的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义，但这个数学的抽象概括，要求比较高，因此我们一起阅读书上相关的内容。

1. 反函数的定义：(板书)(用投影仪打出反函数的定义)

为了帮助学生理解，还可以把定义中的 换成某个具体简单的函数如 解释每一步骤，如得 ,再判断它是个函数，最后改写为 .给出定义后，再对概念作点深入研究。

2.对概念得理解(板书)

教师先提出问题：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言，指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢？(仍可以 与 为例来说)

学生很容易先想到对应法则是“反”过来的，把 与 的位置换位了，教师再追问它们的互换还会带来什么变化？启发学生找出另两个要素之间的关系。最后得出结论： 的定义域和值域分别由 的值域和定义域决定的。再把结论从特殊发展到一般，概括为：反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的。给出的函数确定了，反函数的三要素就已经确定了。简记为“三定”。

(1)“三定”(板书)

然后要求学生把刚才的三定具体化，也就是“反”字的具体体现。由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中 与 的位置互换。(用投影仪打出互换过程)如图

最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与 的位置的反置，正是由于它的反置，才把它的范围也带走了，引起了另外两“反”。

(2)“三反”(板书)

此时教师可把问题再次引向深入，提出：如果一个函数存在反函数，应怎样求这个反函数呢？下面我给出两个函数，请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数。

例1. 求 的反函数。(板书)

(由学生说求解过程，有错或不规范之处，暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评)

解：由 得 , 所求反函数为 .(板书)

例2. 求 , 的反函数。(板书)

解：由 得 ,又 得 ,

故所求反函数为 .(板书)

求完后教师请同学们作评价，学生之间可以讨论，充分暴露表述中得问题，让学生自行发现，自行解决。最后找代表发表意见，指出例2中问题，结果应为 , .

教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同？让学生明确指出两个函数定义域分别是 和 ,所以它们是不同的函数。再追问 从何而来呢？让学生能从三定和三反中找出理由，是从原来函数的值域而来。

在此基础上，教师最后明确要求，由于反函数的定义域必是原来函数的值域，而不是从自身解析式出发寻求满足的条件，所以求反函数，就必须先求出原来函数的值域。之后由学生调整刚才的求解过程。

解： 由 得 ,又 得 ,

又 的值域是 ,

故所求反函数为 , .

(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题，此时不妨让学生去具体算一算，会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的，所以使得最后结果没有出错。但教师必须指出结论得一致性只是偶然，而不是必然，因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域，并且在最后所求结果上注明反函数的定义域，同时让学生调整例的表述，将过程补充完整)

最后让学生一起概括求反函数的步骤。

3.求反函数的步骤(板书)

(1) 反解：

(2) 互换

(3) 改写：

对以上环节教师可稍作解释，然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了。

三。巩固练习

练习：求下列函数的反函数。

(1)     (2) .(由两名学生上黑板写)

解答过程略。

教师可针对学生解答中出现的问题，进行讲评。(如正负的选取，值域的计算，符号的使用)

四。小结

1. 对反函数概念的认识：

2. 求反函数的基本步骤：

五。作业

课本第68页习题第1题中4,6,8,第2题。

六。板书设计

反函数           例1.           练习。

一。 反函数的概念                  (1)        (2)

1. 定义

2. 对概念的理解     例2.

(1) 三定(2)三反

3. 求反函数的步骤

(1)反解(2)互换(3)改写

反　函　数3

教学目标

1.使学生了解反函数的概念；

2.使学生会求一些简单函数的反函数；

3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。

教学重点

1.反函数的概念；

2.反函数的求法。

教学难点

反函数的概念。

教学方法

师生共同讨论

教具装备

幻灯片2张

第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；

第二张：本课时作业 中的预习内容及提纲。

教学过程

（I）讲授新课

（检查预习情况）

师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§   反函数的概念。

同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？

生：（略）

（学生回答之后，打出幻灯片A）。

师：反函数的定义着重强调两点：

（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；

（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。

师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。

师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？

生：一一映射确定的函数才有反函数。

（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。

师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）

在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）

由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。

师：从反函数的概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。

从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：

（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；

（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。

（3）指出反函数的定义域。

下面请同学自看例1

（II）课堂练习   课本P68练习1、2、3、4。

（III）课时小结

本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。

（IV）课后作业

一、课本P69习题   1、2。

二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。

板书设计

课题：   求反函数的方法步骤：

定义：（幻灯片）

注意：        小结

一一映射确定的

函数才有反函数

函数与它的反函

数定义域、值域的关系。

反　函　数4

教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数          2.互为反函数的图象间的关系。           3.反函数性质的应用。教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系。教学难点：反函数的定义，反函数性质的应用。教学过程：

第一课时教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数          2.互为反函数的图象间的关系。 教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系。教学难点：反函数的定义和求法。教学过程：一、复习引入：由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,（其中速度v是常量）s是时间t的函数；可以变形为： ，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数。又如，在函数 中，x是自变量，y是x的函数。 由 中解出x，得到式子 . 这样，对于y在r中任何一个值，通过式子 ，x在r中都有唯一的值和它对应。 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是y r，值域是x r.上述两例中，由函数s=vt得出了函数 ；由函数 得出了函数 ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域。 我们称这样的每一对函数是互为反函数。二、讲解新课：反函数的定义设函数 的值域是c，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在c中的任何一个值，通过x= (y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y c)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 开始的两个例子：s=vt记为 ，则它的反函数就可以写为 ，同样 记为 ，则它的反函数为： .从映射的角度看，若确定函数y=f(x)的映射是定义域a到值域c的一一映射，则它的逆映射f -1:  (x=f -1(y)) c→a 确定的函数x=f -1(y)(习惯上记为y=f -1(x))叫做函数y=f(x)的的反函数。即，函数 是定义域a到值域c的映射，而它的反函数 是集合c到集合a的映射，由此可知：1.      只有“一一映射”确定的函数才有反函数。如 （x∊r）没有反函数，而 , 有反函数是 2.互为反函数的定义域和值域互换。即函数 的定义域正好是它的反函数 的值域；函数 的值域正好是它的反函数 的定义域。且 （如下表）：

函数

反函数 定义域

a

c值 域

c

a3. 函数 与 互为反函数。即若函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 . 三、例题：例1.求下列函数的反函数：① ；           ② ；③ ；           ④ .小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到。⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射。例2.求函数 （ ）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。解：（略） 它们的图像为：   由图象看出，函数（ ）和它的反函数 的图象关于直线y=x对称。一般地，函数  的图象和它的反函数 的图象关于直线y=x对称。例3求函数  （-1

反　函　数5

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）

教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系。2.会求一些简单函数的反函数。3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识。4.进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力。教学重点：求反函数的方法。教学难点：反函数的概念。教学过程：

教学活动

设计意图 一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即s=vt和t= （其中速度v是常量），在s=vt　中位移s是时间t的函数；在t= 中，时间t是位移s的函数。在这种情况下，我们说t= 是函数s=vt的反函数。什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容。3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教学目标。这样既可以拨去“反函数”这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性。 二、实例分析，组织探究1.问题组一：（用投影给出函数 与 ； 与 （ ）的图象）（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答： 与 的图像关于直线y=x对称； 与 （ ）的图象也关于直线y=x对称。 是求一个数立方的运算，而 是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算。同样， 与 （ ）也互为逆运算。）（2）由 ，已知y能否求x？（3） 是否是一个函数？它与 有何关系？（4） 与 有何联系？2.问题组二：（1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？（2）函数 (x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？（3）函数  （ ）的定义域与函数 （ ）的值域有什么关系？3.渗透反函数的概念。（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点）从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培养学生抽象、概括的能力。通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“最近发展区”设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础。三、师生互动，归纳定义1.（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）函数y=f(x)(x∈a) 中，设它的值域为 c.我们根据这个函数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = j (y) .如果对于y在c中的任何一个值，通过x = j (y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么， x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数。这样的函数 x = j (y)(y ∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数。记作： .考虑到“用 x表示自变量， y表示函数”的习惯，将 中的x与y对调写成 .2.引导分析：1）反函数也是函数；2）对应法则为互逆运算；3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数；4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数 x=f (y)的值域、定义域；5）函数y=f(x)与x=f (y)互为反函数；6）要理解好符号f ；7）交换变量x、y的原因。3.两次转换x、y的对应关系

（原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的。）       4.函数与其反函数的关系

函数y=f(x)

函数

定义域

a

c

值    域

c

a四、应用解题，总结步骤1.（投影例题）例1求下列函数的反函数（1）y=3x-1       (2)y=x +1例2求函数 的反函数。（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤。）2.总结求函数反函数的步骤：1° 由y=f(x)反解出x=f (y).2° 把x=f (y)中 x与y互换得 .3° 写出反函数 的定义域。 （简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）例3（1） 有没有反函数？（2） 的反函数是________.（3） (x<0)的反函数是__________.    在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数。在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握。    通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解。通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力。   题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进。并体现了对定义的反思理解。学生思考练习，师生共同分析纠正。五、巩固强化，评价反馈1.已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f ( x)（1）y=-2x+3(x r)      （2）y=- (x r,且x )( 3 ) y= (x r,且x )2.已知函数f(x)= (x r,且x )存在反函数 ，求f (7)的值。五、反思小结，再度设疑　　本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤。互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节研究。（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数。反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度。具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性。“问题是数学的心脏”学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂。六、作业习题　第1题，第2题进一步巩固所学的知识。

教学设计说明“问题是数学的心脏”。一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程。本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念。反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号。由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念。为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成。另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用。通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维。使学生自然成为学习的主人。