等差数列的前n项和【通用4篇】

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等差数列前n项和【第一篇】

高二数学——必修5学案

等差数列的前n项和（1）

创设情境

1．在等差数列an中若mnpq，则．

2．一堆钢管共10层，第一层钢管数为4，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？

3．探索：在等差数列an中，首项为a1，公差为d，求Sna1a2……+an．

概念形成

1、等差数列的前n项和公式：Sn2、根据下列各题中的条件，求相应等差数列an的前n项和Sn：（正确选择公式）

(1)a16,d3,n10(2)a12,an16,n8(3)a410,a102,n123、计算：

（1）123n________________（2）135(2n1)___________________

（3）（4）135(2n3)___________________（） 2462n______________

例题选讲

例

1、求集合{m|m7n,nN，且m100}的元素个数，并求这些元素的和。例

2、在两位正整数中，有多少个除以3余1的数？求它们的和。

等差数列的前n项和公式教案【第二篇】

等差数列的前n项和公式（教案）

一．教学目标：

1、知识与技能目标

了解等差数列前n项和公式，理解等差数列前n项和公式的几何意义，并且能够灵活运用其求和。2.过程与方法目标

学生经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法。

3、情感态度与价值观目标

学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推导能力。

二．教学重难点：

1、重点：等差数列前n项和公式的推导，掌握及灵活运用。2.难点：诱导学生用“倒序相加法”求等差数列前n项和。

三．教法与学法分析：

1、教法分析：采用“诱导启发，自主探究式”学法为主，讲练结合为辅的教学方法。

2、学法分析：采用“自主探究式学习法”和“主动学习法”。

四．课时安排：

1个课时 五．教学过程

（一）导入

我们已经学过等差数列的定义an+1-an=d（n属于正整数），等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等差数列的等差中项2an=an-1+an+1，还有：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.我们应该怎样求a1+a2+„+an,其中{an}为等差数列，记Sn=a1+a2+„+an

我们知道200多年前高斯的老师给他们出了一道题目，让他们计算1+2+就算出来了„+100=？当时10岁的高斯很快。高斯是怎样做出来的呢？他使用了什么简单高明的方法？

1+2+„+100=(1+100)+（2+99）+„+(50+51)=50*101,所以1+2+„+100=5050，这就是著名的高斯算法，到后来，人们就从高斯算法中得到启发，求出了等差数列1+2+„+n的前n项和的算法

（二）探究新知，发现规律

从高斯算法中，人们怎样求出首项为1，公差为1的等差数列1+2+3+„+n的和？ 首先1+2+„+n(1)n+(n-1)+„+1（2）

2Sn=（n+1)+(n+1)+„+(n+1)(n个（n+1））所以 1+2+„+n=n*(n+1)/2 我们把上面的方法称为“倒序相加法”，也就是说高斯当时用的就是“倒序相加法”算出了1+2+„+100的和

然而这个方法可以推广到等差数列的前n项和 定义：一般地，我们把a1+a2+„+an叫做等差数列的前n项和，用Sn表示

即Sn=a1+a2+„+an

从高斯算法中得到的启示，对于一般的等差数列，其中a1是首项，d是公差，我们可以用两种方法来表示

Sn=a1+a2+„+an

=a1+(a1+d)+„++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+„+a1

=an+(an-d)+„+[an-(n-1)d](4)两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+„+(a1+an)，有n个(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)与(6)区别：第一个公式反映了等差数列的首项与末项之和跟第n项与倒数第n项之和是相等的；第二个公式反映了等差数列的首项与公差d之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数作比较。

联系：将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2

（三）知识应用，反思，提高强化知识

例1：已知等差数列{an}的通项公式an=2n+3,求Sn 解:因为an=2n+3

所以a1=5, 即Sn=n(a1+an)/2

=n^2+4n 例2：已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，求前n项和公式Sn 解：因为S10=10* a1+10*9*d/2=310

S20=20* a1+20*19*d/2=1220 所以Sn=n* a1+n(n-1)d/2

=4n+n(n-1)*6/2 =3n^2+n 习题1：设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S9=72，求a2+a4+ a9=？

解：因为S9=9a1+8*9*d/2=9a1+36d=9(a1+4d)=72

所以a1+4d=8

又因为a2+a4+a9=a1+d+a1+2d+a1+8d

=3a1+12d =3(a1+4d)=3*8 =24

（四）归纳总结

对Sn=n(a1+an)/2 与 Sn=na1+n(n-1)d/2两个公式的熟练运用：注：已知条件不同时，公式的选择要依据已知条件，有利于很快的解决问题。

（五）作业布置

P45,1，2

教学过程【第三篇】

一。新课引入

提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示）

问题就是（板书）“”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的。（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。

我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？

二。讲解新课

（板书）等差数列前项和公式

1、公式推导（板书）

问题（幻灯片）：设等差数列的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义。

思路一：运用基本量思想，将各项用和表示，得

，有以下等式

，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关。这个思路似乎进行不下去了。

思路二：

上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，，两式左右分别相加，得

，

于是有：。这就是倒序相加法。

思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是。

于是得到了两个公式（投影片）：和。

2、公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式。

3、公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一。

例1.求和：（1）；

（2）（结果用表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法。

例2.等差数列中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于的一元二次函数，注意得到的项数必须是正整数。

三。小结

1、推导等差数列前项和公式的思路；

2、公式的应用中的数学思想。

四。板书设计

等差数列及其前n项和【第四篇】

等差数列及其前n项和

（一）D

一、知识点梳理 1 等差数列的定义和判定方法 2 等差数列的通项公式 3 等差数列的性质 4 等差数列的前n项和 5 等差数列前n项和以及各项和的有关性质

二、 基础自测P95/1—5

三、 典型例题：

例1 、P92/例1及变式

1例2

已知数列a1

n的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an＝－2SnSn－1(n2)．

1数列{

1S是否为等差数列，请证明你的结论；

n

2求an的通项公式．、变式练习2

已知数列an，Sn是其前n项和，且Sn＋1＝4an＋2(nN*

)，a1＝1.1设bn＝an＋1－2an（nN*），求bn；2设cann＝

2n，求证：是等差数列；

3求an.

例

3、 P92/例2及变式

2练习：

1、已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn. 2.等差数列{an}前n项的和为Sn，若S19＝95，则a3＋a17＝ __________

例

3、P93/例3及变式

3例4

已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bann＝

1

1求公差d的值；2若a1＝－

52，求数列bn中的最大项和最小项的值．

例

5、数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0（n∈N*）． (1)求数列{an}的通项公式；

（2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.四、课内练习 1．(2010·扬州一模卷）等差数列{an}中，若a1＋a2＝4，a9＋a10＝36，则S10＝______.

2、正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝________.3. 已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列， 则a2=（）

8242472等差数列及前n项和

（二）DA．–4B．–6C． –8D．–10

13、若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于和为390,则这个数列有项；

A．18B．36C．54D．72

14、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和

5、在等差数列an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6等于

A、40B、42C、43D、456、等差数列aa

n中，已知113,a2a54,an33，试求n的值

7、已知数列an的首项为a1=3，通项an与前n项和sn之间满足2an=sn·sn1（n≥2）。



1(1)求证：

S

n是等差数列，并求公差；

（2）求数列an的通项公式

8、an是等差数列，如果a1f(x1)，a22,a3f(x1)，其中f(x)3x2，求通项公式an9、已知6,a,b,48成等差数列，6,c,d,48成等比数列，则abcd的值为_________.10、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）

A、5B、4C、 3D、211、设{an}是公差为2的等差数列，a1a4a7a9750,则a3a6a9a99等于 （）

A．－50 B．50 C．16 D．8212、若关于x的方程x2－x+a=0和x2－x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为1

4的等差数列，则a+b的值是 是．