高中数学求法向量秒杀技巧整理【汇集6篇】
求法向量时，先确定法向量的方向，利用平面方程或点法式，简化计算，快速得出结果，是否掌握？以下是网友为大家整理分享的“高中数学求法向量秒杀技巧整理”相关范文，供您参考学习！
高中数学求法向量秒杀技巧 篇1
1. 掌握向量的基本概念和运算法则
向量有大小和方向两个特征，可以用有向线段表示。向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积等，要熟练掌握向量的运算法则和运算规律。
2. 熟练掌握向量坐标表示法
向量的坐标表示法可以大大简化向量的计算和运算，要熟练掌握向量的坐标表示法，能够快速转换坐标、求向量长度和方向角等。
3. 注意向量共线和垂直的判断方法
在平面向量问题中，向量共线和垂直的判断非常重要。向量共线的判断方法包括比较向量的方向比和坐标分量比，向量垂直的判断方法包括向量数量积为0和向量坐标分量相乘为0等方法。
4. 熟练掌握平面向量的应用方法
平面向量的应用范围广泛，包括平面向量的共面关系、向量运动学、向量叉积的几何意义等。要熟练掌握平面向量的应用方法，能够熟练处理各种向量问题。
文章目录 篇2
高中数学求法向量秒杀技巧
高中数学求法向量标准步骤公式
高中数学求法向量知识点总结归纳
高中数学求法向量易错题及答案
高中数学求法向量例题及答案
高中数学求法向量例题及答案 篇3
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，与点
关于平面
对称的点为（ ）
A．B．
C．
D．
2．在空间直角坐标系内，平面经过三点
，向量
是平面
的一个法向量，则
（ ）
A．B．
C．5 D．7
3．已知点，若向量
，则点B的坐标是（ ）．
A．B．
C．
D．
4．如图，是水平放置的
的直观图，
，
，则
的面积是（ ）
A．6 B．12 C．D．
5．平面的一个法向量是
,
,
，平面
的一个法向量是
,6,
，则平面
与平面
的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
6．已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．B．
C．
D．
7．O、A、B、C为空间四点，且向量、
、
不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．、
、
共线 B．
、
共线
C．、
共线 D．O、A、B、C四点共面
8．在正方体中，
为线段
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．
D．
9．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．
C．1 D．
10．在正方体中，
，
分别为
，
的中点，则（ ）
A．平面
B．异面直线
与
所成的角为30°
C．平面平面
D．平面
平面
二、填空题
11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝ .
12．若直线的方向向量
，平面
的法向量
，且直线
平面
，则实数
的值是 .
13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面
，
，
，则四面体PABC的外接球的表面积为 ．
14．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量
满足对任意的
的最小值是2，则
的最小值是 ．
三、解答题
15．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点．
(1)求证：∥平面
．
(2)若平面ABC，
，求证：
平面
．
16．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：（1）EH∥平面BCD；
（2）BD∥平面EFGH.
17．如图，在四棱锥中，
平面
，底面
是正方形，
与
交于点O，E为
的中点.
(1)求证：平面
；
(2)求证：平面平面
.
18．如图，在三棱锥中，平面
平面
，
，
为
的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
的大小为
，求三棱锥
的体积.
参考答案与解析
1．A
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点，则其关于平面
对称的点为
.
故选：A.
2．D
【解析】求出，
，利用与
数量积为0，求解即可.
【详解】，
可得，
，
故选：D
3．B
【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.
【详解】设为空间坐标原点，
.
故选：B
4．B
【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原是一个直角三角形，其中直角边
，直接求解其面积即可．
【详解】解：由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边
，
∴．
故选：B．
5．C
【分析】由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面
与平面
的位置关系.
【详解】平面
的一个法向量是
,
,
，平面
的一个法向量是
,6,
，
，
平面
与平面
的关系是平行或重合．
故选：C．
6．D
【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积
【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，
所以该圆柱的侧面积为.
故选：D
7．D
【解析】根据向量、
、
不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.
【详解】因为O、A、B、C为空间四点，且向量、
、
不能构成空间的一个基底，
所以、
、
共面，
所以O、A、B、C四点共面，
故选：D
8．B
【分析】连接，
，得到
，把异面直线
与
所成角转化为直线
与
所成角，取
的中点
，在直角
中，即可求解.
【详解】在正方体中，连接
，
，可得
，
所以异面直线与
所成角即为直线
与
所成角，
即为异面直线
与
所成角，
不妨设，则
，
，
取的中点
，因为
，所以
，
在直角中，可得
.
故选：B.
9．C
【分析】根据球的表面积和
的面积可求得球
的半径
和
外接圆半径
，由球的性质可知所求距离
.
【详解】
设球的半径为
，则
，解得：
.
设外接圆半径为
，边长为
，
是面积为
的等边三角形，
，解得：
，
，
球心
到平面
的距离
.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
10．D
【分析】A项反证法可得；
B项由平移法计算异面直线所成角；
C项由面面平行的判断和性质可得结果；
D项建立空间直角坐标系可得结果.
【详解】对于选项A，假设面
，则
，这与已知
与
不垂直相矛盾，所以假设不成立.
故选项A错误；
对于选项B，连接，
，
因为，所以
为异面直线
与
所成的角或补角，
又因为△为等边三角形，所以
，故选项B错误；
对于选项C，
因为，
，由面面平行的判定定理可得平面
平面
，而平面
与平面
相交，所以平面
与平面
也相交，故选项C错误；
对于选项D，以为坐标原点，
，
，
所在的直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为1，则，
，
，
，可得
，
，
，设平面
的法向量为
，
则，可取
，则
，
，即
，
设平面的法向量为
，则
，
可取，则
，
，可得平面
的一个法向量为
，
由，所以
，即平面
平面
，故选项D正确.
故选：D.
11．135°
【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB∥CD，可得，进而得出结论.
【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB∥CD，
，
即.
故答案为：135°.
【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.
12．-1
【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】直线的方向向量
，平面
的法向量
，直线
平面
，
必有，即向量
与向量
共线，
，∴
，解得
；
故答案为：-1.
13．
【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．
【详解】由于平面
，因此
与底面上的直线
都垂直，
从而与
不可能垂直，否则
是锐角三角形，由于
，因此有
，
而与
是平面
内两相交直线，则
平面
，
平面
，所以
，
所以的中点
到
四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．
，
，
所以所求表面积为．
故答案为：．
14．
【分析】以方向为
轴，垂直于
方向为
轴建立空间直角坐标系，根据条件求得
坐标，由
的表达式即可求得最小值.
【详解】以方向为
轴建立空间直角坐标系，则
，
，
设则
，
当时
的最小值是
，
取则
又因为是任意值，所以
的最小值是
.
取则
又因为是任意值，所以
的最小值是
.
故答案为：.
15．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)连接，交
于点
，连接
，用中位线证明
即可；
(2)证明CD⊥AB，CD⊥即可.
【详解】（1）连接，交
于点
，连接
∵是三棱柱，∴四边形
为平行四边形，∴
是
的中点.
∵点是
的中点，∴
是
的中位线，∴
，
又平面
，
平面
，∴
∥平面
.
（2）∵平面
，
平面
，∴
，
∵，
，∴
，
∵，
平面
，
∴平面
.
16．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；
（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.
【详解】（1）∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴EH∥平面BCD；
（2）∵FG为△CBD的中位线，
∴FG∥BD，
∴FG∥EH，
∴E、F、G、H四点共面，
∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴O为
的中点，
∵E为的中点，∴
，
又∵平面
平面
，∴
平面
；
（2）证明：∵四边形为正方形，∴
，
∵平面
，且
平面
，所以
，
又∵平面
，且
，∴
平面
，
又∵平面
，∴平面
平面
.
18．(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是
中点，所以
，
因为平面
，平面
平面
，
且平面平面
，所以
平面
．
因为平面
，所以
.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为
轴，
为y轴，垂直
且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系
，
则，设
,
所以，
设为平面
的法向量，
则由可求得平面
的一个法向量为
．
又平面的一个法向量为
，
所以，解得
．
又点C到平面的距离为
，所以
，
所以三棱锥的体积为
．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结
，则
．
因为平面
，所以
平面
，
为二面角
的平面角．
因为，所以
．
由已知得，故
．
又，所以
．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记
为
，
为
，
，
记二面角为
．据题意，得
．
对使用三面角的余弦公式，可得
，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得
．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得
．
如图可知，即有
，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得
，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥
的体积为
．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
以上是高中数学求法向量秒杀技巧的相关内容，希望对你有所帮助。另外，今天的内容就分享到这里了，想要了解更多的朋友可以多多关注本站。
高中数学求法向量易错题及答案 篇4
一、选择题
1．中，
，
是
中点，
是线段
上任意一点，且
，则
的最小值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
2．过点的直线
与函数
的图象交于
，
两点，
为坐标原点，则
（ ）
A．B．
C．10 D．20
3．已知，
，则
的最大值等于（ ）
A．4 B．C．
D．5
4．如图，在梯形ABCD中，，
，
，E是CD的中点，
，若
，则梯形ABCD的高为（ ）
A．1 B．C．
D．2
5．如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在
的延长线上，且
，点P为
内(含边界)的动点，设
，则
的最大值等于( )
A．3 B．2 C．D．
6．在平行四边形
中，
，若
交
于点M.且
，则
（ ）
A．B．
C．
D．
7．在
中，
是
的中点，
是
的中点，那么下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
8．如图，正方形
的边长为6，点
，
分别在边
，
上，且
，
．若有
，则在正方形的四条边上，使得
成立的点
有（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．0
9．在中，
为
边上一点，且
，向量
与向量
共线，若
，
，
，则
（ ）
A．3 B．C．2 D．
10．在
中，
，
，
，
是
上一点，且
，则
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知中，
，且
，点
，
是
边的两个三等分点，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．设O是△ABC的外接圆圆心、且，则∠BOC=（ ）
A．B．
C．
D．
二、填空题
13．在矩形中，已知
、
分别是
、
上的点，且满足
，
．若
，则
的值为 ．
14．在中，
，P为
所在平面内一动点，则
的最小值为 ．
15．如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则的最小值是 .
16．已知平面非零向量两两所成的角相等，
，则
的值为 ．
17．如图，在中，
是
的中点，
，
是
上的两个三等分点
，
，则
的值是 .
18．已知平面向量，
，
，
，
，则
.
19．已知都是单位向量，且
与
的夹角是
，
= .
20．在中，
，
，
是
的中点，
是
上一点，且
，则
的值是 .
三、解答题
21．已知，
，
.
（1）若，判断
的形状，并给出证明；
（2）求实数的值，使得
最小；
（3）若存在实数，使得
，求
、
的值.
22．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值．
（2）若AB＝2，当1时，求DF的长．
23．已知向量，
.
（1）若，其中
，求
的坐标；
（2）若与
的夹角为
，求
的值.
24．已知单位向量，
，的夹角为
，向量
，向量
.
（1）若，求
的值；
（2）若，求
.
25．（1）已知平面向量、
的夹角为
，且
，
，求
与
的夹角；
（2）已知平面向量，
，
，若
，求
的值.
26．已知向量、
的夹角为
，且
，
.
（1）求的值；
（2）求与
的夹角的余弦.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出，再利用向量的数量积的运算可以得到
，因为
，代入计算可求出最小值.
【详解】
解：在直角三角形中，
，则
，因为M为BC的中点，所以
.设
，
所以当，即
时，原式取得最小值为
.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；
（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积；
（3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.
2．D
解析：D
【分析】
判断函数的图象关于点P对称，得出过点
的直线
与函数
的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有
，再计算
的值．
【详解】
，
∴函数的图象关于点
对称，
∴过点的直线
与函数
的图象交于A，B两点，
且A，B两点关于点对称，
∴，则
．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．
3．C
解析：C
【分析】
利用基本不等式得到，然后利用平面向量数量积运算求解.
【详解】
因为，
，
所以，
当且仅当，即
时取等号，
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.
4．C
解析：C
【分析】
以为一组基底，表示向量
，然后利用
，求得
，然后由梯形ABCD的高为
求解.
【详解】
因为，
，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴梯形ABCD的高为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
5．D
解析：D
【分析】
以为原点，边
和
所在的直线分别为
和
轴建立如图所示的平面直角坐标系，设
，易得
，则
，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数
在可行域
内(含边界)的最大值，即可求出结果．
【详解】
以为原点，边
和
所在的直线分别为
和
轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则
，如下图所示：
设，
∵，
∴，
∴，即
，
∴，
令则
，其中
为直线
在
轴上的截距，
由图可知，当该直线经过点时，其在
轴上的截距最大为
，
∴的最大值为
．
故选：D．
【点睛】
本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．B
解析：B
【分析】
根据已知找到相似三角形，用向量、
线性 表示向量
.
【详解】
如图，平行四边形中，
，
，
，
.
故选：B
【点睛】
此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.
7．C
解析：C
【解析】
依题意如图所示：
∵是
的中点
∴，故
错误
∵是
的中点
∴，故
错误
∵，
∴
，故
正确
∴，故
错误
故选C
8．B
解析：B
【分析】
建立坐标系，逐段分析的取值范围及对应的解．
【详解】
以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，
（1）若P在CD上，设，
，
，
，
当
时有一解，当
时有两解；
（2）若P在AD上，设，
，
，
，
当
或
时有一解，当
时有两解；
（3）若在
上，设
，
，
，
，
当
或
时有一解，当
时有两解；
（4）若在
上，设
，
，
，
，
，
当
或
时有一解，当
时有两解，
综上可知当时，有且只有4个不同的点
使得
成立.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．
9．B
解析：B
【解析】
取BC的中点E，则与向量
共线，所以A、D、E三点共线，即
中
边上的中线与高线重合，则
.因为
，所以G为
的重心，则
所以
本题选择B选项.
10．C
解析：C
【解析】
在中，
，
，
是
是上一点，且
，
如图所示，
设，所以
，
所以，
解得，所以
，故选C．
11．B
解析：B
【分析】
由知，
，根据平面向量的线性运算可推出
，
，故
，展开后代入数据进行运算即可.
【详解】
解：∵，∴
，
∵点是
边的三等分点，
∴.
同理可得，，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.
12．B
解析：B
【分析】
不妨设的外接圆的半径为1，作
，以
为邻边作平行四边形COFE，可得
，利用余弦定理,再利用两角和余弦公式可得
【详解】
不妨设的外接圆的半径为1，作
，以
为邻边作平行四边形COFE，
，所以
，
，
故选：B
【点睛】
本题考查了平面几何和向量的综合，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
二、填空题
13．【分析】本题首先可根据题意得出然后将转化为再然后根据列出算式最后通过计算即可得出结果【详解】如图结合题意绘出图像：因为所以则故因为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算主要考查
解析：【分析】
本题首先可根据题意得出、
，然后将
转化为
，再然后根据
列出算式，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
如图，结合题意绘出图像：
因为，
，
所以，
，
则，
，
故，
因为，
所以，解得
，
，
，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.
14．【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算公式将用的坐标表示利用配方法求得最小值【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系易知设则故当且仅当时取得等号∴所求最小值为故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的坐
解析：【分析】
建立坐标系，利用向量的坐标运算公式将用
的坐标表示，利用配方法求得最小值.
【详解】
由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知，设
，
则，
故．
当且仅当时取得等号，
∴所求最小值为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量的数量积的坐标运算和配方法求最值，关键在于建立坐标系，用的坐标表达所求的向量的数量积，属中档题.
15．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切
解析：【分析】
延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，在
上的投影最小，设
，将结果表示为关于
的二次函数，求出最值即可.
【详解】
如图，
延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，等于
在
上的投影与
之积，
当点A运动到A1时，在
上的投影最小；
设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；
设CP=x，则CD=2-，CB=2
，
=
，
，
所以当时，
最小，最小值为
，
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.
16．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两
解析：3或0
【分析】
由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或
，由于三个向量的模已知，当
两两夹角为
时，直接算出结果；当
两两夹角为
时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模．
【详解】
由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或
，
当两两夹角为
时，
方向相同，则
；
当两两夹角为
时，由于
，
则，
则，
.
综上的值为3或0.
故答案为：3或0.
【点睛】
本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.
17．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基
解析：【分析】
将均用
表示出来，进而将
，
表示成与
相关，可以求出
，同时
可用
表示，即可求出结果.
【详解】
因为，
，
因此，
故答案为：
.
【点睛】
研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题
解析：【分析】
根据，得到
，然后两边平方结合
，
，
，
，求得
，再由
求解即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
，
，
，
所以，
.
故答案为：【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题
解析：【分析】
根据数量积公式得出的值，再由
得出答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.
20．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题
解析：【分析】
用、
表示向量
、
，然后利用平面向量数量积的运算律可求得
的值.
【详解】
为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）为直角三角形；（2）
；（3）
.
【分析】
（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；
（2）根据题意可得，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；
（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.
【详解】
（1）当时，
为直角三角形.证明如下：
当时，由
，
，
，则
，
，
此时，即
，即
，
所以，为直角三角形.
（2）由题意，，
，则
，
所以，，当且仅当
时取等号.
故当时，
取得最小值为
.
（3）由题意，，
，因
，
所以，解得
.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.
22．（1）；（2）
．
【分析】
（1）先转化得到，
，再表示出
，求出λ
，μ
，最后求λ+μ的值；
（2）先得到和
，再建立方程
求解λ
，最后求DF的长.
【详解】
（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，
∴，
，
∴，
∴λ，μ
，
故λ+μ.
（2）设λ
，则
λ
，
又，
0，
∴（
）•（
λ
）＝﹣λ
2
4λ+2＝1，
故λ，
∴DF＝（1﹣λ）×2．
【点睛】
本题考查利用向量的运算求参数，是基础题
23．（1）；（2）
.
【分析】
（1）由向量模的坐标表示求出，可得
的坐标；
（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．
【详解】
（1）由题知，
，解得
，
故；
（2），
∴.
【点睛】
本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．
24．（1）；（2）
．
【分析】
（1）由，所以存在唯一实数ｔ，使得
，建立方程组可得答案；
（2）由已知求得，再由
得
，可解得
，再利用向量的模的计算方法可求得答案.
【详解】
（1）因为，所以存在唯一实数ｔ，使得
，即
，
所以，解得
；
（2）由已知得，由
得
，即
，解得
，
所以，所以
，所以
．
【点睛】
本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.
25．（1）；（2）
.
【分析】
（1）设与
的夹角为
，计算出
的值和
的值，利用平面向量的数量积的运算求得
，结合
的取值范围可求得
的值；
（2）求得平面向量的坐标，由
，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数
的值.
【详解】
（1）设与
的夹角为
，
由于，
，且平面向量
、
的夹角为
，
，
，
所以，，
，因此，
；
（2）平面向量
，
，
，
，
，
，解得
.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角，同时也考查可利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于中等题.
26．（1）（2）
【分析】
（1）利用定义得出，再结合模长公式求解即可；
（2）先得出，再由数量积公式得出
与
的夹角的余弦.
【详解】
（1）（2）
【点睛】
本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.
高中数学求法向量标准步骤公式 篇5
一、 平面的法向量
1、定义：如果，那么向量
叫做平面
的法向量。平面
的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量
[或
，或
]，在平面
内任找两个不共线的向量
。由
，得
且
，由此得到关于
的方程组，解此方程组即可得到
。
方法二：任何一个的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是
的一次方程。
，称为平面的一般方程。其法向量
;若平面与3个坐标轴的交点为
,如图所示,则平面方程为:
,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法):设,
为空间中两个不平行的非零向量，其外积
为一长度等于
，（θ为
,
两者交角，且
），而与
,
皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为
的方向,
。
（注：1、二阶行列式:
；2、适合右手定则。）
例1、已知，
，
试求（1）：（2）：
Key:(1)
;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体
中，
求平面AEF的一个法向量。
二、平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设是平面
的法向量，
AB是平面的一条斜线，
，则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)、求面面角:设向量
，
分别是平面
、
的法向量，则二面角
的平面角为：
（图2-2）;
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面
而言向外，
的方向对平面
而言向内；在图2-3中，
的方向对平面
而言向内，
的方向对平面
而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角
的平面角。
2、求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、
，
求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；
③求向量在
上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
,其中
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
为平面α内任一点，平面的法向量为
，则点P到
平面α的距离公式为（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-6,直线与平面
之间的距离：
，其中
。
是平面
的法向量
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：
，其中
。
是平面
、
的法向量。
3、 证明
（1）、证明线面垂直：在图2-8中,
向是平面
的法向量，
是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（
）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中,向是平面
的法向量，
是直
线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。
（3）、证明面面垂直：在图2-10中，
是平面
的法向量，
是平
面的法向量，证明两平面的法向量垂直（
）
（4）、证明面面平行：在图2-11中,向是平面
的法向量，
是平面
的法向量，证明两平面的法向量共线（
）。
三、高考真题新解
1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
，
，设平面PAD的法向量为
，
，设平面PCD的法向量为
，
，即平面PAD
平面PCD。
，
，
，
，设平在AMC的法向量为
.
又,设平面PCD的法向量为
.
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为
.
2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分)
如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,
,设平面A1BC的法向量为
又
,
,
,即AD//平面A1BC.
,
,设平面A1MC的法向量为:
,
又,
,设平面A1BD1的法向量为:
,
,
,即平面A1MC
平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又,
A点到平面A1MC的距离为:
.
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
高中数学求法向量知识点总结归纳 篇6
一．向量的概念：
1．向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。
2． 向量的表示方法：
（1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）
（2）字母表示法：可表示为
3.模的概念：向量
的大小——长度称为向量的模。
记作：|| 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
1 零向量——长度（模）为0的向量，记作。
的方向是任意的。 注意
与0的区别
2 单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
二．向量间的关系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：
∥
∥
规定：
与任一向量平行
2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：=
规定：
=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。
三．向量的加法：
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
强调：
1 “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点
2 可以推广到n个向量连加
34 不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
3.加法的交换律和平行四边形法则
1 向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：
2 向量加法的交换律：+
=
+
3 向量加法的结合律：(
+
) +
=
+ (
+
)
4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。
四．向量的减法：
1.用“相反向量”定义向量的减法
1 “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2 规定：零向量的相反向量仍是零向量。 ( a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + ( a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0
3 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3.向量减法做图：表示a b。强调：差向量“箭头”指向被减数
总结：1 向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2 向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)
1.实数与向量的积
实数λ与向量的积，记作：λ
定义：实数λ与向量
的积是一个向量，记作：λ
1 |λ
|=|λ||
|
2 λ>0时λ与
方向相同；λ<0时λ
与
方向相反；λ=0时λ
=
2．运算定律：结合律：λ(μ
)=(λμ)
①
第一分配律：(λ+μ)=λ
+μ
②
第二分配律：λ(+
)=λ
+λ
③
3.向量共线充要条件：
向量与非零向量
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ
使=λ
六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）
平面向量基本定理：如果，
是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平面内的任一向量
，有且只有一对实数λ1，λ2使
=λ1
+λ2
注意几个问题：1
、
必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2 这个定理也叫共面向量定理
3 λ1，λ2是被，
，
唯一确定的数量
第二部分：向量的坐标运算
七．向量的坐标表示与坐标运算
1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
取x轴、y轴上两个单位向量,
作基底，则平面内作一向量
=x
+y
，
记作：=(x, y) 称作向量
的坐标
2．注意：1 每一平面向量的坐标表示是唯一的；
2 设A(x1, y1) B(x2, y2) 则=(x2x1, y2y1)
3 两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
4．实数与向量积的坐标运算：已知=(x, y) 实数λ
则λ=λ(x
+y
)=λx
+λy
∴λ
=(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
八．向量平行的坐标表示
结论：∥
(
)的充要条件是x1y2-x2y1=0
注意：1 消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵∴x2, y2中至少有一个不为0
2 充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0
3 从而向量共线的充要条件有两种形式：∥
(
)
九．线段的定比分点：
1．线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
使
=λ
λ叫做点P分
所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
2.定比分点坐标公式3．中点公式：若P是
中点时，λ=1
4．注意几个问题：
1 λ是关键，λ>0内分
λ<0外分
λ -1 若P与P1重合，
λ=0 P与P2重合
λ不存在
2 中点公式是定比分点公式的特例
3 始点终点很重要，如P分的定比λ=
则P分
的定比λ=2
4 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一
十．平面向量的数量积及运算律
（一）平面向量数量积
1．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = |a||b|cos ，
并规定0与任何向量的数量积为0。
2．向量夹角的概念：范围0 ≤ ≤180
3．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
1 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。
2 两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
3 在实数中，若a 0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a 0，且a b=0，不能推出b=0。因为其中cos 有可能为0。这就得性质2。
4 已知实数a、b、c(b 0)，则ab=bc a=c。但是a b = b c a = c
如右图：a b = |a||b|cos = |b||OA|
b c = |b||c|cos = |b||OA|
ab=bc 但a c
5 在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。
（二）投影的概念及两个向量的数量积的性质：
1．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影。
注意：1 投影也是一个数量，不是向量。
2 当 为锐角时投影为正值；
当 为钝角时投影为负值；
当 为直角时投影为0；
当 = 0 时投影为 |b|；
当 = 180 时投影为 |b|。
2．向量的数量积的几何意义：
数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos 的乘积。
3．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
1 e a = a e =|a|cos
2 a b a b = 0
3 当a与b同向时，a b = |a||b|；当a与b反向时，a b = |a||b|。
特别的a a = |a|2或4 cos =
5 |a b| ≤ |a||b|
十一. 平面向量的数量积的运算律
1.交换律：a b = b a
2.结合律：(a) b =
(a b) = a (
b)
3.分配律：(a + b) c = a c + b c
十二. 平面向量的数量积的坐标表示
1.设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i i = 1，j j = 1，i j = j i = 0
b = x1x2+ y1y2
3.长度、角度、垂直的坐标表示
1 a = (x, y) |a|2= x2+ y2|a| =2 若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则
=
3 cos =
4 ∵a b a b = 0 即x1x2+ y1y2= 0（注意与向量共线的坐标表示原则）
十三.平移
一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）一个平移实质上是一个向量
二、平移公式：设= (h, k)，即：
∴(x’, y’) = (x, y) + (h, k) ∴
—— 平移公式
三、注意：1 它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系
2 知二求一
3 这个公式是坐标系不动，点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点P’(x’, y’)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量 a，即：。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的，
这两个公式作用是一致的。
十四. 正弦定理
1 正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等
公式即：=
=
它适合于任何三角形。
2 可以证明=
=
=2R （R为△ABC外接圆半径）
3 每个等式可视为一个方程：知三求一
从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
十五. 余弦定理
1．余弦定理语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2. 余弦定理公式：
4.强调几个问题：
1 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
2 知三求一
3 当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
4 变形：三、余弦定理的应用
能解决的问题：1．已知三边求角
2．已知三边和它们的夹角求第三边
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