高中数学平面向量教案精编5篇

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高中数学平面向量教案1

平面向量

基本知识回顾：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向。 2.向量的表示方法：

????

①用有向线段表示-----AB(几何表示法);

??

②用字母a、b等表示(字母表示法);

③平面向量的坐标表示(坐标表示法)：

???

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平

面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj，(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特

?

???

别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a?

?

??

?

A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

AB?

?x2?x1,y2?y1?，

AB?

3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为0;

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。就是单位向量)

4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

?

②我们规定0与任一向量平行。向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量。

???

0,b与a同向方向---?

?性质：a//b(b?0)?a??b(?是唯一)????0,b与a反向 ???

长度---|a|??b??

??

a//b(b?0)?x1y2?x2y1?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

?

②垂直向量——两向量的夹角为？

2

性质：a?b?a?b?0

a?b?x1x2?y1y2?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则：

AC?a?b(起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形)

DB?a?b

?加法？首尾相连

三角形法则？

?减法？终点相连，方向指向被减数

???

——加法法则的推广： ABn?AB1?B1B2????Bn?1Bn

即n个向量a1,a2,??an首尾相连成一个封闭图形，则有a1?a2????an?0 ??

②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a ?b= a+ (?b); ??

??

差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a? b

????

③平面向量的坐标运算：若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，???

a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。

④向量加法的交换律：a+b=b+a;向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用结论：

????1??

(1)若AD?(AB?AC)，则D是AB的中点

2

?

(2)或G是△ABC的重心，则GA?GB?GC?0

7.向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB|

2、模的求法：

?

?

若 a?(x,y)，则 |a|?

????

若A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB|?

3、性质：

??2??2

(1)|a|?a; |a|?b(b?0)?|a|2?b2 (实数与向量的转化关系)

????

2

(2)a?b?|a|?|b|2，反之不然

(3(转载于：高中平面向量教学设计))三角不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

(4)|a?b|?|a||b| (当且仅当a,b共线时取“=”)

即当a,b同向时 ，a?b?|a||b|; 即当a,b同反向时 ，a?b??|a||b|

(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

222

即2|a|?2|b|?|a?b|?|a?b|2

8.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa (1)|λa|=|λ||a|;

(2)λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0; ?

??

(3)运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

交换律：a?b?b?a;

分配律：(a?b)?c?a?c?b?c

(?a)2b=?(a2b)=a2(?b);

——①不满足结合律：即(a?b)?c?a?(b?c)

?2

a

②向量没有除法运算。如：a?b?c?b?a?c，?

a?b

?a

都是错误的 b

??

(4)已知两个非零向量a,b，它们的夹角为？，则 ????

a?b =|a||b|cos?

坐标运算：a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2

(5)向量AB?a在轴l上的投影为：

????

︱a︱cos?， (?为a与n的夹角，n为l的方向向量)

???a?n?n

?(为n的单位向量)

|n||n|

其投影的长为AB

//

????

(6)a与b的夹角？和a?b的关系：

????

(1)当？0时，a与b同向；当？时，a与b反向

?a?b?0?a?b?0

(2)?为锐角时，则有？; ?为钝角时，则有？ ??

???a,b不共线？a,b不共线

9.向量共线定理：

???

向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=

λa。

10.平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。

(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一。 λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=(x,y);当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的数量积。

高中数学平面向量教案2

教学目的：

1 掌握平面向量数量积运算规律；

2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

教学重点：平面向量数量积及运算规律

教学难点：平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 

教学过程：

一、复习引入：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量 与 ，作 = ， = ，则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有  = | || |cos，

(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0

3.“投影”的概念：作图

定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |

4.向量的数量积的几何意义：

数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积

5.两个向量的数量积的性质：

设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

1  =  =| |cos;2    = 0

3当 与 同向时，  = | || |;当 与 反向时，  = | || |

特别的  = | |2或

4cos = ;5|  | ≤ | || |

6.判断下列各题正确与否：

1若 = ，则对任一向量 ，有  = 0 ( √ )

2若  ，则对任一非零向量 ，有   0 ( × )

3若  ，  = 0，则 = ( × )

4若  = 0，则 、 至少有一个为零 ( × )

5若  ，  =  ，则 = ( × )

6若  =  ，则 = 当且仅当  时成立 ( × )

7对任意向量 、 、 ，有(  )  (  ) ( × )

8对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )

高中数学平面向量教案3

教学准备

教学目标

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件。

教学重难点

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学工具

投影仪

教学过程

一、复习引入：

1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

五，课堂小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

六、课后作业

P107习题组2、7题

课后小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

课后习题

作业

P107习题组2、7题

板书

略

高中数学平面向量教案4

一、教学目标

(一)知识与能力

1.了解平面向量的概念；

2.学会平面向量的表示方法；

3.理解向量、零向量、相等向量的意义。

(二)过程与方法

用联系的方法、类比的观点研究向量。

(三)情感态度与价值观

使学生自然地实现概念的形成，培养学生的唯物辩证思想。

二、教学重难点

(一)教学重点

向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

(二)教学难点

向量的概念及对平行向量的理解。

三、教学过程

(一)引入

1.类比法：引入概念

师：在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，把只有大小，没有方向的量叫数量，把既有大小、又有方向的量叫做向量。

2.联系法：激活学生的相关经验，加深印象

师：能否举出一些生活中既有大小又有方向的量？

(二)平面向量的表示方法

1.代数表示

一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，如。

2.几何表示

向量可以用有向线段的起终点字母表示：。

3.坐标表示

在直角坐标系内，任取两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

(三)相关概念

1.向量的模

有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

2.单位向量

引入：用有向线段表示向量，大家所画线段长短不一是为什么呢？(由单位长度引入单位向量)

总结：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示。

3.零向量

长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

4.平行向量(共线向量)

两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，记作0//。

5.相等向量

设计活动：传花游戏(通过游戏调动兴趣，让学生体会相等向量的本质特征)

总结：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。具体教学中，要设计一个能让学生领悟概念的过程，引导他们联系具体事例，体会概念的本质特征。要使学生意识到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。

高中数学平面向量教案5

第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：课本P93(略)

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B问：猫能否追到老鼠？(画图)

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 AB

二、 提出课题：平面向量

1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1?数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2?从19世纪末到20体系，用以研究空间性质。

2. 向量的表示方法： a B

1?几何表示法：点—射线 (终点)有向线段——具有一定方向的线段 A(起点)

记作(注意起讫)

2?字母表示法：可表示为(印刷时用黑体字)

P95 例用1cm表示5n mail(海里)

3. 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的

4. 两个特殊的向量：

1?零向量——长度(模)为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别

2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量？

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥

规定：与任一向量平行

2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 a 记作：=

规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

所以平行向量也叫共线向量。

OA=a OB=b OC=c

例：(P95)略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？(11个)

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在) 变式三：与向量共线的向量有哪些？(,,)

四、 小结：

五、 作业：P96 练习 习题

第二教时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

过程：

六、复习：向量的定义以及有关概念

强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何

向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、 提出课题：向量是否能进行运算？

5.某人从A到B，再从B按原方向到C，

A BC

则两次的位移和：??

6.若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

7.某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

8.船速为AB，水速为BC，

则两速度和：??

提出课题：向量的加法 A B三、1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)

2.三角形法则： a b b

a+ a b a+b A A C A B B

B

1?“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起

点

2?可以推广到n个向量连加

3

4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3.例一、已知向量、，求作向量+

作法：在平面内取一点，

作？ ?

则？ O b

b AB C C 4.加法的交换律和平行四边形法则 B

上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同

从而得到：1?向量加法的平行四边形法则

2?向量加法的交换律：+=+

9.向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

证：如图：使？, ?, ?

a+c

则(+) +=??

+ (+) =??

∴(a+b) +c=a+ (b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二(P98—99)略

五、小结：1?向量加法的几何法则

2?交换律和结合律

3?注意：|+| > || + ||不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100练习P102 习题 1—3

第三教时

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 过程：

八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律： 例：在四边形中，??? 解：CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

九、 提出课题：向量的减法 A B

1.用“相反向量”定义向量的减法

1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量(?a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0

3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

即：a ? b = a + (?b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b

3.求作差向量：已知向量a、b，求作向量

∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a

a 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b

则= a ? b b b a?b

即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

注意：1?表示a ? b。强调：差向量“箭头”指向被减数

2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

B’ ?b a

b A b

∥b∥c B a ? b = a + (?b) a ? b

a?b O B A B’ O B

a?b O

A ?b B 十、例题： 例一、(P101 例三)已知向量a、b、c、

d，求作向量a?b、c?d。

解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,

作， ,则= a?b, = c?d

A b C

B 例二、平行四边形中，，用表示向量，

解：由平行四边形法则得：

= a + b, = ? = a?b

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？(|a| = |b|)

变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|?(a, b互相垂直)

变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？(不可能， 十一、 小结：向量减法的定义、作图法|

十二、 作业： P102 练习

P103 习题 4—8

第四教时

教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课