多项式的乘法实用2篇

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多项式的乘法1

一、教材与教学目标分析

㈠本节的地位与作用：

本节具有承上启下的作用：前一节()是单项式与多项式相乘，而后一节()是平方差公式。

本节对于前一节而言，是对前一节的扩展与深化，因为多项式的乘法最终要转化成单项式的乘法，同时渗透了化归的数学思想，其化归的工具是换元。

本节对于后一节而言，是后一节的基础，因为平方差公式是多项式乘以多项式的特殊情况，这时体现了从一般到特殊的原则，是认识上的一个深化过程。

本节是初中代数中乘法公式的基础，而乘法公式是式的运算的一个平台。

㈡教学目的(简单说：了解算理，掌握算法)：

⒈会叙述多项式相乘的法则(了解算法).

说明：“叙述”是理解的基础，是最基本的要求。

⒉知道多项式相乘的法则是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的(了解算理).

说明：体现了化归的数学思想，化归是数学上把新知识有效地迁移到已有知识的一种重要手段，也是学生学习的一种常用的学法；对此数学思想，只要了解即可。

⒊能按多项式乘法步骤进行较简单的多项式乘法的运算(掌握算法).

说明：侧重于整式的运算，是运算能力的体现，对此目的要求掌握。

㈢重点：多项式的乘法法则及其应用(算法).

难点：灵活运用多项式的乘法法则(算法)进行计算。

难点的突破：一方面分散难点，便于突破；另一方面通过动画在时空上延展此法则的得出过程，丰富感性认识；再次，通过适当的例题、习题不断深化、巩固、提高。

二、教学过程与教法分析

㈠教学方法：

⒈发现法：以启发性为主，讲解，动画等为辅的原则。

说明：在教学中采用此原则，便于学生在模仿、比较等探索性的学习实践过程中，逐步形成能力。

⒉讲解法：以学生为主体，教师为主导的原则。

说明：“以学生为主体”,便于发挥学生参与的积极性， “以教师为主导”,是为了进一步把学生的感性认识有序地逐步上升为理性认识。

㈡教学手段

⒈教具：矩形纸板。

⒉采用课件辅助教学，不但可发挥课件的动画效果，同时可减少板书时间，增大课堂容量。

㈢、授课程序：

⒈复习(一方面为本节课准备一些基础知识，另一方面为知识的对比提供背景，便于分散难点)；

⒉提出问题、分析问题(尝试、猜想、再尝试等)、解决问题；

⒊归纳、小结(在实践中，逐步把感性的认识上升为初步的理性认识)；

⒋巩固、提高(实践 )；

㈣、授课过程：

⒈复习(教师简单复述)

⑴单项式与多项式相乘的法则

①用文字叙述：

②用字母表示：

⑵注意：多项式是单项式的代数和，各单项式应包括前面的符号。

⒉提出问题(认知原则，从特殊性<问题Ⅰ>到普遍性<问题Ⅱ>的原则)

问题Ⅰ（简单） 尝试 解决问题。

计算：

方法一、原式= =15

方法二、原式= = =9+6=15

方法三、原式=

=3+6+2+4=15

说明：要求学生思考方法一与方法二的算法不同之处(运算顺序不同，但结果相同)，问题的简单、新颖在于引起兴趣与注意，调动学生的参与的积极性，再次改变运算顺序，得方法三，可让学生判断方法三是否正确。

问题Ⅱ（稍复杂） 猜想 尝试或再尝试 转化 解决问题

？(其算理、算法不明，与学生已有认知矛盾但可通过观察问题Ⅲ再逐步解决).

问题Ⅲ 求矩形的面积(不同算法，动画展示).

问题Ⅱ的算理：

说明：问题Ⅱ稍复杂、新颖在于激发学生好奇心与求知欲。

动画体现了问题的新颖性，在时空上延展了知识的发生过程，同时丰富了感性认识。

⒊归纳、小结（多项式乘法法则）：

⑴用字母表示：

⑵用文字叙述：

说明：此归纳过程从感性(动画)认知

较理性认知(字母表示、文字叙述) 理性认知(算理、算法)

⒋巩固、提高

说明：实践(认知此法则的过程) 理论(归纳、理解此法则的过程)

实践(巩固、提高)；

对公式整体上的理解（理论）：

⑴算理：多项式的乘法，可看作两次运用单项式与多项式相乘的法则得到(本节主要知识启发点).

⑵积的项数：（在未合并同类项之前其项数）

是这两个多项式的项数的积(本节知识启发点之一).

⑶公式的本质(算法)：其实就是改变了式的运算顺序。

例1 计算：

⑴     ⑵      ⑶

解（略）

小结：⒈积中各项的符号(多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号).

⒉最后结果应对同类项进行合并(本节知识启发点之一).

课堂练习1：

⑴        ⑵       ⑶

说明：⑴侧重于验证积的项数；  ⑵侧重于合并同类项；

⑶侧重于符号运算。

例2 计算：

⑴                     ⑵ .

解(略)

课堂练习2:

⑴      ⑵      ⑶

说明：侧重于知识的延伸与运用。

三、教学评价分析

㈠课外作业

1.计算(1)、(3)、(5)、(7)； 2.计算(2)、(3)

侧重于符号及合并同类项。

3.计算(2)、(4)侧重于合并同类项。

㈡根据部分后进生的实际情况加强课外个别辅导

初 一 代 数 教 案

莘村中学    欧阳云伟

一、课题名称： 多项式的乘法。

二、教学目的：

⒈会叙述多项式相乘的法则。

⒉知道多项式相乘的法则是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的。

⒊能按多项式乘法步骤进行较简单的多项式乘法的运算。

三、重点：多项式的乘法法则及其应用；

难点：灵活运用多项的乘法法则进行计算。

四、讲授新课：

㈠复习

⒈单项式与多项式相乘的法则

⑴用文字叙述：

⑵用字母表示：

⑶数学模型（矩形的面积和）：

⒉注意：多项式是单项式的代数和，各单项式应包括前面的符号。

㈡提出问题

问题Ⅰ（简单） 尝试 解决问题。

计算：

方法一、原式= =15

方法二、原式= = =9+6=15

方法三、原式=

=3+6+2+4=15

问题Ⅱ

=am+an+bm+bn

尝试的依据：效果相同。

㈢、归纳、小结（多项式的乘法法则）

⑴用字母表示：

⑵用文字叙述：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的第一项，再把所得的积相加。

⑶数学模型（矩形的面积和）：

⑷对公式的整体上理解：

①转化：多项式的乘法，可看作两次运用单项式与多项式相乘的法到。

②积的项数：（在未合并同类项之前其项数）

是这两个多项式的项数的积。

㈣巩固、提高

例1 计算：

⑴    ⑵    ⑶

解：⑴ =

=

⑵

= ；

⑶ =

= ；

注意：⒈积中各项的符号(多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号).

⒉最后结果应对同类项进行合并。

课堂练习1：

⑴        ⑵       ⑶

例2 计算：

⑴        ⑵ .

解：⑴    ⑵ =

= ；                  = ；

课堂练习2:

⑴      ⑵      ⑶

五、课外作业

1.计算(1)、(3)、(5)、(7)  2.计算(2)、(3)  3.计算(2)、(4)

多项式的乘法2

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节教学的重点是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab熟练地计算。难点是理解并掌握公式。本节内容是进一步学习乘法公式及后续知识的基础。

1.多项式乘法法则，是多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的。计算 时，先把 看成一个单项式， 是一个多项式，运用单项式与多项式相乘的法则，得到

然后再次运用单项式与多项式相乘的法则，得到：

2.含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一字母的二次三项式，它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到；积的一次项是由两个因式中的常数基分别乘以两个因式中的一次项后，合并同类项得到；积的常数项等于两个因式中常数项的积。如果因式中一次项的系数都是1，那么积的二次项系数也是1，积的一次项系数等于两个因式中的常数项的和，这就是说，如果用 、 分别表示一个含有系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有

3.在进行两个多项式相乘、直接写出结果时，注意不要“漏项”。检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多基同甘共苦的积。如 积的项数应是 ，即六项：

当然，如有同类项则应合并，得出最简结果。

4.运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏，为此，相乘时，要按一定的顺序进行。例如， ，可先用第一个多项式中的第一项“ ”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式中的第二项“ ”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加，即 .

5.多项式与多项式相乘，仍得多项式。在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。

6.注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”。

三、教法建议

教学时，应注意以下几点：

（1）要防止两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”。检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积。如 ，

积的项数应是 ，即四项 当然，如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果。

（2）要不失时机地指出：多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号。

（3）例2的第（1）小题是乘法的平方差公式，例2的第（2）小题是两数和的完全平方公式。实际上任何乘法公式都是直接用多项式乘法计算出来的。然后，我们把这种特殊形式的乘法连同它的结果作为公式。这里只是为后面学习乘法公式作准备，不必提它们是乘法公式，分散学生的注意力。当然，在讲解这个1题时，要讲清它们在合并同类项前的项数。

（4）例3是另一种形式的，要讲清楚两个因式的特点，积与两个因式的关系。总之，要讲清楚这种特殊形式的两个多项式相乘的规律，使学生在计算这种类型的题目时，能够迅速地求得结果。如对于练习第1题中的

，

等等，能够直接写出结果。

教学设计示例

一、教学目标

1.理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程。

2.熟练运用法则进行单项式与计算。

3.通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力。

4.通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力。

5.渗透公式恒等变形的和谐美、简洁美。

二、学法引导

1.教学方法：讨论法、讲练结合法。

2.学生学法：本节主要学习了法则和一个特殊的二项式乘法公式，在学习时应注意分析和比较这一法则和公式的关系，事实上它们是一般与特殊的关系。当遇到多项式乘法时，首先要看它是不是 的形式，若是则可以用公式直接写出结果，若不是再应用法则计算。

三、重点、难点及解决办法

（一）重点

多项式乘法法则。

（二）难点

利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则。

（三）解决办法

在用面积法推导多项式与多项式乘法法则过程中，应让学生充分理解多项式乘法法则的几何意义，这样既便于学生理解记忆公式，又能让学生在解题过程中准确地使用。

四、课时安排

一课时。

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片、长方形演示纸板。

六、师生互动活动设计

1.设计一组练习，以检查学生单项式乘以多项式的掌握情况。

2.尝试从多角度理解多项式与多项式乘法：

（1）把 看成一单项式时，

.

（2）把 看成一单项式时，

.

（3）利用面积法

3.在理解上述过程的基础之上，引导学生归纳并指出多项式乘法的规律。

4.通过举例，教师的示范，学生的尝试练习，不断巩固新学的知识。对于遇到的特殊二项式相乘可利用特殊的公式加以解决，并注意一般与特殊的关系。

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课将学习多项式与多项式相乘的乘法法则及其特殊形式的公式的应用。

（二）整体感知

多项式与多项式的相乘关键在于展开式中的四项是如何得到的，这里教师应注重引导学生细心观察、品味法则的规律性，实质就在于让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项遍乘既不能漏又不能重复。对特殊的多项式相乘可运用特殊的办法去处理

（三）教学过程

1.创设情境，复习导入

（1）回忆单项式与法则。

（2）计算：

① ②

③ ④

学生活动：学生在练习本上完成，然后回答结果。

教法说明多项式乘法是以单项式乘法和单项式与多项式相乘为基础的，通过复习引起学生回忆，为本节学习提供铺垫和思想基础。

2.探索新知，讲授新课

今天，我们在以前学习的基础上，学习。

就是形如 的计算。

这里 都表示单项式，因此 表示多项式相乘，那么如何对 进行计算呢？若把 看成一个单项式，能否利用单项式与多项式相乘的法则计算呢？请同桌同学互相讨论，并试着进行计算。

学生活动：同桌讨论，并试着计算（教师适当引导），学生回答结论。

教法说明多项式乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的。这里的关键在于让学生理解，将 看成一个单项式，然后运用单项式与多项式相乘的法则进行计算，让学生讨论并试着计算，目的是培养学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生积极探索知识、善于发现规律、主动参与学习。

3.总结规律，揭示法则

对于 的计算过程可以表示为：

教师引导学生用文字表述多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

如计算 ： 看成公式中的 ；－1看成公式中的 ； 看成公式中的 ；3看成公式中的 .运用法则 中的每一项分别去乘 中的每一项，计算可得： .

学生活动：在教师引导下细心观察、品味法则。

教法说明借助算式图，指出 的得出过程，实质就是用一个多项式的“每一项”乘另一个多项式的“每一项”，再把所得积相加的过程。可以达到两个目的：一是直观揭示法则，有利于学生理解；二是防止学生出现运用法则进行计算时“漏项”的错误，强调法则，加深理解，同时明确多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号。

这个法则还可利用一个图形明显地表示出来。

（1）这个长方形的面积用代数式表示为_____________.

（2）Ⅰ的面积为________；Ⅱ的面积为________；Ⅲ的面积为________；Ⅳ的面积为_______.

结论：即 .

学生活动：随着教师的演示，边思考，边回答问题。

教法说明利用图形的直观性，使学生进一步理解、掌握这一法则，渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析图形的能力。

4.运用知识，尝试解题

例1  计算：

（1） （2）

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式

教法说明例1的目的是熟悉、理解法则。完成例1时，要求学生紧扣法则，按法则的文字叙发“一步步”解题，注意最后要合并同类项。让学生参与例题的解答，旨在强化学生的参与意识，使其主动思考。

例2  计算：

（1） （2）

学生活动：在教师引导下，说出解题过程。

解：（1）原式

（2）原式

教法说明例2的两个小题是后面要讲到的乘法公式，但目前仍按多项式乘法法则计算，无需说明它们是乘法公式，此题的目的在于为后面的学习做准备。

5.强化训练，巩固知识

（1）计算：

① ②

③ ④

⑤ ⑥

（2）计算：

① ②

③ ④

⑤ ⑥

⑦ ⑧

学生活动：学生在练习本上完成。

教法说明本组练习的目的是：①使学生进一步理解法则，熟练运用法则进行计算。②训练学生计算的准确性，培养计算能力。③对乘法公式先有一个模糊印象，为以后的学习打下基础。

（四）总结、扩展

这节课我们学习了多项式乘法法则，请同学们回答问题：

1.叙述多项式乘法法则。

2.谈谈这节课你的学习体会。

学生活动：学生分别回答上述问题。

教法说明通过让学生自己谈学习体会，既可以达到总结归纳本节知识的目的，形成完整印象，又可以提高学生的总结概括能力。

八、布置作业

P120  A组 1.（1）（3）（5）（7），2.（2）（3），3.（1）（3）（8）.

参考答案

1.（1）原式

（3）原式

（5）原式

（7）原式

2.（2）原式

（3）原式

3.（1）原式

（3）原式

（8）原式