对数运算教学设计 对数发展史论文【汇编5篇】

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对数运算教学设计 对数发展史论文【第一篇】

浅谈新课程下高中数学的教学设计论文

课堂是教师的主阵地，也是推进数学新课程改革的主战场。教师按课程的规定，为学生获得数学知识经验、个性发展提供最有效的途径与方法；为学生终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础。在新的理念下究竟如何展开课堂教学是值得研究的问题。本文就如何进行教学设计谈几点认识。

一、教学设计应有利于发挥学生的主体作用

学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”，才能纳入其认知结构中，才可能成为一个有效的知识。传统课堂设计往往是“教师问，学生答；教师写，学生记”。在这样教学下，学生机械被动地学习，师生缺乏主动对话、沟通、交流。新课程标准要求教师必须转变角色，尊重学生的自主性，以新的理念指导设计教学。在教学过程中，要根据不同学习内容，使学生学习成为在教师指导下自动的建构过程。教师在设计教学目标、组织教学活动等方面，应面向全体学生，突出学生的主体性，充分发挥学生的主观能动性，让学生自主参与探究问题。

二、教学设计应有利于培养学生的合作精神

当代科学的发展已呈现既高度分化，又高度综合的趋势，单凭个人的力量无法胜任科学研究工作。据统计，诺贝尔奖金有60%是集体获得。美国女科学家哈里特·朱克曼在《科学的精神》一书中说：荣获诺贝尔奖金的研究成果大都是通过合作获得的。

为促进学生的合作交流，教学设计时应考虑到把班级分成几个小组，有明确的责任分工，教师能有效地组织学生的合作学习、交流。这样设计有助于培养学生的合作精神和竞争意识，同时有助于教师的.因材施教，弥补一个教师难以面向有差异的众多学生的教学不足，从而真正体现“不同的人在学习上有不同的发现”的教学目标。在教学学习中，个人努力与合作学习相结合则能促进学生对数学的理解，在交流与讨论中，能够澄清认识，纠正错误。这有助于扩展思路，提高能力，培养合作精神，体会分工协作带来的快乐。

三、教学设计应有利于培养学生的应用意识

《新课程标准》大大增加了数学建模内容，也就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。因此，我们有必要改变传统教学观念，着力加强数学应用意识的培养，并将之渗透到整个课堂教学过程中。所以教师必须认真研究课程标准，设计富有情趣、联系生活的教学活动，让学生有更多机会从周围熟悉的事物中学习数学，理解数学，使学生自觉地联系数学以及其他学科的知识，让学生参与提出问题、分析问题、解决问题这一全过程，并深刻体会数学的应用价值。

如在学习必修五第一章《数列》最后一节时，可以让学生先去调查亲戚、朋友购房时所选择的付款方式；学习《解三解形》最后一节时，可以让学生设计恰当的方式去测量学校旗杆的高度。

由此看出，这种模式的一个关键点就是围绕学生日常生活来展开，由学生身边的事引出数学问题，使学生体会到数学与生活的紧密和谐关系，可以让他们真正应用数学，并引导他们学会做事。

四、教学设计应有利于培养学生的创新意识

关注学生的学习以后，还要给他一定的空间，让他突破自己。教学中教师要精心设计教学，不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，而应让他在学习某些内容时，自己有一些新的发现，获得一些相对他自己而言的新结论。使学生在“观察、联想、类比、归纳、猜想和证明”等一系列探究过程中，体会成功的快乐，从而激发学生创新的欲望。

如在《空间向量与立体几何》一章的教学设计中，一般先复习《平面向量》，然后让学生自己研究，大多数同学类比平面向量的研究方法，能总结出空间向量的计算和应用。这一方法展示了学生对知识的深刻理解，反映更高层次的思维水平，培养学生创新精神的过程，应该看成是培养学生自我发展能力的过程。从多个角度来认识，我们做事情的时候，不必十分在乎学生初级创造的结果，而要重视学生在这个创造过程中人格的建立、能力的发展、学科素养的成长。

随着《课程标准》改革深化，教学理念、教学模式、教学内容等都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，更加适应《新课标》的发展要求，培养好每一个学生。

对数运算教学设计 对数发展史论文【第二篇】

生态设计理念下环境设计教学论文推荐

一、生态设计理念在高校环境设计教育中的现状

随着近代工业革命和现代科学技术的迅猛发展，人们物质文化生活水平不断提高，艺术参与环境改造的活动越来越多，这是在全世界范围内众所周知的。今天，由工业文明向生态文明转化的可持续发展已成为时代的主题。我国环境设计教育改革需要较为科学的理论进行指导，否则与迅速发展的国家经济、文化形势不相适应。环境设计是一门集艺术、科学、工程技术于一体的应用型新兴学科，以环境规划设计、环境形态艺术、物质环境设计、大众行为心理等为研究核心，以策划、规划、设计、管理四个环节的结合，构成了环境设计纵向系统的整体。环境设计的最终目标是实现人类生存环境的可持续发展，涉及的学科专业领域包括生态学、建筑学、艺术学、行为学、心理学、经济学、社会学、室内设计、景观设计、城市设计、规划设计等。目前，国内大部分高校开设了环境设计专业，课程设置主要由通识课、学科基础课、专业核心课、专业实践课四部分组成。其中，通识课约占总课程量的50%，学科基础课和专业核心课约占40%，专业实践课约占10%。在专业课程中，主要以景观设计、观赏植物配置与造景、景观小品设计、建筑初步设计、室内设计、家具设计为主线设置一系列专题设计课程，课程分类繁细，内容覆盖面广，各自独立，呈点状的板块式分布。教学方式以理论教学为主体，以实验教学和实践教学为补充，在理论教学中充分运用多媒体手段传授设计理论和设计方法，在实验教学和实践教学中则指导学生在本门课程内分阶段地完成专题专项研究，使学生能够运用多种合理的表达方式充分展现自己的设计创意，最终达到本专业的教学目标。生态设计在一些西方国家已经形成了较为完整的市场与教学体系，其设计教育发展程度较高。我国的生态设计基本上还处在探索阶段，各高校的生态设计教育发展程度不均衡，受重视程度也需要加强。因此，国内高校可借鉴国外设计院校的教学模式，积极建立与国外设计院校和相关科研机构的互动关系和交流合作，吸收先进的环境设计专业的办学理念、课程设置、教学方法和研究成果，为培养出符合我国生态文明建设所需的、具有国际化视野的高层次复合型设计人才而肩负起重大责任。在环境设计教育中植入生态设计理念，应根据所处环境的自然条件，充分运用生态学、设计学、环境科学及现代科学技术手段等，创造适合人类生活、工作需要的环境，最终体现出人类的生存环境与生态系统长期相协调的状态，使生态环境得以改善，同时让人类历史文化的精华得以继承。但是长期以来，环境设计教育受社会意识、经济压力、资源条件等因素影响，国内部分高校还没有建立起真正意义上的环境生态设计教学体系。

二、生态设计理念在环境设计教学中的培养途径

1.建立科学教学构架，开设生态设计课程

环境设计教育教学改革应将重点放在生态设计理念的培养方面，将生态设计相关课程内容纳入人才培养方案。并不是在设计课程中给学生讲一些概念性的理论就能使学生完全理解生态设计理念，生态设计教育要具体落实到专业课程教学中，根据居住区景观设计、街道区景观设计、商业区景观设计、滨水区景观设计、建筑设计、室内设计等各种不同的环境专题设计课程，结合设计案例在教学过程中倡导适度设计，逐步使学生形成一种从生态设计的角度解决环境设计问题的思维习惯。最终使学生在今后的设计过程中树立科学的设计观，秉持生态设计理念，探索低能耗、低污染的环境设计方法和途径。教师应是生态设计教育的倡导者和实施者，只有谨记“天下兴亡，匹夫有责”的教育者，才能将生态设计的可持续观念深深植入学生的大脑。教师言传身教所传递的信息将会影响学生未来的环境设计观，这是一种倡导保护生态环境的`正能量，相信这种力量的影响力会越来越大。建立科学教学构架，贯彻科学发展观，体现可持续设计，就要优化课程体系，适当增设生态设计课程。教师应遵循“理论—方法—实践”的环境生态设计教学思路，尽可能在大学二年级以前开设诸如设计学概论、环境学概论、城市规划原理、景观生态学等基础理论课程，使学生建立基本的目标概念和设计观念。在大学三、四年级时，应系统地将生态环境策划、生态环境元素、生态设计方法、生态设计法规融入环境专题设计课程教学，并辅以一定的实验教学与实训实务等。

2.树立生态设计意识，积极感知生态环境

树立生态设计意识，需要培养学生形成一种生态观的设计思维习惯，积极感知生态环境。在课堂教学中，生态设计的内容是核心，教师要适时、适当地将生态设计理念及其重要性传递给学生，从而构建人与自然的和谐关系。在任何给定的设计中，学生都要仔细分析生态给环境中的建筑物、构筑物、道路、水景、人群等带来的价值，不是先设计环境中的建筑物、构筑物、道路等再考虑生态性，而是要从生态的角度进行环境中建筑物、构筑物、道路等的设计。环境设计绝不能脱离生态理念而凸现个性创意，任何时候都要从塑造生态环境的角度创造环境的构成形式。另外，对于环境设计的创作成果，师生也不能只注重方案多么个性，效果图多么漂亮，构成形式多么震撼，而要学会关注环境的长期寿命，即通过生态观与环境的融合实现可持续发展。只有当这种生态设计理念真正深入人心，学生才会在作业训练或设计实践中更积极地感知生态环境，认真思考设计与环境的关系。

3.关注设计生命周期，节约能源物质消耗

以往的环境设计教育中，对于环境外在形象、功能特点、艺术感的训练较为偏重，而材料、构造、工艺、技术等课程由于与实践脱节，环境设计专业的学生难以理解和消化。因此，材料、构造、工艺、技术等课程是环境设计专业学生学习的软肋。虽然许多高校针对这类知识设置了一部分材料、构造、工艺、技术等方面的课程，但是其教学的实际效果并不理想。材料、构造、工艺、技术等知识是设计立意中极其重要的组成部分，倘若在设计作品中所使用的材料本身就缺乏生态观的考虑，那么整件设计作品的生态性将荡然无存。在材料选用方面，具有生态性的材料形式非常讲究，环境设计师应尽可能地采用当地材料和自然材料，因地制宜地选择合理的构造技术和建造形式，同时以能循环使用、降解再生的材料为主，并且高度重视环境的使用寿命。在环境设计中，自然景观元素和生态系统保护显得非常重要，如自然水体景观、原始森林的保护，应尽可能减少能源消耗以及土地、水、生物资源的使用。通常情况下，为了尽可能地减少能源和物质的消耗，设计师应视自然资源为宝，在环境设计中合理地利用自然中的光、风、水体、植被、土壤等，使其服务于环境的新功能，以提高资源的利用率。如，一些西方国家的环境设计将关闭的工厂和废弃的场地注入鲜活的生命力，使其利用生态技术恢复后再次被人们使用，成为市民追求时尚潮流的休闲娱乐场地。因此，设计师应充分关注环境设计的整个生命周期，减少能源和物质的消耗，包括材料选择、构造技术、施工建设、使用管理和废弃过程，这样会大大降低环境设计场地的耗能和耗材，实现节约能源、节约资源、回归自然、舒适健康的美好愿望。

4.把握生态设计原则，尊重自然环境设计

今天生活在城市中的人们远离自然环境，自然元素、自然气息和自然过程在日常生活中日趋淡化，人们对大自然的渴望成为环境设计师的诉求。设计师需要合理把握生态设计原则，尊重自然环境设计，体现当地的传统文化和乡土情怀，顺应场地的自然条件，因地制宜，合理利用原有场地的各种资源，创造出充满生态之美的环境，以满足人们与大自然亲近的心理。因此，环境设计师应善于从自然界中汲取灵感，将环境中的建筑物、构筑物、广场、庭院、绿化、水体等是否尊重自然、显露自然作为判断环境设计成败与否的关键。建筑物、构筑物等矗立于环境中，称为实景，在此基础上给观赏者创造的一种想象空间称为虚景，建筑物、构筑物等与其共同构成的环境空间能够形成虚景与实景的融合，也就是虚实相生、虚实相应的意境。这就是中国传统美学观中“虚”与“实”的辩证思想，追求“状难写之景如在目前，含不尽之意见于言外”的艺术风格，与中国山水画、山水诗词的创作精神“求‘神韵’于‘大象’”是一致的。如地形变化多端的场地拥有特殊的地形环境，场地中往往呈现出某一地段多岩石、多沙土、多植物、多冰雪、多雾等现象，具有较为丰富的自然现象和自然环境，那么环境中的建筑物、构筑物等设计可充分利用这种自然现象和自然环境的优势，将岩石、沙土、植物、冰雪、雾等作为环境设计的一部分，再利用阳光、风雨、微地形和微气候为环境空间营造意境。结语社会对环境设计师的要求越来越高，教育改革应针对市场的改变而与时俱进，甚至预见社会发展趋势。环境设计专业人才培养模式的建构思路是以动态发展、动态更新为前提的，这不仅是新形势对环境设计教育功能的要求，也是各高校努力探索的必要前提。因为不能保持先进的教育，就无法保证环境设计专业的人才培养质量，更无从谈起对环境设计教育的贡献。

生态设计理念融入环境设计教学，是实现环境设计科学发展的一个质的飞跃。为了实现人类社会的可持续发展，培养高等人才的环境设计教育应肩负重任。环境设计教育者必须秉持可持续的生态设计理念，把握好我国环境设计教育前进的方向，摒弃不切实际的环境外在形态艺术化和片面追求经济增长、物质享乐的实用价值观，构建一种尊重他人、观照后人、公平对待自然、充满人文理性的文明观、生态观和价值观，让生态设计理念成为未来环境设计师必须遵循的职业道德。

对数运算教学设计 对数发展史论文【第三篇】

数学史融入小学数学教学的探讨论文

摘要：小学数学课堂教学以学生掌握更多数学知识、实现小学数学有效教学为终极目标。而在小学数学教学的过程中，适当将数学史融入其中，不仅能够丰富教学内容，健全学生数学知识体系，还能培养学生树立正确的数学观，激发学生学习兴趣，为实现小学数学教学目标提供有利条件。本文谈谈如何将数学史适当融入小学数学课堂教学。

关键词：小学数学；数学史；课堂教学；小学生

数学作为一门自然学科，抽象性较强，如果教师在教学过程中存在教学方法不得当、综合素质较低等问题，就会导致小学生对数学产生畏难心理，失去学习数学的兴趣和信心。针对目前我国大部分小学数学课堂教学存在的问题，将数学史适当融入小学数学课堂教学就显得尤为必要，这不仅是学生学习知识的需要，更是现代数学教育发展的必然趋势。

一、提升数学教师综合素质

数学教师综合素质的高低直接影响学生掌握数学知识的程度。由于长期受我国应试教育的影响，很多数学教师只注重自身数学解题技能水平的提升以及向学生传授数学解题方法；但在目前小学数学知识更新速度日新月异的情况下，教师的综合素质就会显得力不从心，尤其数学史方面的知识更是知之甚少。甚至有的数学老师始终认为即便是掌握丰富的数学史知识，在考试时数学史也不会作为考试内容，还不如把学习数学史的时间腾出来向学生多讲授几道练习题更实际。这样导致学生只知道机械解题，长期如此，学生就会对这种枯燥无味的教学方法产生厌烦心理，进而导致小学数学课堂教学效率的下降。鉴于此，数学教师应在提升数学专业技能水平的同时，转变自身观念，努力加强数学史的学习，熟知数学教学主题内容后面的数学故事，并将其适当融入小学数学课堂教学，让小学生认识到我国数学知识的博大精深。

二、以数学史作为教学背景，丰富教学方法

传统教学方法中，往往教师一到课堂，就让学生打开课本，告诉学生今天所要学习的内容，接着在黑板上写出本节课所讲内容，直至讲课结束。很多学生对这种教学方法早已司空见惯，了然于胸，因为太过熟悉，已经无法提起任何兴趣，在老师讲解知识的过程中自然不能全神贯注，走神、开小差的现象在所难免。小学生对任何新鲜事物都充满好奇，以数学史作为教学背景，可以使小学生耳目一新。教师可以在讲授内容之前，以与讲解内容相关的古代数学家的故事为引题开展教学活动，可以使学生放松对传统教学的戒备心理，定会集中精神认真听讲。然后教师自然引出教学主题并进行讲解。在课堂教学的过程中，小学生的注意力并不能持久，只有通过教师的引导，其思维才能始终跟上教师的教学进度。而笔者对我国数学史梳理后发现，小学数学每个教学主题背后都有可追溯的历史渊源，而这些背后的故事就是教师可以利用的数学史题材，可通过例题练习、解题技巧、讲解数学史，交替进行，合理引用。这样不但能促使学生学习数学知识，还能有效提高小学数学课堂教学水平。

三、将数学史内容融入教学计划

首先，要明确数学史与数学知识同等重要。小学数学教学应结合教材内容来开展，又要根据学生的不同年龄特点增加数学史的内容。此外，数学史内容的呈现方式应该是多种多样的，除目前已有的形式外，还应结合学生的心理年龄特征、知识接受水平对数学史内容加以选择、编排，譬如连环画、卡通画等形式；也可将数学游戏、数学谜题等作为数学史内容。这样更易激发学生的学习热情，为学生的终身学习提供一个良好的开端。在编排方式上，选择学生最需了解的主题，并以此为基本原则，在各个学段以不同方式系统连贯地加以呈现。只有这样，数学史的教育价值才能得到充分发挥。

四、结论

数学史在我国小学数学课堂教学中的适当融入，可以让学生全面了解我国的数学发展史，并在丰富数学课堂教学、激发学生学习兴趣、提升教学有效性等方面产生十分重要的作用，轻视不得。同时教师要从学生的实际情况出发，多角度、多层次地将数学史融入教学，拓宽学生视野，最终为达到小学数学教学目标创造更多的有利条件。

参考文献：

[1]聂卫兰.浅谈如何在小学数学中渗透数学史[j].情感读本，，（14）.

[2]陶博慧.数学史对小学数学课堂教学效率的影响研究[j].新课程学习（上），2015，（1）.

对数运算教学设计 对数发展史论文【第四篇】

谈数学史视角的球体积教学设计思考论文

摘要：对牟合方盖法计算球体积教学中出现的三个难点——牟合方盖的由来、抽象牟合方盖的理解及牟合方盖体积的计算进行逐个突破,以期对教学设计有启发和借鉴作用。

关键词：球体积,牟合方盖,数学史

一、问题的提出

球体积公式是高中数学基本内容,不同的推导方法常常会达到不同的教育效果。有的教师通过切片求极限的方法得出球体积公式,培养了学生极限思想。有的教师利用球面小锥体结合球表面积公式推得球体积公式,培养了学生近似求和的思想。有的教师借此机会探寻古今中外的方法,向学生展示人类智慧的成果。比如,教师通过截面原理(祖暅原理)的引入,验证得出半球体积等于同底等高圆柱体挖去同底等高圆锥体的体积(公理法)。这种处理方式尽管介绍了中国古代的重要原理,却舍弃了知识生动的发生发展过程,未能充分展现其教学功能和文化功能。若能进一步引入中国古代计算球体积的重要立体———牟合方盖,利用牟合方盖计算球体积,不仅可以让学生经历古人“以方套圆,化圆为方”的求解历程,拓展学生的思维,还是一次增强民族自豪感的文化教育和爱国教育。有教师尝试向学生讲授上述各种推导方法,从课后学生的问卷调查[1]来看,牟合方盖法“太深奥,难以理解,自己根本不可能想到,即使勉强看懂了,也无法掌握”。何以古人一千多年前的推导方法不能为学生接受?学生在理解上遇到哪些困难?只有知道了这些,教师才能更好地进行针对性的教学设计。

二、牟合方盖法计算球体积的教学难点及其对策

有学者将数学史融入数学教学分为四种方式:附加式、复制式、顺应式和重构式。[2]对于“深奥,难以理解”的牟合方盖法,教师首先应该理解史料,并按照学生的数学实际找到教学中的难点,才能进行创造性的教学设计,将数学史料更好地融入教学,最大化地发挥其教育功能。

难点1:构造牟合方盖的缘由

球体积的计算是古代几何学中的一个难题。为了获得球体积的精确公式,东西方都竭尽了好几代人的智慧,利用当时所有的科学成果,创造出许多重要的数学方法和精巧的几何构造物。在西方有古希腊阿基米德的力学方法和17 世纪意大利人卡瓦列利的不可分量方法,而在东方则有我国刘徽所构造的牟合方盖。牟合方盖不是自然无形体的摹写,而是为论证的需要构造出来的特殊形状的几何体。因而,它的发明是以深刻的`数学思想与方法为指导的,此数学思想即截面原理,就是我们现在所说的“祖暅原理”。

古人对截面原理早有深刻理解。从《九章算术》“商功章”各求积术的编排顺序来看,作者有意将所有圆体安排在相应方体之后,即按方堢壔(方柱体)与圆堢壔(圆柱体)、方亭(方台)与圆亭(圆台)、方锥与圆锥的顺序叙述。古人先计算方体体积,进而利用截面原理,通过“方体体积∶圆体体积= 截面方形面积∶截面圆面积”得出圆体体积(如图1)。

类似地,在计算球体积时,古人仍试图利用截面原理,只是还缺一个重要的辅助工具,即球的方体“外套”。这个外套的体积较易求得,进而利用截面积之比求得球体积。

刘徽之前的古人使用的球外套为圆柱,“圆囷为方率,浑为圆率”,而圆柱的外套则为正方体(如图2,d表示球直径)。按照刘徽推测,古人认为球体积∶圆柱体积= 圆柱体积∶正方体体积=π∶4(这里 π 取近似值3),从而推知球体积 (《九章算术》的《少广》章有所谓的“开立圆术”,即已知球体积,求其直径的方法。开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。以现代公式表达,即 由此推知 ,v代表球体积,d表示球直径)。刘徽指出《九章算术》中的该公式是不正确的,并在“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。他创造了一个新的立体形———牟合方盖(“方”,指截面为正方形;“盖”,原为白茅编成的覆盖物,后用作器物上的盖子;“牟合方盖”一词可谓语意双关,它既指球的四面切合的方外罩,又指它形似上下结合的两把方伞[3]),并利用牟合方盖来求得球体积。

我们不妨来重温刘徽创造牟合方盖的过程。图2 中,圆柱与正方体的截面面积比始终为 π∶4,按照这种思路给球套的外套也应有这种截面性质。刘徽发现以圆柱套球,圆与外方仍有两面不切合(图3(1)),如要达到四面都切合,则按垂直方向再套上一个圆柱即可,经过一番思考,刘徽终于发明了球的牟合方盖(图3(2)为半个牟合方盖)。

刘徽发明牟合方盖,正是古人“以方套圆,化圆为方”的解题思路,而最终能由方求圆则依赖截面原理这一重要公理。如果教师能在呈现牟合方盖前讲以上这些作为铺垫,学生就能对“为什么要引入牟合方盖”有所体会。

难点2:如何理解抽象的牟合方盖

一般的教学材料中呈现的牟合方盖有两种情形(如图4):通过图4(1)正方体中两垂直圆柱的公共部分,或者图4(2)中两根垂直的相同圆柱的公共部分,来得出图4(3)中的牟合方盖。无论(1)图还是(2)图,要让学生想象出相交公共部分是(3)都不是一件容易的事情。这时学生就会感觉牟合方盖太抽象,不易理解。有些教师可能会求助于3d多媒体,有些教师可能会求助于实物制作。其实,教师不妨沿用刘徽创造出牟合方盖的思想,即截面以正方形外切圆形,让学生想象牟合方盖的外观。如图5 所示,让学生想象一刀一刀平行地切球体,得到一个个大小不同的圆,以圆的外切正方形代替圆,保证这些正方形中心重合,对角线叠合,这样就形成了牟合方盖的外形(这里教师也可以让学生画出牟合方盖的三维图来加深理解)。

经历过这番想象与操作后,再向学生介绍图3和图4,学生更能接受牟合方盖的形象。这里教师需要对学生提出更进一步的要求,以便为计算牟合方盖体积做准备。球内切牟合方盖,相切于哪些部分?教师可通过平面的方圆相切图帮助学生理解,相切部分在牟合方盖的面上,正好是球的两个垂直大圆。

难点3:如何计算牟合方盖的体积

刘徽指出,在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于 π∶4,因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于 π∶4。牟合方盖的体积怎么求呢?最终刘徽没有能够解决,他说“敢不阙疑,以俟能言者”,他提出问题,等待后人来解题。尽管刘徽没有推证出球体积公式,但他为后人指出了解决球体积的正确方向。

两百年后,刘徽的问题终于被祖冲之和他的儿子祖暅解决了。我们来简单回顾他们的解决方法,考虑到牟合方盖的对称性,祖暅计算其1/8 体积,将其放于小正方体中考虑(图6)。祖暅不直接求1/8牟合方盖体积,转而求小正方体中扣除1/8 牟合方盖后的剩余体积。常规说来,剩余立体形状不规则,更不易求。但是祖暅利用截面原理,发现剩余部分体积应等于一个“阳马”(一棱垂直于底面,且底面为正方形的棱锥,图7(3)中椎体o-abcd即为一个倒置的阳马)的体积,而阳马体积又等于小正方体体积的1/3,从而得出1/8 牟合方盖的体积为小正方体体积的2/3。

在讲图6 的水平截面之前,教师有必要与学生一起对图6 作深入观察。学生应能理解弧ae,ag实则为大圆周长的1/4,af为牟合方盖的棱的一部分。明确这些之后,教师可与学生一起讨论图6 立体的水平截面(见图7)。

图7 中,设球半径为r,取截面高为h,三幅图中阴影部分面积依次为s1,s2,s3。通过勾股定理和比例等知识,易得s1=r2-h2,s2=s3=h2。由截面原理 ,故 。再由v球∶v牟合方盖=π∶4,得 。

三、进一步地反思

教学中引入数学史料可以有多种教学功能,不仅可以拓展学生的视野,激发学习兴趣,而且可以让学生在“再发现”和“再创造”的过程中感悟其中的数学思想及精髓,为锻炼学生思维提供绝佳契机。在经历了古人的探索过程后,教师可进一步引导学生进行反思。

思考一:牟合方盖的体积计算还有其他方法吗

祖暅在计算牟合方盖体积时利用了对称性,首先计算1/8 的体积。教师可以鼓励学生对此方法作进一步拓展。能不能首先计算1/4 或者1/2 的体积呢?如何借助截面原理构造新的立体呢?以1/2 牟合方盖(图8(1))为例,设球半径为r,则高h处的截面面积为4(r2-h2)。教师可引导学生运用类比思想,得出形如图8(2)的新立体—与1/2 牟合方盖同底等高的柱体挖去一个同底等高的倒方锥。显然,两副图中阴影部分面积相同。进而借助新立体求得1/2牟合方盖的体积。

思考二:球体积公式的推导能否简化

中国古人计算球体积利用了其外套“牟合方盖”间接求得。教师可引导学生简化推导过程,如果不利用牟合方盖,是否可以直接利用截面原理得出球体积公式?考虑半个球体,若球半径为r,截面高为h处的水平截面圆面积为 π(r2-h2),这时构造的新立体截面积等于两圆之差(如图9),该新立体为与半球同底等高的圆柱内挖掉一个同底等高的圆锥。这就是我们通常在教科书上看到的推导方法。

经过这样一些步骤的改进,学生不仅可以知晓古人的计算方法,赞叹古人的聪明才智;更能通过自己的智慧改进古人的方法,拓展思维,求简求优。

通过上述推导过程得出球体积公式,相信学生对截面原理会有更深刻地理解,对于中国古代计算球体积过程中的重要创造———牟合方盖的产生及体积计算会有更深入的体会。这里我们只是对牟合方盖法教学中可能遇到的难点进行分析,以期对教师的教学设计有借鉴作用。而合适的教学融入方式,则有待教师作进一步的尝试与探究。

参考文献

[1]任明骏.关于球体积公式教学各异的调查与分析[j].数学教学,(4).

[2]的若干研究与展望[j].中学数学月刊,(2).

[3]李继闵.《九章算术》及其刘徽注研究[m].太原:山西人民教育出版社,1990.

对数运算教学设计 对数发展史论文【第五篇】

教学内容：

一年级上册第二单元《位置》的第一节《上、下、前、后》。教科书第9页 ，第10页练习二1、2题。

教学目标：

1．在具体活动中，让学生体验上下、前后的位置与 顺序，初步培养学生的空间观念。

2．能确定物体上下、前后的位置与顺序，并能用自己的语言表达。

3、经历上下、前后空间位置关系的形成过程，初步体 会认识物体空间位置的方法。

教学重点：

能确定物体上下、前后的位置与顺序，并能用自己的语言表达。

教学难点：

培养学生一定的辨别空间方位的能力。

教学过程：

一、创设情境，感知位置

师：现在交通便捷，而且有序，大家都很遵守交通规则，想不想去看一看呢?请看教科书第9页情境图。

二、探究新知

(1)教学“上、下”的位置关系。

①观察第9页情境图，认知“上、下”的位置关系。

师：图上有哪些交通工具吗? (卡车、火车、轮船……)

师：对，它们的作用可大啦。

师：请小朋友仔细观察，这里的卡车、火车、轮船……处于什么位置呢?与同桌小朋友轻声说一说。

联系实际提问：刚才，同学们把上面几辆车的上、下位置关系说得很清楚， (板书：上下)再看看，在我们的教室有这样的上、下位置关系吗?我们的身体上呢?

②练习。

把数学书放存课桌的上面，把语文书放在数学书的上面，然后把文具盒压在语文书上面。

说一说，数学书上面是什么?你的文具盒下面是什么?

(2)教学“前、后”的位置关系。

①认知“前、后”的位置关系。

下面，请小朋友继续看画面，画面上有几辆车，你能不能用“前、后”来说说它们又是什么位置关系呢?

学生交流。 (教师适时板书：前、后)

师：你喜欢哪辆车，就用“前、后”说说它的位置。

②练习。

教室里的座位也有前、后这样的位置关系，看看你座位前面是谁，后面是谁。也可以说，你在这个同学的前面，在另一个同学的后面 (被念到的同学请站起来)。还可以问：从前往后数，他的前面有几个人?后面呢?

三、运用知识．巩固练习

(1)师生一起玩“做一做”的游戏。然后同桌两人出座位玩边说方向位置边拍手的游戏。

(2)做“说反话”游戏。

四、质疑总结

今天我们学会了什么? (师指着板书) “上” “下” “前” “后”在生活中我们会经常碰到，你能向老师这样举例子说明吗?学会了“上、下、前、后”的位置知识，我们就要懂得在生活中将它们进行应用。

五、布置作业

请小朋友回家后结情境给父母说一说生活巾的“上、下、前、后”。