6.3.1二项式定理教案 二项式定理的教学设计及反思【精彩10篇】

二项式定理揭示了(a+b)^n的展开形式，涉及组合数与幂次，如何运用定理进行计算与应用呢？以下是网友为大家整理分享的“6.3.1二项式定理教案”相关范文，供您参考学习！

二项式定理优秀教案 篇1

一、教材分析：

1、知识内容：二项式定理及简单应用

2、地位及重要性

二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3、教学目标

A、知识目标：

(1)使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律

(2)能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开

B、能力目标：

(1)在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力

(2)培养学生的化归意识和知识迁移的能力

c、情感目标：

(1)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心;

(2)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美;

(3)培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

4、重点难点：

重点：

(1)使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律;

(2)能够利用二项式定理对给出的二项式进行正确的展开。

难点：二项式定理的发现。

二、教法学法分析

为了达到这节课的目标：掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探索为主。创设一个以学生为主体，师生互动、共同探索的教与学的情境。通过复习引入，引申设疑，实验猜想，归纳推广等环节进行对此定理的探索。不仅重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决的过程，贯切新课程理念。

另外，根据“近发展区的理论”精心设置问题，调控问题的解决过程培育这节课最佳的知识生长点。

三、教学过程

1、情景设置

问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几?怎么算?

预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少?

问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几?

问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几?怎么算?

预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少?

在初中，我们已经学过了

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3

(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开?(利用多项式乘法)

(再提问)：(a+b)100又怎么办?(a+b)n(n?N+)呢?

我们知道，事物之间或多或少存在着规律。也就是研究(a+b)n(n?N+)的展开式是什么?这就是本节课要学的内容。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。学完本课后，此题就不难求解了。

(设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。)

2、新授

第一步：让学生展开；

问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数;②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。

第二步：继续设疑

如何展开以及呢?

(设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。)

继续新授

师：为了寻找规律，我们以中为例

问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项?这里的字母各来自哪个括号?

问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗?

问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?

(预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。每个括号只能取一个字母，任取两个、两个，然后相乘，问不同的取法有几种?)

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数(用组合数的形式进行填写)，呈现二项式定理

3、深化认识

请学生总结：

①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么?

②二项式定理展开式的结构特征是什么?哪一项最具有代表性?

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的.重点。

(设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。)

4、巩固应用

例1-3是课本原题，由于是第一节课所以题目类型较基础

最后解决起始问题：今天是星期二，再过8n天后的那一天是星期几?

解：8n=(7+1)n=cn07n+cn17n-1+cn27n-2+…+cnn-17+cnn

因为cnn前面各项都是7的倍数，故都能被7整除.

因此余数为cnn=1

所以应为星期三

四、回顾小结：

通过学生主动探索的学习过程，使学生清晰的掌握二项式定理的内容，更体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程(n次独立重复实验恰好发生k次)的学习打下了基础。

而二项式定理内容本身对解释二项分布有很直接的功效，因为二项分布中所有概率和恰好是二项式。

课后记：

准备这节课，我主要思考了这么几个问题：

(1)这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要?我反复斟酌，认为后者重要。于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究“为什么可以用组合数来表示二项式定理中各项的二项式系数?”

(2)学生怎样才能掌握二项式定理?是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆?正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。我还是要求学生自主的去探索二项式定理。这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。

(3)准备什么样的例题?例题的目的是为了巩固本节课所学，例题1是很直接的二项式定理内容的应用;为了更好的让学生体会到二项式定理形成过程中的思考问题的方式，并培养学生知识的迁移能力，我增加了例题,但是难免还有一些有不足之处，希望各位老师能不吝赐教。谢谢!

二项式定理优秀教案 篇2

一．课标要求：

1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理

通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；

2．排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；

3．二项式定理

能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向

本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。

三．要点精讲

1．排列、组合、二项式知识相互关系表

2．两个基本原理

（1）分类计数原理中的分类；

（2）分步计数原理中的分步；

正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列

（1）排列定义，排列数

（2）排列数公式：系 = =n·(n－1)…(n－m+1)；

（3）全排列列： =n!；

（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

4．组合

（1）组合的定义，排列与组合的区别；

（2）组合数公式：Cnm= = ；

（3）组合数的性质

①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；

5．二项式定理

（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；

（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；

6．二项式的应用

（1）求某些多项式系数的和；

（2）证明一些简单的组合恒等式；

（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；

（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+ x2；（5）证明不等式。

四．典例解析

题型1：计数原理

例1．完成下列选择题与填空题

（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。

A．81 B．64 C．24 D．4

（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）

A．81 B．64 C．24 D．4

（3）有四位学生参加三项不同的竞赛，

①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ；

②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有 ；

③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有 。

例2．（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。

点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。

题型2：排列问题

例3．（1）（2008四川理卷13）

展开式中 的系数为?______ _________。

【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；

（2）．2008湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练

若 n展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

点评：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做。

例4．（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的.五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）；

（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.

点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。

题型三：组合问题

例5．荆州市2008届高中毕业班质量检测（Ⅱ）

（1）将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为（C）

（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）

A．10种 B．20种 C．36种 D．52种

点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础，应用计数原理结合

例6．（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；

（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）

（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种

点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等；

题型4：排列、组合的综合问题

例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。

点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。

例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

点评：本题是1999年全国高中数学联赛中的一填空题，据抽样分析正确率只有。错误原因没有对c=0与c≠0正确分类；没有考虑c=0中出现重复的直线。

题型5：二项式定理

例9．（1）（2008湖北卷）

在 的展开式中， 的幂的指数是整数的项共有

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

（2） 的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是

（A）0 （B）2 （C）4 （D）6

点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。

例10． （2008湖南文13）

记 的展开式中第m项的系数为 ，若 ，则 =____5______.

题型6：二项式定理的应用

例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；

（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余数是多少？

（3）根据下列要求的精确度，求的近似值。①精确到；②精确到。

点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；

（2）用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。

五．思维总结

解排列组合应用题的基本规律

1．分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。

2．将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。

3．对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：

（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；

（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；

（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。

4．对解组合问题，应注意以下三点：

（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；

（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；

（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

二项式定理优秀教案 篇3

一、教学目标

【知识与技能】

学生能够准确复述二项式定理的定义，并利用二项式定理准确展开式子，能够猜想并证明二项式定理。

【过程与方法】

学生能够借助问题的引导，猜想发现、归纳并证明二项式定理，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。

【情感态度价值观】

通过探索二项式定理，培养观察分析和综合、判断的能力。激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。

二、教学重难点

【教学重点】

二项式定理证明。

【教学难点】

发现二项式定理关系。

三、教学过程

(一)引入新课

提出问题：完全平方公式是如何展开的，你能在展开过程中发现什么运算规律？

师生活动：复习回顾完全平方公式的展开过程。

二项式定理优秀教案 篇4

教学目标

（1）正确理解加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论；

（2）能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理；

（3）正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关；

（4）能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题，提高学生理解和运用两个原理的能力；

（5）通过对加法原理与乘法原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是准确区分加法原理与乘法原理。

加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础；另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。

两个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是， 做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。

三、教法建议

关于两个计数原理的教学要分三个层次：

第一是对两个计数原理的认识与理解．这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．

第二是对两个计数原理的使用．可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：

①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；

②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；

③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；

④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；

⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；

⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等．

第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现．教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理．

教学设计示例

加法原理和乘法原理

教学目标

正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：加法原理和乘法原理．

难点：加法原理和乘法原理的准确应用．

教学用具

投影仪．

教学过程设计

（一）引入新课

从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．

今天我们先学习两个基本原理．

（二）讲授新课

1．介绍两个基本原理

先考虑下面的问题：

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．

这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：

加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法．

请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．

一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

2．浅释两个基本原理

两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．

比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．

看下面的分析是否正确（打出片子——题1，题2）：

题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．

题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．题中的分析是错误的．

从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．

（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．

也就是说：类类互斥，步步独立．

（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）

（三）应用举例

现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．

例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）

（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是

N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．

（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．

（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的`取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．

例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．

答：可以组成100个三位整数．

教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础。

（四）归纳小结

归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：

分类时用加法原理，分步时用乘法原理．

应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．

（五）课堂练习

P222：练习1～4．

（对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）

（六）布置作业

P222：练习5，6，7．

补充题：

1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？

（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）

2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．

（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）

3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？

（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数）

4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？

（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．

（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）

二项式定理优秀教案 篇5

一、教学设计

（1）教学内容解析。二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础.通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的證明是一个教学难点.这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性。需要用到不太熟悉的数学归纳法。

（2）学生学情分析。二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一类特殊的多项式，表现为二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要方法之一。学生在初中是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的展开。学生进入高中一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练，特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决展开式采用的是的不完全归纳法（猜想），与初中学习的多项式的展开结合起来，从的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。然而，无穷大时，能保证展开式恒成立吗？

（3）教学策略分析。在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习.

（4）教学目标设置。知识与技能：①理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理;②能利用通项公式求某一项的系数。

过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

教学重点：用计数原理分析、的展开式，推导二项式定理。

教学难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和时各项系数的规律。

二、教学过程

（1）创设问题情境，因疑惑而激趣

教师：请同学们计算下面两个题：

教师：请同学们计算：

观察学生反应

教师板书：二项式定理：

【设计意图】从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习新知识的积极性。数学不是冰冷的美丽，她是来自现实的火热思考。问题情境中渗透数学史，且紧扣本节课的主题与重点。

（2）亲身体验，探索新知

教师：就是四个相乘，刚才求得的展开式是这样的：。

请思考问题：①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？

学生：分步计数原理：第一步，第一次取有两种不同的方法;第二步，第二次取有两种不同的方法，共四步，共有项。

【设计意图】教师确定研究方向后让学生自主探究，留给学生足够的时间和空间，让学生回忆计数原理。

教师提示：是2个相乘，根据多项式乘法法则，每个再相乘时有两种选择，选或选，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，的展开式有4项，而且每一项都是的形式。

每个都不取的情况有1种，即，即前的系数为;恰有1个取的情况有2种，即，即前的系数为;恰有2个取的情况有1种，即，即前的系數为;因此，

【设计意图】预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项及其各项系数的由来;引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了方法，使学生在后续的探究“法”。

（3）合作探究，总结规律

【设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教师主导学生主体地位，学生深层次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的理解，培养学生自主、合作、交流的能力;让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，做到吕传汉教授提出的“教思考、教体验、教表达”。

【问题】各二项式系数之和是多少？即

【教师点拨】

（1）将二项式定理左边、都赋值为1，得

（2）二项式定理给出了一个恒等式，即对两项、的一切取值都成立，因此对其特殊值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要手段。在二项式定理中令，那么二項式定理变成一个关于的函数。所有各项系数和就是。

【设计意图】适当拔高，给学生提供思考的空间，好的数学问题能点燃学生的激情，好奇心总能激发学生有效参与课堂学习。

4.典型例题分析

五、教学反思

数学学习是教师引导下的“再创造”，而“再创造” 的本质是学困之时、疑难之处为学生搭建好合适的“脚手架”.本节课的教学难点是如何把二项式展开从多项式乘法中脱胎出来，自然地与计数原理、排列组合知识建立联系。执教者采用“先特殊后一般”、“先低次后高次”、“先局部后整体”的探究策略，以研究“中x项的系数为什么是4”为出发点，以语言、图形、文字等3个不同感知为着眼点，启发引导建立“取数模型”，让学生感受“用组合来研究二项式展开”的体验。

二项式定理优秀教案 篇6

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

课时安排：3课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等.

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础.通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点.

二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习.

教学过程：

一、复习引入：

⑴;

⑵

⑶的各项都是次式，

即展开式应有下面形式的各项：，，，，，

展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是;恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，

∴.

二、讲解新课：

二项式定理：

⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：

，，…，，…，，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取的情况有种，即种，的系数是;

恰有个取的情况有种，的系数是，……，

恰有个取的情况有种，的系数是，……，

有都取的情况有种，的系数是，

∴，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，

⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项.

⑸二项式定理中，设，则

三、讲解范例：

例1.求的展开式中的倒数第项

解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，

.

例2.求(1)，(2)的展开式中的第项.

解：(1)，

(2).

点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同

例3.(1)求的展开式的第4项的系数;

解：的展开式的第四项是，

∴的展开式的第四项的系数是.

例4.求的展开式中的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：(法一)

，

显然，上式中只有第四项中含的项，

∴展开式中含的项的系数是

(法二)：

∴展开式中含的项的系数是.

例5.已知的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值

分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解

解：展开式中含的项为

∴，即，

展开式中含的项的系数为

，

∵， ∴，

∴

，∴当时，取最小值，但，

∴时，即项的系数最小，最小值为，此时.

四、课堂练习：

1.求的展开式的第3项.

2.求的展开式的第3项.

3.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.

4.用二项式定理展开：

;

5.化简：;

6.展开式中的第项为，求.

答案：

1.

2.

3.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数

4.;

5.;

6.展开式中的第项为

五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点

六、课后作业：P36习题组1. 2.

七、板书设计

二项式定理优秀教案 篇7

一、教材分析：

1、知识内容：二项式定理及简单应用

2、地位及重要性

二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3、教学目标

A、知识目标：

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开

B、能力目标：

（1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力

（2）培养学生的化归意识和知识迁移的能力

c、情感目标：

（1）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心；

（2）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美；

（3）培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

4、重点难点：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律；

（2）能够利用二项式定理对给出的二项式进行正确的展开。

难点：二项式定理的发现。

二、教法学法分析

为了达到这节课的目标：掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探索为主。创设一个以学生为主体，师生互动、共同探索的教与学的情境。通过复习引入，引申设疑，实验猜想，归纳推广等环节进行对此定理的探索。不仅重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决的过程，贯切新课程理念。

另外，根据“近发展区的理论”精心设置问题，调控问题的解决过程培育这节课最佳的知识生长点。

三、教学过程

1、情景设置

问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？

预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？

问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？

问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？

预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？

在初中，我们已经学过了

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3

（提问）：对于（a+b）4，（a+b）5如何展开？（利用多项式乘法）

（再提问）：（a+b）100又怎么办？（a+b）n（n？N+）呢？

我们知道，事物之间或多或少存在着规律。也就是研究（a+b）n（n？N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。这节课，我们就来研究（a+b）n的二项展开式的规律性。学完本课后，此题就不难求解了。

（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的`倾向是学生学习的重要动力。）

2、新授

第一步：让学生展开

问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。

第二步：继续设疑

如何展开以及呢？

（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）

继续新授

师：为了寻找规律，我们以中为例

二项式定理数学说课稿问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？

问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？

问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？

（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。每个括号只能取一个字母，任取两个、两个，然后相乘，问不同的取法有几种？）

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数（用组合数的形式进行填写），

二项式定理优秀教案 篇8

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

新课讲解：

问题

1(a+b+d)(c)的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题

2(a+b+)b的(a+b)原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成)(a的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题

3(a+b+)(b+a)(a2b(a+b))的

3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题

4(a+b+)(b+a)(a)(b+a)的b(a+b)的原始展开式有多少项？

44问题

5你能准确快速地写出(a+b)的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中

0（1） 若每个括号都不取b，只有一种取法得到a，即C4种 1（2） 若只有一个括号取b，共有C4种取法得到ab 2（3） 若只有两个括号取b，共有C4种取法得到ab 3（4） 若只有三个括号取b，共有C4种取法得到ab 4（5） 若每个括号都取b，共有C4种取法得到b

4134322引导学生发现：原始展开式中确有同类项存在，且确实可省去“合并”

04132223344因此(a+b)=3C4a+C4ab+C4ab+C4ab+C4b 4问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？

n-rr问题7 (a+b)在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？ n问题8

那么，该如何将(a+b)轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想 学生们快速地说出

n(a+b)n0n1n-1n2n-22kn-kknn=Cna+Cnab+Cnab+L+Cnab+L+Cnb(nÎN*)

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

① 展开式中为什么会有那几种类型的项？

(a+b)n是n个(a+b)相乘，展开式中的每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相

n-k乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k=0,1,2,L,n

kan-kbk是从n个(a+b)中取k个b，和余下n-k个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到

kan-kbk，因此，该项的系数为Cn

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

(a+b)n0n1n-1n2n-22kn-kknn=Cna+Cnab+Cnab+L+Cnab+L+Cnb(nÎN*)

n注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做(a+b)的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成-b，则

(a-b)n0n1n-1n2n-22kn-kknn=Cna-Cnab+Cnab+L+(-1)Cnab+L+(-1)Cnb(nÎN*)

kn练习：令a=1,b=x，则

(1+x)n01122kknn=Cn+Cnx+Cnx+L+Cnx+L+Cnx(nÎN*)

问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1） 项数：共有n+1项

（2） 指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

kn-kk（3） 二项式展开式的通项：Tk+1=Cnab，k=0,1,2,L,n

012knk（4） 二项式系数：依次为Cn。这里Cn（k=0,1,2,L,n）称为二,Cn,Cn,LCnL,Cn项式系数

现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几 老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以

n8100=(7+1)展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn=1，故100应为星期四。

1öæ例

1求ç2x-÷的展开式

xøè方法一：直接展开

1-öæ12技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成ç2x-x2÷

èø66方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？ 变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？ 变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例

2（1）求(1+2x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1öæ

3（2）çx-÷的展开式中x的系数和中间项

xøè例3

求(x+a)12的展开式中的倒数第4项 9小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。 作业：P37 4，5 教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到8100天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。

以上是二项式定理优秀教案的相关内容，希望对你有所帮助。另外，今天的内容就分享到这里了，想要了解更多的朋友可以多多关注本站。

二项式定理优秀教案 篇9

知识梳理

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基

1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于

解析：x的奇数次方的系数都是负值，

∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B 2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是

2解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C24·2=24.答案：C 3.（2004年全国Ⅰ，5）（2×3－

1x-r2+3(7-x)1x）7的展开式中常数项是

D.－42

1xr）r=C727-r· B.－14

解析：设（2×3－

r）7的展开式中的第r+1项是Tr+1=C7（2×3）7-r（－（－1）r·x当－r2，

61+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）·2=14.答案：A 34.（2004年湖北，文14）已知（x+x2-13n

）的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________.（以数字作答）

3解析：∵（x2+x-13）n的展开式中各项系数和为128，

313r）r=C7·x∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128.

r∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为Tr+1=C7（x2）7-r·（x

-63-11r6，

令63-11r6=5即r=3时，x5项的系数为C37=35.答案：35 5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.答案：11 ●典例剖析

【例1】 如果在（x+124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2×n2n2，

n(n-1)8，

=1+n(n-1)8，得n=8.

12r16-3r设第r+1项为有理项，Tr+1=C·有理项为T1=x4，T5=358r8·x

4，则r是4的倍数，所以r=0，4，，T9=

1256×2.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.【例2】 求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项.

1|x|－2）3=（｜x｜+

－2）（｜x｜+

1|x|－2）（｜x｜+

1|x|1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x|+1|x|，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，

－2）3=（|x|－

1|x|）6.设第r+1项为常数项，

r则Tr+1=C6·（－1）r·（1|x|r）r·|x|6-r=（－1）6·C6·|x|6-2r，得6－2r=0，r=3.∴T3+1=（－1）3·C36=－20.思考讨论

（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数； （2）求（x+4x－4）4的展开式中的常数项；

（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数.解：（1）原式=1=14.（2）（x+4×1-x41-x4（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C6－

－4）=4(x2-4x+4)x44=

(2-x)x48442·，展开式中的常数项为C8（－1）4=1120.（3）方法一：原式=(1+x)[(1+x)348-1](1+x)-1=

(1+x)51-(1+x)展开式中x3的系数为C51.方法二：原展开式中x3的系数为

3333343434C33+C4+C5+…+C50=C4+C4+…+C50=C5+C5+…+C50=…=C51.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.

n【例3】 设an=1+q+q2+…+qn-1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2+…+Cnan.（1）用q和n表示An； （2）（理）当－3

=11-q2nn12n［（C1n+C2］ n+…+Cn）－（Cnq+Cnq+…+Cnq）=11-q{（2n－1）－［（1+q）n－1］} =11-q［2n－（1+q）n］.（2）An2n=11-q［1－（1+q2）n］.因为－3

●闯关训练 夯实基础

1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

－1 20xx解析：C120+C220+…+C20=2－1.答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－是

－

ax

）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和

－

或38

－2r

或28

rr解析：Tr+1=C8·x8r·（－ax1）r=（－a）rC8·x8

.令8－2r=0，∴r=∴（－a）4C8=1120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1.当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38.答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________.解析：设展开式的第r+1项为Tr+1=Cx令8－3r2r88－r

·（－

1x）=（－1）Cx

rr

r88-3r2.

2=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C8=28.答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x3+

x-321x）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.

92解析：Tr+1=C（x）令3n－92rn3n－r·（x）=Cn·x

=0，∴2n=3r.∴n必为3的倍数，r为偶数.6试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84.答案：9 5.已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.-2-1解：由题意Cn＋Cn＋Cnnnn=22，

10即C2n＋Cn＋Cn=22，

∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.lgx∴C3）3=20000，即x3lgx=（x∴x=10或x=110.培养能力

6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11； （2）a0+a2+a4+…+a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26，

又a0=1，

所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0.

①+②得a0+a2+…+a10=1

2 ①

②

（－26+0）=－32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ab的范围.－

－

（12－r）+nrrr解：（1）设Tr+1=C12（axm）12r·（bxn）r=C12a12rbrxm

为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，

43C12a8b4≥C12a9b3，

①

∴有 45C12a8b4≥C12a7b5.

②

由①得12´11´10´94´3´294851a8b4≥12´11´103´2aba9b3，

∵a＞0，b＞0，∴由②得ab b≥a，即≤ab≤

94.≥85，∴≤在二项式（x+24x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C0n，12C1n，

1410C2n，由已知Cn=Cn+

142

C2n，即n－9n+8=0，

解得n=8或n=1（舍去）.Tr+1=C（x）∵4－3r4r88－r（24x）=C·－r

r812r·x

4-3r4.∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

358∴r=0，r=4，r=8.∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=评述：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－探究创新

9.有点难度哟！ 求证：2

1256 x2.

－

3r4∈Z即可，而不需要指数4－

3r4∈）n

1n）n=1+1+C2n×

12!1n2+C3n×

1n3+…+Cnn×

1nn=2+

12!×+13!×n(n-1)(n-2)n3+…+×

n´(n-1)´L´2´1n1n

13!

+14!+…+1n!

1n-1[1-()]2211-2n

=3－（）n-1

111n22n+C3n×

1n3+…+Cnn×1nn>2.所以2

1.在使用通项公式Tr+1=Crnan-rbr时，要注意： （1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，Tr+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤证明组合恒等式常用赋值法.●教师下载中心

r教学点睛

1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.

3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例

【例题】 求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从

34剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为C10a3C7·（－2b）4333433433434342（－3）abc.所以含abc项的系数为－C10C7×16×（－3c）=C10C7C3

二项式定理优秀教案 篇10

一．课标要求：

1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理

通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；

2．排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；

3．二项式定理

能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向

本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。

三．要点精讲

1．排列、组合、二项式知识相互关系表

2．两个基本原理

（1）分类计数原理中的分类；

（2）分步计数原理中的分步；

正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列

（1）排列定义，排列数

（2）排列数公式：系 = =n·(n－1)…(n－m+1)；

（3）全排列列： =n!；

（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

4．组合

（1）组合的定义，排列与组合的区别；

（2）组合数公式：Cnm= = ；

（3）组合数的性质

①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；

5．二项式定理

（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；

（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；

6．二项式的应用

（1）求某些多项式系数的和；

（2）证明一些简单的组合恒等式；

（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；

（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+ x2；（5）证明不等式。

四．典例解析

题型1：计数原理

例1．完成下列选择题与填空题

（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。

A．81 B．64 C．24 D．4

（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）

A．81 B．64 C．24 D．4

（3）有四位学生参加三项不同的竞赛，

①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ；

②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有 ；

③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有 。

例2．（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。

点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。

题型2：排列问题

例3．（1）（2008四川理卷13）

展开式中 的系数为?______ _________。

【点评】：此题重点考察二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；

（2）．2008湖南省长沙云帆实验学校理科限时训练

若 n展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

点评：合理的应用排列的公式处理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做。

例4．（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的.五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）；

（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.

点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。

题型三：组合问题

例5．荆州市2008届高中毕业班质量检测（Ⅱ）

（1）将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为（C）

（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）

A．10种 B．20种 C．36种 D．52种

点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础，应用计数原理结合

例6．（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；

（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）

（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种

点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等；

题型4：排列、组合的综合问题

例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。

点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。

例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

点评：本题是1999年全国高中数学联赛中的一填空题，据抽样分析正确率只有。错误原因没有对c=0与c≠0正确分类；没有考虑c=0中出现重复的直线。

题型5：二项式定理

例9．（1）（2008湖北卷）

在 的展开式中， 的幂的指数是整数的项共有

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

（2） 的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是

（A）0 （B）2 （C）4 （D）6

点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。

例10． （2008湖南文13）

记 的展开式中第m项的系数为 ，若 ，则 =____5______.

题型6：二项式定理的应用

例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；

（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余数是多少？

（3）根据下列要求的精确度，求的近似值。①精确到；②精确到。

点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；

（2）用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。

五．思维总结

解排列组合应用题的基本规律

1．分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。

2．将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。

3．对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：

（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；

（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；

（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。

4．对解组合问题，应注意以下三点：

（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；

（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；

（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。