平行线的性质教案（实用5篇）

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平行线的性质教案1

案例教学是数学课堂教学的一项重要活动，同时也是教师在数学教学方面的一项重要形式。案例教学作为课堂教学活动的一种形式，理应遵循和按照课堂教学活动的要求。案例教学过程，既包含教师讲解指导的活动，又包含学生探知分析的活动。并且教师与学生之间的各自活动，又有深刻密切的联系和包容。但通过大量观摩课堂案例教学发现，部分高中数学教师在案例教学活动中，将教师的“讲解”与学生的“探析”二者之间的活动过程进行割离，未能将“讲”与“探”有效融合、渗透，影响案例教学效能。因此，案例教学应生动体现课堂教学的显著特性，将互动交流特性在案例教学中予以有效体现，把教师对问题内容的讲解，解析方法的点拨，以及学生解题活动的指导等活动，融入整个案例教学的活动过程中，让教师的主导特性有效呈现，学生的主体地位充分展示，达到教学共进的目标。如在“已知函数f（x）=|log2（x+1）|，满足f（m）=f（n），m＜n.试比较m+n与0的大小”解题策略的讲解中，教师采用师生互动交流的教学方式，开展案例教学活动。教师向学生提出：“通过学习探究，你能归纳总结得出该案例的解题方法。”此时，学生根据教师提出的任务要求，自行组织开展学习小组间的思考分析和总结讨论活动，高中生纷纷结合探知、解析案例的过程及体会，指出：“由f（m）=f（n），化简可以得到mn+m+n=0，根据函数的定义域性质可以知道，m，n∈（-1，0］或m，n∈［0，+∞）.由于x∈（-1，0］时，f（x）是减函数；x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数。由此确定f（m）≠f（n），从而得到m+n＞0.”教师引导学生一起进行讨论归纳活动，针对解析过程所应用的数学知识点内容及解题思路，指出：“在该类型的问题案例解答中，要利用函数的单调性，运用转化的数学思想，比较两个式子的大小。”

二、案例教学要落实新课程标准的能力培养要义

案例教学是教学活动的一种形式或阶段，需要认真落实新课程标准提出的学习能力培养的目标要求。高中阶段与其他教学阶段一样，其学习技能、学习素养及学习品质等方面，始终是教学活动的重要任务和唯一追寻。案例教学，不仅是为了教会学习对象感知案例、解析案例的方法和策略，更重要的是，让学习对象借助案例教学这一平台，其数学学习技能得到深刻的锻炼和有效培养。因此，高中数学教师不仅要将案例教学作为巩固所学知识的有效载体，还要将案例教学作为数学学习技能培养提升的有效“平台”，提供高中生自主探知案例、合作探析案例、归纳解析策略等活动时机，同时切实做好实践过程的引导和点拨工作，实现高中生在数学案例的探究实践活动中，数学学习技能的有效锻炼和提升。问题：已知有实数x，y满足不等式组1≤x+y≤4y+2≥|2x-3≥|，如果a＞0时，在（x，y）所在的平面区域内，求函数z=y-ax的最大值和最小值。学生分析：该案例是关于简单线性规划的问题，先画出不等式组的平面区域图，根据所提出的问题条件，画出可行域，通过观察图像内容，可以发现需要采用分类讨论的解题思想，就直线z=y-ax的斜率a＞2时和直线z=y-ax的斜率-1＜a≤2时，直线平移的点的坐标情况，求出其最大值和最小值。教师指导：该案例是关于不等式的线性规划问题，主要考查学生对线性规划知识的应用能力。学生开展问题解答活动。小组讨论得出解题策略：正确地画出不等式的线性规划可行区域，准确深刻认知函数的几何意义是本题解答的关键。

三、案例教学要渗透高考政策的数学考查要求

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平行线的性质教案2

关键词： 初中数学教学 案例式教学 应用策略

问题是数学的“心脏”，是数学学科知识内涵及其内在深刻联系的高度概括和生动反映。问题教学活动是初中数学学科教学活动的重要形式之一，也是学生学习能力培养的重要途径之一，更是教师落实新课改能力培养目标要求的重要方式之一。传统教学活动中，初中数学教师在问题案例教学过程中采用“题海”战术，在问题案例的选择和设置上，“眉毛胡子一把抓”，未能根据教学目标、能力要求，以及学习重难点，设置典型、生动的问题案例，导致问题教学活动的效果“事倍功半”。实践证明，案例教学的最终目标是锻炼和培养学生的学习技能，让学生在典型案例探知和解答活动中获得学习技能和学习素养的有效提升。这就要求新课改下的初中数学教师在案例式教学活动中，所选择的问题案例要紧扣教学要义，开展的教学活动助于能力提高，进行的评析活动有利于学习习惯养成。下面我结合近年来的问题案例式教学实践体会，对初中数学教学中如何有效实施案例式教学活动进行论述。

一、紧扣教学目标要义，案例设置具有典型性

教学实践证明，问题教学活动应始终围绕教材内容、学生主体开展和实施。在传统教学活动中，部分初中数学教师设置问题案例时，存在脱离教学目标要求和学生学习实际，随心所欲，信手拈来的现象，不能设置出具有典型特征的数学问题案例，导致教师问题案例教学活动效能降低。这就要求，初中数学教师在案例式教学活动时，应将设置典型性的问题案例作为实施有效案例教学活动的重要前提，根据教学目标要求，教材内容，教学重难点，以及学生学习实际，设置具有典型生动的教学案例，使学生在探析问题条件内容中，领会问题设计意图，掌握教学内容。

如在“平行四边形的性质”教学活动中，教师为了使学生能够更深刻地理解“平行四边形的性质”内涵，灵活运用该知识内容，在向学生讲解平行四边形的性质内容基础上，根据教学目标、学习要求及学习实际，设置了“如图所示，已知四边形ACED为平行四边形，DF垂直平分，BE甲乙两虫同时从A点开始爬行到点F，甲虫沿着A-D-E-F的路线爬行，乙虫沿着A-C-B-F的路线爬行，若它们的爬行速度相同，则谁先到达？”的教学案例，要求学生开展探析教学案例活动。学生在已有知识经验基础上，认识到该问题要求的内容，实际就是平行四边形性质的应用知识，此时，学生通过问题条件，构建A-D-E-F与A-C-B-F路线之间的关系，建立数量关系，从而进行问题解答。这样，初中生在典型案例的探析过程中，对该知识内容的理解和运用更深刻和准确。

二、凸显能力培养目标，案例教学具有发展性

教是为了不教。案例教学作为新课改下问题教学活动的重要组成部分之一，锻炼和培养学生的学习能力、学习素养，是其重要内容和目标要求之一。新实施的初中数学课程标准倡导以生为本的教学理念，要求将能力培养作为第一要务，将能力培养贯穿整个教学活动的始终。这就决定了初中数学教师在案例式教学活动要将学习能力培养作为重要任务和要求，将案例教学的过程中，转化为能力培养的过程，实现案例教学和能力培养的有机统一，让学生在探析、解答案例过程中，获得学习能力、学习素养的提升和进步。

问题：如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点，求证：AFCD。

上述问题案例是教师在讲解“等腰三角形的三线合一”知识点内容时所设置的一道教学案例。在该问题的教学过程中，教师采用探究式教学策略，学生在自住探析和合作探究双边活动基础上，认为“要证明AFCD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形‘三线合一’的性质得到结论”。在探寻解题策略过程中，采用合作探析的方式，共同讨论得出“利用等腰三角形三线合一性质，构建全等三角形”的解题策略。最后，师生互动共同归纳总结解题策略。解题过程如下：

证明：连接AC，AD，在ABC和AED中

∠B=∠E（已知）∠ABC=∠AED（已知）BC=ED（已知）

ABC≌AED（SAD）

AC=AD（全等三角形的对应边相等）

又ACD中AF是CD边的中线（已知）

AFCD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）

在上述教学活动中，教师引导初中生开展探究式和合作性学习活动，将案例教学的过程转变为能力培养的过程中，体现了新课改的“能力培养”目标要求，实现了案例教学与能力培养的有效统一。

三、放大评价辨析特性，案例评价具有指导性

平行线的性质教案3

关键词人才需求；在线模拟案例教学；能力培养；专业发展

电子商务专业的在线性、复合性、多样性和实践性特征，决定着电子商务专业有必要率先引入在线模拟案例教学以加强学生能力培养。

一、人才需求迫在眉睫

回顾2006年，我国电子商务的快速发展再次印证了互联网巨大的潜力。一批极具特色的商务网站，如阿里巴巴、当当网、卓越网、淘宝网、易趣网等，在电子商务B2B、B2C、C2C领域成为一方霸主。我国目前拥有大量从事国内贸易的生产型企业和服务型企业，统计显示：1100万中小企业中，已经有近1/4的企业开始尝试并越来越熟练运用电子商务工具。从与不同职位专业知识的结合来看，未来我国将缺乏能够结合市场营销、客户服务、生产管理、行政财务等多个领域的复合型电子商务人才。

即使如此，我国电子商务专业人才的供给与企业对电子商务专业人才需求之间仍然存在相当大的差距。我国正处在电子商务的发展时期，这个时期将对电子商务的人才提出新的要求，过去那些仅具有网络技术背景的人才，或仅懂商务的人才已经很难满足企业发展电子商务的需要，而系统地接受过电子商务培训，能有效利用网络技术的复合型电子商务人才奇缺。

高校电子商务专业毕业生缺乏实操技能训练，综合能力差。高校电子商务教育的现状是：教师以说为主，学生以听为主，而电子商务是一门综合性的商务学科，无论是计算机与网络技术、商务策划、项目实施都需要大量的动手训练，尽管这两年很多高校都意识到这个问题，并推出了电子商务实验室系统，供学生模拟练习。但是这些软件仍然脱离于实际的商业环境，甚至有不少软件已经落后于现有的应用。而商务行为本身又是复杂多变的，电子商务实验室系统如果没有真正的商人参与、如果将所有的商业行为都固化，事实上与书本教育并没有本质区别。在线模拟案例教学模式是电子商务人才能力培养的有效途径。

二、在线模拟案例教学模式的先进性

随着互联网的普及，互联网上实时性、现实性的案例大量涌现，案例教学由传统的利用书面案例资源转向利用互联网案例资源，实时利用互联网案例，实现在线案例模拟展示和动态互动教学，即为在线模拟案例教学。在线模拟案例教学是通过老师设置和选择在线模拟案例，老师设置在线模拟案例任务，由学生剖析和评价并在线执行完成案例，以培养学生创新和实践能力为目的的一种互动式教学模式。在线模拟案例教学在改变“灌输式”的教学模式，培养学生的判断能力、表达能力和解决问题的能力，提高老师的教学水平等方面发挥过积极的作用。

与传统案例相比，传统案例教学中的案例有时不是真实案例，脱离实际，实效性弱，现实性差，过于抽象，很难产生身临其境的效果，不利于学生实际能力和综合能力培养。利用互联网在线的案例资源，实时、动态、互动的课堂案例教学， 增加专业知识的实用性和综合性，培养学生实际技能与综合能力，增强就业竞争力，是传统案例教学的创新和突破。在线模拟案例教学的先进性体现在四个方面：

第一，充分利用互联网上丰富的信息资源。通过访问典型网站，边传授理论知识，边结合网站实际，让学生了解各部门是如何进行电子商务活动的。

第二，实时动态地把握国内外电子商务的发展，借鉴电子商务应用的成功经验，为电子商务的实际工作打下坚实基础。

第三，可以利用软件公司提供的案例模拟平台，结合电子商务业务特点，进行仿真模块操作。

第四，在课堂上可以直接登录国内外著名的商务网站、企业网站和政府网站，搜索和收集大量真实、鲜活、翔实和极富启发性的案例素材，达到课堂“激发思考，学思结合，引起争论，集思广益”和“理论联系实际”的良好的教学结果。

三、在线模拟案例教学模式有利于能力培养

在线模拟案例教学的实行要在学生掌握了有关基本知识和分析技术的基础上，利用网络实时在线的方式，在教师的精心策划和指导下，根据教学目的和教学内容的要求，运用在线模拟案例，将学生带入特定事件的现场进行案例分析，并通过学生的独立思考或集体协作，进一步提高其识别、分析和解决某一具体问题的能力，同时培养正确的管理理念、工作作风、沟通能力和协作精神的教学方式。其基本原则有两条：其一，利用网络实时在线的方式，运用在线模拟案例手段；其二，通过自学和相互学习使学生深入参与整个在线模拟案例教学过程。

第一，提高学生应用能力的需要。“教”给学生知识固然重要，更重要的是“教”给学生能力。近年来，随着电子商务在各行各业应用的不断深入，互联网上相关的案例正层出不穷，不但丰富了电子商务在线案例的内容，也加深了学生所学的理论知识，增强了学生分析问题和处理问题的能力。在线模拟案例教学有其独特的优点，它让学生在逼真的虚拟空间模拟情景中体验电子商务实践，使学生能够对电子商务产生实际的感性认识，能动态地把握国内外电子商务的发展，了解各行业电子商务的状况，借鉴电子商务应用的成功经验，为将来从事电子商务相关工作打下坚实基础。

第二，搜集真实案例素材的需要。在国际、国内著名的软件企业———微软中国有限公司、莲花软件中国有限公司、IBM中国有限公司、SAP中国有限公司、金碟软件公司、浪潮集团、北京易通经纬软件公司、北京华深慧正公司、上海奥林岛科技实业公司等企业网站和政府机构的网站都蕴藏着大量真实、翔实和极富启发性的案例素材，挖掘这个巨大无比的虚拟的空间里的最新的和最有说服力的真实案例，是新时期案例教学研究的新课题，有利于学生能力的培养。

第三，改进传统教学方法和教学手段的需要。以计算机应用为基础的“多媒体”和互联网时代带给我们的是信息社会特有的教育思想和教育观念。一些旧的传统的教学思想和教学观念，已不能适应信息时代教学的需要，不利于能力的培养。只有改革落后的教学手段、教学内容和教学方法，才能担当起培养高素质专业人才的重任。

第四，案例教学创新的需要。现在，我们面对两种案例资源：书面案例资源和互联网案例资源，后一种是前一种的延伸和拓展。互联网案例即时展示在线企业实战中的真实背景，为学生提供一个虚拟空间，进行电子商务运作的模拟训练，以培养其实操能力。与书面案例不同，企业背景和事件是在不断发展变化着，互联网案例属于一种动态案例，更有益于培养学生在各种复杂多变的经营形势面前的应对能力，使学生转变观念，训练心理素质，是案例教学新层次上的创新和飞跃。

四、在线模拟案例教学的基本条件和方式

基本条件：连入互联网的多媒体教室；老师熟练掌握在线案例资源。

教学方法：在线模拟电子商务企业的运作，以任务驱动的方法让学生主动参与，进行过程式和体验式的学习与考核。

相应措施：（1）在理论专题的讲授中恰当地穿插在线案例分析，以案例分析配合理论知识的讲解；（2）相对集中地组织在线案例教学活动，分批分次地安排于课程的教学过程中；（3）要求学生独立撰写在线案例分析报告，作为课程考核的主要依据之一。

教学形式：互联网上大量详实的案例，以虚拟空间的形式展现，以老师讲授为主，学生提问，进行三种形式的分析、讨论和评价，老师解答案例的难点和疑点。（1）课堂对话式。由老师讲授为主，留出一定量的课堂时间，让学生提问，进行“双向对话”。（2）目小组式。学生组成各个项目小组，以项目管理的工作方式进行案例的分析、决策，小组反复进行多次活动。（3）答辩活动式。老师主持答辩，学生代表宣讲小组作业结果。其他学生可以质疑并要求对案例作业结果进行评价和总结，实现“教”与“学”之间的多向对话。

以上教学过程，对教师而言，要当好导演的角色，善于组织和引导，巧加评论和指点，擅长引人入胜，又能指点迷津。老师循循善诱，学生主动参与，从熟悉案例提供的情况入手，从中发现问题，进而分析和解决问题。组织在线案例教学难度很大，要引导得当需要精心备课。老师无疑应当对将要作教学的在线案例有深刻的认识，就案例中隐含问题的分析和处理要有自己的见解，在必要时释疑解惑，以及在展开讨论的基础上予以归纳和评价，切忌讲解过度。要致力于组织引导学生多想、多说，以收激发思考、集思广益之效果。

参与在线案例研讨，学生的主要难点有三点：(1)如何将案例隐含的问题明确化，即发现或识别问题；(2)从案例提供的事实中如何分辨出和有区别地对待有关的和无关的、重要的和次要的、实质性的和非实质性的等一系列问题；(3)如何对待冗长的案例和非确定型决策问题。总之，学生会感到不知如何运用所学的理论知识有针对性地分析和处理某一具体案例，或有可能把复杂的问题过于简单化，有“瞎子摸象”之嫌。

化解上述三大难点的基本对策是采用“设问法”，即由老师向学生设置问题以及引导学生自我设问。设问法重在启发，以问题为导向：（1）在所提供的在线案例之后附以若干“提示问题”，研讨时则不限于此，启发学生进一步自我设问，或提示更多的问题；（2）层层设问，由表及里，由浅入深，老师宜在备课时自拟“问题清单”，尽可能设想研讨时可能出现的情况，列举各项问题，理顺诸问题之间的逻辑关系，组织研讨时据情予以变通；（3）拓展学生思路，启发学生深入全面地思考，多层次多侧面地分析和处理案例；（4）教无定法，贵在适当，在线案例教学的设问法应与其他行之有效的问题教学法、发现教学法等教学方法相结合，以收相得益彰之效果。

五、在线模拟案例教学模式的推广

第一，电子商务概论课程率先实施在线模拟案例教学。在线模拟案例教学作为能力培养的有效途径可以在电子商务“四流”教学中大力推广。

第二，电子商务专业的其他课程，如网络营销、物流管理、电子商务安全、电子商务实训等课程实施在线模拟案例教学。

第三，在总结电子商务专业在线模拟案例教学成功经验的基础上，进一步向市场营销、国际贸易、企业管理等相关专业推广。

电子商务专业的培养目标是造就电子商务人才，而为社会所需要的电子商务人才所应具备的不仅是理论知识，更重要的是知识运用能力，因此理论知识的掌握和考试过关都不是教育的最终目的。电子商务专业在线案例教学模式实际上是对电子商务专业教学方式尤其是培养模式的探索，它通过在线案例的索引，增加专业知识的实用性和综合性，培养学生实际技能与综合能力，增强就业竞争力。 参考文献

[1]岑雄鹰，傅震宇．浅谈电子商务人才培养策略[J]．宁波大学学报（教育科学版），2006，（1）.

[2]周小科．电子商务教学方法探讨[J]．电脑知识与技术(学术交流)．2006，(12)．

平行线的性质教案4

1.经历从性质公理推出性质2的过程；掌握平行线的性质，并能用它们作简单的逻辑推理；

2.感受原命题与逆命题，从而了解平行线的性质公理与判定公理的区别，能在推理过程正确使用。

教学重点

平行线的性质以及应用。

教学难点

平行线的性质公理与判定公理的区别。

对话设计

〖探索1〗反过来也成立吗

过去我们学过：如果两个数的和为0,这两个数互为相反数。反过来，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.这两个句子都是正确的。

现在换一个例子：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。它是对的。反过来，如果两个角相等，这两个角是对顶角。对吗？

再看下面的例子：如果一个整数个位上的数字是5,那么它一定能够被5整除。对吗？这句话反过来怎么说？对不对？

〖结论〗如果一个句子是正确的，反过来说(因果对调),就未必正确。

〖探索2〗

上一节课，我们学过：同位角相等，两直线平行。反过来怎么说？它还是对的吗？完成P21的探究，写出你的猜想。

〖推理举例〗

如果把平行线性质1---"两直线平行，同位角相等"看作是基本事实(公理),我们可以利用这个公理证明平行线性质2:"两直线平行，内错角相等".

如图，已知：直线a、b被直线c所截，且a∥b,

求证：∠1=∠2.

证明：a∥b,

∠1=∠3(__________________).

∠3=∠2(对顶角相等),

∠1=∠2(等量代换).

〖探索3〗下面我们来证明平行线的性质3:两直线平行，同旁内角互补。请模仿范例写出证明。

如图，已知：直线a、b被直线c所截，且a∥b,

求证：∠1+∠2=180?.

证明：

〖探索4〗

如图：直线a、b被直线c所截，

(1)若a∥b,可以得到∠1=∠2.根据什么？

(2)若∠1=∠2,可以得到a∥b.根据什么？根据和(1)一样吗？

〖练习1〗如图，已知直线a、b被直线c所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据：

(1)a∥b,∠1=∠3(___________________);

(2)∠1=∠3,a∥b(_________________).

(3)a∥b,∠1=∠2(__________________);

(4)a∥b,∠1+∠4=180?

(_____________________________________)

(5)∠1=∠2,a∥b(___________________);

(6)∠1+∠4=180?,a∥b(_______________).

〖练习2〗

画两条平行线，说出你画图的根据；再任意画一条直线和这两条平行线都相交，写出所生成的角当中的一对内错角，并说明这一对角一定相等的理由。

平行线的性质教案5

关键词：线性动态系统；教学改革；案例教学；直线二级倒立

中图分类号： 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）31-0085-03

一、引言

线性动态系统理论与设计是电气工程、控制科学与工程等学科的专业基础课程，包括清华大学、浙江大学、斯坦福大学、麻省理工学院等国内外重点大学均开设了类似课程。该课程的研究对象是各种实际系统抽象出来的、形式上具有统一性的具有线性属性的一类动态系统，借助线性代数和矩阵分析的方法，进行系统分析与控制器设计方法的训练，培养学生对系统进行数学建模、分析与推理能力，使学生具备利用数学工具对控制系统进行理论描述、系统分析和控制器设计的综合能力[1-3]。

该课程作为控制科学与工程、电气工程等学科硕士研究生核心课程之一，以往教学过程主要注重基础理论和基本方法的讲授，作为分析工具的数学在教学过程中所占比例较大。随着研究生教育规模的扩大，根据地方普通高校研究生的现状，需要在讲授基础理论和基本方法的基础上，突出相关理论、方法的工程应用背景[4]。

二、教学案例设计

根据线性动态系统理论与设计课程的特点及在学科中的基础性，教学案例需要在教学过程中结合学生基础知识及课程基本理论、方法进行选择与设计。根据多年的教学实践，本课程选择典型的直线二级倒立摆作为教学案例。直线二级倒立摆作为典型的机电一体化抽象模型，是人形机器人等实际系统的物理模型。该系统是一个非线性自然不稳定系统，通过该系统可更直观地展现动态系统的稳定性、能控性以及系统状态的收敛速度等抽象概念[3]。由于该系统的典型性，已有大量文献资料可供参考，便于在Matlab/Simulink仿真环境中分析、验证，结合实验室原有的物理实验装置，可对线性动态系统的分析、综合进行实际实验验证[5]。

（一）直线二级倒立摆物理模型

直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，从而保持倒立摆系统的平衡与稳定，系统组成如图1所示。为简化系统，在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。

其中，M为小车质量，m1为摆杆1的质量，m2为摆杆2的质量，m3为质量块的质量，l1为摆杆1中心到转动中心的距离，l2为摆杆2中心到转动中心的距离，θ1为摆杆1与竖直方向的夹角，θ2摆杆2与竖直方向的夹角，F为作用在系统上的外力。

三、案例化教学方式实践

结合实例在建立系统状态空间模型后，可基于该系统模型对系统的能控性、能观测性等进行分析，在课程内容的运动分析、能控性、能观测性以及稳定性分析相关的基本理论与方法时，结合该系统进行讲解，使抽象的、数学化的理论方法具有明确的物理含义，便于学生理解与掌握相关原理、方法。

1.系统开环仿真。结合该案例，要求学生利用Matlab/Simulink仿真环境建立系统模型，并进行相关算例的编程计算、系统分析。系统的Matlab/Simulink模型如图2所示。

其中“State-Space”模块为直线两级倒立摆的状态方程，双击模块可打开模型进行参数设定。

建立好系统仿真模型后，对系统进行开环仿真，仿真结果如图3所示。从仿真结果可以看出，系统发散，为使系统稳定，需要对其添加控制器。

2.控制器设计与仿真。为使系统稳定，需要针对该系统设计闭环控制器，采取状态反馈的形式进行控制器设计，控制率采用线性二次型最优控制（LQR）方法，仿真模型如图4所示。根据LQR控制方法的原理，可计算出控制器状态反馈矩阵的参数为K=[1 - -]，仿真结果如图5所示。

由图5可见，系统虽然可以稳定，但系统稳定时间过长，根据LQR的基本原理，可知要增加系统响应速度，需增加权重Q的值。

设Q11=300，Q22=500，Q33=500，对应的LQR控制器参数为K=[ - -]，仿真结果如图6所示。

由图6可以看出，系统可以很好的稳定，在给定倒立摆干扰后，系统在秒内可以恢复到平衡点附近。通过对参数的重新设置，观察仿真结果，进而加深对相应控制方法的理解和掌握。

3.实时实验验证。根据上述仿真结果，选取具有较好响应的控制器参数进行实时控制实验，对比验证控制方法在实际系统上的控制效果，由于实际系统存在干扰信号、检测信号噪声、机械摩擦等实际情况，一般而言，实物系统上的控制效果与仿真结果会有一定差异。

实物实验验证在实验室的直线二级倒立摆平台上进行，控制算法仍可基于Matlab/Simulink进行。实时控制系统如图7所示。

四、结论

案例化教学方式的实施，除了教学案例的引入、课程教学组织的变化，学生的深度参与对于教学效果更为重要，在教学过程中要求学生在仿真环境中自行建立系统模型，对系统性质进行分析，在此基础上，尝试设计控制器，可覆盖课程大部分内容，通过案例将各知识模块和方法有机联系在一起，使学生进一步明确课程内容对于实际系统的作用，一方面可提升学生学习的目的性、积极性，同时训练了学生分析问题、解决问题的能力。

参考文献：

[1]郑大钟。线性系统理论[M].第2版。北京：清华大学出版社，2002.

[2]Chi-Tsong Chen. Linear system theory and design，3rd edition. New York：Oxford University Press，1999.

[3]王晓兰，李恒杰。“线性系统理论”课程教学案例的设计[J].电子电气教学学报，2013，35（2）：21-23.