数学《二次函数》精编教案【实用8篇】

通过引导学生理解二次函数的定义、图像及性质，结合实际应用，培养学生的分析与解决问题能力，激发学习兴趣，从而掌握二次函数的基本知识与技能。如何更好地应用这些知识呢？以下由阿拉网友整理分享的数学《二次函数》教案相关文章，便您学习参考，喜欢就分享给朋友吧！

初二二次函数教案 篇1：

一。学习目标

1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

二。知识导学

（一）情景导学

1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 。

2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？

设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为 .

3．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽米，那么总费用y为多少元？

在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元，踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是 。

（二）归纳提高。

上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？

一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。

一般地，二次函数 中自变量x的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？

（三）典例分析

例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数的值。

(1) y＝1― (2)y＝x(x－5) (3)y＝ － x＋1 (4) y＝3x(2－x)＋ 3x2

(5)y＝ (6) y＝ (7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c

例2．当k为何值时，函数 为二次函数？

例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

⑴正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系；

⑵圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

⑶某种储蓄的年利率是%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

⑷菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

三。巩固拓展

1.已知函数 是二次函数，求m的值。

2. 已知二次函数 ，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的`值．

3.一个长方形的长是宽的倍，写出这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式。

4.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式

5.用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长 m．

⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；

⑵求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取，结果精确到 m2）

课堂练习：

1.判断下列函数是否是二次函数，若是，请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。

（1）y=2-3x2; (2)y=x2+2x3; (3)y= ; (4)y= .

2.写出多项式的对角线的条数d与边数n之间的函数关系式。

3.某产品年产量为30台，计划今后每年比上一年的产量增长x%，试写出两年后的产量y（台）与x的函数关系式。

4.圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积v(cm3)与底面周长C(cm)之间的函数关系式。

课外作业：

A级：

1.下列函数：（1）y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ,属于二次函数的

是 (填序号).

2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为 .

3.下列函数关系中，满足二次函数关系的是( )

A.圆的周长与圆的半径之间的关系； B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系；

C.圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系；

D.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系。

4.某超市1月份的营业额为200万元，2、3月份营业额的月平均增长率为x，求第一季度营业额y（万元）与x的函数关系式。

B级：

5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为 ，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V与n的函数关系式。

6.某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛20xx头。后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式。

C级：

7.圆的半径为2cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到y(cm2).

(1)写出y与x之间的函数关系式；

（2）当圆的半径分别增加1cm、 时，圆的面积分别增加多少？

（3）当圆的面积为5πcm2时，其半径增加了多少？

8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).

(1)证明y是x的二次函数；

(2)当k=-2时，写出y与x的函数关系式。

数学《二次函数》优秀教案 篇2：

一、教材分析

1、教材的地位及作用

函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。它既是对已学一次函数及反比例函数的复习，又是对二次函数知识的延续和深化，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。

2.教学目标

(1) 掌握二此函数的概念并能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。[知识与技能目标]

(2)让学生经历观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。[过程与方法目标]

(3) 让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，[情感、态度、价值观目标]

3、教学的重、难点

重点：二次函数的概念和解析式

难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力

4、 学情分析

①学生已掌握一次函数，反比例函数的概念，图象的画法，以及它们图象的性质。 ②学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与 能力。

③初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。

二、教法学法分析

1、教法(关键词：情境、探究、分层)

基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法 为主进行教学。让学生在开放的情境中，在教师的 引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应用过程，加深对数学知识的理解。教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。

2、学法(关键词：类比、自主、合作)

根据学生的思维特点、认知水平，遵循“教必� 在各个环节中引导学生类比迁移，对照学习。以自主探索为主，学会合作交流，在师生互动、生生互动中让每个学生动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性，使学生由“学会”变“会学”和“乐学”。

3、教学手段

采用多媒体教学，直观呈现抛物线和谐、对称的美，激发学生的学习 兴趣，参与热情，增大教学容量，提高教学效率。

三、教学过程

完整的数学学习过程是一个不断探索、发现、验证的过程，根据新课标要求，根据“以人为本，以学定教”的教学理念，结合学生实际，制订以下教学流程：

(一)创设情境，温故引新

以提问的形式复习一元二次方程的一般形式，一次函数，反比例函数的定义，然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案，创设情境：

(1)你们喜欢打篮球吗？

(2)你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

从而引出课题《二次函数》，导入新课

(二)合作学习，探索新知

为了更贴近生活，我先设计了两个和实际生活有关的练习题。鼓励学生积极发言，充分调动学生的主动性。然后出示课本上的两个问题，在这个环节中，我让学生在教师的引导下，先独立思考，再以小组为单位交流成果，以培养学生自主探索、合作探究的能力。四个解析式都列出来后。让学生通过观察与思考，这些解析式有什么共同特征，启发学生用自己的语言总结，从而得出二次函数的概念，并且提高了学生的语言表达能力。

学生在学习二次函数的概念时要求学生既要知道表示二次函数的解析式中字母的意义，还要能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数

(三)当堂训练，巩固提高

由于学生层次不一，练习的设计充分考虑到学生的个体差异，满足不同层次学生的学习需求，实现有“差异的”发展。让每一个学生都感受成功的喜悦。我设计了3道练习题，其难易程度逐步提高，第一道题面对所有的学生，学生可以根据二次函数的概念直接判断，但需要强调该化简的必须化简后才可以判断。第二道题让学生逆向思维，根据条件自己写二次函数，从而加深了对二次函数概念的理解。最后一道题综合性较强，可以提高他们的综合素质。

(四).小结归纳，拓展转化

让学生用自己的`语言谈谈自己的收获，可以将这一节的知识条理化，进一步掌握二次函数的概念。

(五)布置作业，学以致用

作业分必做题、选做题，体现分层思想，通过作业，内化知识，检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教与学中遗漏与不足。同时，选做题具有总结性，可引导学生研究二次函数，一次函数，正比例函数的联系。

四、评价分析

本节课的教学从学生已有的认知基础出发，以学生自主探索、合作交流为主线，让学生经历数学知识的形成与应用过程，加深对所学知识的理解，从而突破重难点。整节课注重学生能力的培养和习惯的养成。由于学生的层次不一，我全程关注每一个学生的学习状态，进行分层施教，因势利导，随机应变，适时调整教学环节，实现评价主体和形式的多样化，把握评价的时机与尺度，激发学生的学习兴趣，激活课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态。

五、教学反思

1.本节课通过学生合作交流，自己列出不同问题中的解析式，并通过观察他们的共同特征，成功得出了二次函数的概念。

2.本节课设计的以问题为主线，培养学生有条理思考问题的习惯和归纳概括能力，并重视培养学生的语言表达能力。同时不断激发学生的探索精神，提高了学生分析和解决问题的能力。使学生有成功体验。

《二次函数》的复习教学设计 篇3：

设计思路

由于每个学生的基础知识、智力水平和学习方法等都存在一定差别，所以本节课采用分层教学。既创设舞台让优秀生表演，又要重视给后进生提供参与的机会，使其增强学习数学的信心。具体题目安排从易到难，形成梯度，符合学生的认知规律，使全体学生都能得到不同程度的提高。

教学目标

1.掌握二次函数的图像和性质，了解一元二次方程与二次函数的关系，能依据已知条件确定二次函数的关系式。

2.通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想。通过学习和探究xxxx考点问题，渗透数形结合思想及分类讨论思想。

3.查漏补缺，采用小组学习使复习更有效，学生在自主探索与合作交流的过程中，全方位“参与”问题的解决，获得广泛的数学活动经验。

重点

探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。

难点

如何将实际问题转化为二次函数的问题。

教学过程

[活动1]学生分组处理前置性作业

教师出示习题答案。组织学生合作交流，深入到每个小组，针对不同情况加强指导。

教师重点关注学困生。

针对学生的实际情况，对习题进行分层处理，树立学困生学习数学的信心。

[活动2]师生共同解决作业中存在的问题

学生自主研究，分组讨论后，然后提出问题，教师对学生回答的问题进行评价

教师重点归纳数学思想。

通过对习题的处理，使学生进一步加深对二次函数有关概念及性质的理解，能用函数观点解决实际问题。同时，小组学习也使学生全方位参与问题的解决。

[活动3]习题现中考

例1（xxxx，南宁）

教师结合教材对比、分析

学生小组合作，完成例题

教师归纳：本题考查了二次函数、一元二次方程与梯形的面积等知识。

对于二次函数与其他知识的综合应用，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，从而把握解题的突破口。

[活动4]例题现中考

例2（xxxx，济宁）

例3（xxxx，黔东南州)

学生自学，教师指导，让学生讨论回答这两道题的。共同特点。

让学生根据讨论的结果概括、归纳出“每每型”二次函数模型的题型特点和解决这类问题的关键。

[活动5]知识提高阶段

教师给出一组习题，学生讨论完成。

知识再运用有助于知识的巩固。

[活动6]小结、布置作业

问题

本节学了哪些内容？�

师生共同小结，加深对本节课知识的理解。

让学生参与小结并有不同的答案，可以增强学生学习的积极性和主动性，培养学生对所学知识回顾思考的习惯。

二次函数教案 篇4：

一、重视每一堂复习课

数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。

二、重视每一个学生

学生是课堂的主体，离开学生谈课堂效率肯定是行不通的。而我校的学生数学基础大多不太好，上课的积极性普遍不高，对学习的热情也不是很高，这些都是十分现实的事情，既然现状无法更改，那么我们只能去适应它，这就对我们老师提出了更高的要求

三、做好课外与学生的沟通

学生对你教学理念认同和教学常规配合与否，功夫往往在课外，只有在课外与学生多进行交流和沟通，和学生建立起比较深厚的师生情谊，那么最顽皮的学生也能在他喜欢的老师的课堂上听进一点

四、要多了解学生

你对学生的了解更有助于你的教学，特别是在初三总复习间断，及时了解每个学生的复习情况有助于你更好的制定复习计划和备下一堂课，也有利于你更好的改进教学方法。

《二次函数》的复习教学设计 篇5：

教材分析

本节课主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点（最低点），因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）.在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。

本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：

1、知识与技能

通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。

2、过程与方法

通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。

3、情感态度价值观

（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。

（2）在知识教学中体会数学知识的应用价值。

本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法”，教学难点是“如何将实际问题转化为二次函数的问题”。

实验研究：

作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面内容：

（一）、利用二次函数解决实际问题的易错点：

①题意不清，信息处理不当。

②选用哪种函数模型解题，判断不清。

③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。

④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。

（二）、解决问题的突破点：

①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。

②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。

③注意实际问题对自变量 取值范围的影响，进而对函数图象的影响。

④注意检验，养成良好的解题习惯。

因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。

教学目标

1.知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题。

2.过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

3.情感、态度与价值观：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力。

教学重点与难点

教学重点：寻求二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

教学难点：含参二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想的正确运用。

学生学情分析

我所代班级的学生是高一新生， 他们在初中已学过二次函数的简单性质与图像，知道二次函数在 二次函数最值教学设计时在顶点处取得最大值或最小值，在前几节课又学习了函数的概念与表示、单调性与最值的相关知识，已经具备了本节课学习必须的基础知识。

教法分析

根据教学实际，我将本节课设计为数学探究课，在探究的过程中，借助于多媒体教学手段，让学生观察几何画板中的动态演示，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值。同时为了配合多媒体的教学，准备了学案让学生配套使用。先让学生提前预习相关内容，对所要探究的`问题有初步的了解，再在课堂上详细的探究，课后在学案上有相应的课后作业题让学生巩固所学知识。

教学过程

（一）复习旧知

回忆二次函数的图像与性质：

1. 图像：

2. 定义域：

3. 单调性：

4. 最值：

设计意图复习旧知，引入新课。

（二）自主探究

探究1：定轴定区间最值问题

分别在下列范围内求函数f(x)=x2-2x-3的最值：

二次函数最值教学设计 二次函数最值教学设计

二次函数最值教学设计

规律总结：作出二次函数的图像，通过图像确定函数在给定区间上的最值。

设计意图

通过探究

1，让学生讨论探究定函数在定区间上最值的求解方法，并通过二次函数在闭区间上图像直观形象地观察、分析问题和解决问题。

（三）合作探究（含参二次函数最值求解问题 ）

探究2：动轴定区间最值问题

求函数f(x)=x2-2tx-3， t∈R在x∈[-2，2]上的最小值。

设计意图

通过探究2，让学生讨论探究动轴定区间上最小值的求解方法，并通过动态演示二次函数在闭区间上的图像，让学生直观形象地观察、分析问题和解决问题。

变式训练：求函数f(x)=x2-2tx-3在x∈[-2，2] ，t∈R上的最大值。

设计意图

通过变式训练，让学生进一步体会动轴定区间上最大值的求解方法，同时归纳出动轴定区间最值问题求解的一般规律。

规律总结：移动对称轴，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行进行分类讨论，

注意做到“不重不漏”。

探究3：定轴动区间最值问题

求函数f(x)=x2-2x-3在x∈[t，t+2]，t∈R的最小值。

设计意图让学生分组讨论探究3的求解方法，使学生体会运动的相对性，从而类比探究2的过程与方法可以制定出解决问题3的方法。

变式训练：求函数f(x)=-x2+2x-3在x∈[t，t+2]， t∈R的最大值。

设计意图

通过变式训练，让学生进一步体会定轴动区间上最大值的求解方法，同时归纳出定轴动区间最值问题求解的一般规律。

规律总结：移动区间，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行分类讨论，注意做到“不重不漏”。

（四）知识小结

本节课研究了二次函数的三类最值问题：

(1) 定轴定区间最值问题； (2) 动轴定区间最值问题； (3) 定轴动区间最值问题。

核心思想是判断对称轴与区间的相对位置， 应用数形结合、分类讨论思想求出最值。

设计意图

归纳总结二次函数问题在闭区间上最值的一般解法和规律，完成本节课知识的建构。

（五）结束语

数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休！

(六)课后作业

1.二次函数最值教学设计1.分别在下列范围内求二次函数f(x)=x2+4x-6的最值。

2. 求函数f(x)=x2+2tx+2，t∈R在x∈[-5，5]上的最值。

3. 求函数f(x)=x2-2x+2在x∈[t，t+1]， t∈R的最小值。

设计意图

学生应用探究所得知识解决相关问题，进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律。

数学《二次函数》优秀教案 篇6：

教学内容：

人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的。图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一。创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2. ①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二。归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，

那么，y叫做x的二次函数。

注意：(1)必须a≠0，否则就不是二次函数了。而b，c两数可以是零。(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数。

练习：

1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

《二次函数》的复习教学设计 篇7：

教学目标：

1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，

进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： （1）面积y (cm2)与圆的半径 x ( Cm )

(2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)

x

（一） 教师组织合作学习活动：

1、 先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx2 （2）y = (1+x)2 = 20000x2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c是常数， a≠0)的形式。

板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)

称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做

1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y?x (2) y??

2

2

12

y?2x?x?1 （4）y?x(1?x) (3) 2

x

（5）y?(x?1)?(x?1)(x?1)

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）y?x?1 （2）y?3x?7x?12 （3）y?2x(1?x) 3、若函数y?(m?1)x

2

m2?m

22

为二次函数，则m的值为 。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数 y?x?px?q当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数y?ax?bx?c ，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求： （1） y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

（2） 当x分别为，，，时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表

示。

22

H

C

F

A

E

B

方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如： 求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。 直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2

(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。 （4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。 练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数关系式。

4ac?b4a(2)当x=3时，矩形的面积为多少

?

四、归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获？

五、布置作业 课本作业题

二次函数的图像（1）

教学目标：

1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、

掌握型二次函数图像的特征；

4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点：

y?ax2型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳

教学难点：

选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识

前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即y?ax入手。因此本节课要讨论二次函数y?ax（a?0）的图像。 板书课题：二次函数y?ax（a?0）图像 二、探索图像

1、 用描点法画出二次函数 y?x和y??x图像 （1） 列表

①无论x取何值，对于y?x来说，y的值有什么特征？对于y??x来说，又有什么特征？ ②当x取？

1

,?1??等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？ 2

2

（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y?x和

y??x2的图像。

2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y?2x 和y??2x的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数y?ax（a?0）的图像 由上面的四个函数图像概括出：

（1） 二次函数的y?ax图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

（2） 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。 （4） 当a?o时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上

方(除顶点外)；当a?o时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。

（最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆）

三、课堂练习观察二次函数y?x和y??x的图像

(2)在同一坐标系内，抛物线y?x和抛物线y??x的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数y?ax和y??ax的图像怎样画更简便？

(抛物线y?x与抛物线y??x关于x轴对称，只要画出y?ax与y??ax中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画) 四、例题讲解

例题：已知二次函数y?ax（a?0）的图像经过点（-2，-3）。

（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。

初中数学二次函数教案 篇8：

教学目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学难点：求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、问题引新

1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

BC长(m) 12

面积y(m2) 48

的值是否可以任意取？有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少？ y=x(20-2x)

二、提出问题，解决问题

1、引导学生看书第二页 问题一、二

2、观察 概括

y=6x2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-x)2

以上 函数关系式有什么共同特点？ (都是含有二次项)

3、二次函数定义：形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。

4、课堂练习

(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y=5x+1 (2)y=4x2-1

(3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1

(2).P3练习第1，2题。

五、小结 叙述二次函数的定义。

六、作业：课本第14页 习题

七、板书

第二课时：　二次函数(2)

教学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。

教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象

教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。

教学过程：

一、问题引新

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么？

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、学习新知

1、 例1、画二次函数y=2x2 与y=2x2的图象。(有学生自己完成)

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

(2)描点 (3)连线

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y … 9 4 1 0 1 4 9 …

找一名学生板演画图

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？ (让学生观察，思考、讨论、交流，)

2、归纳：

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点坐标(0，0)

3、运用新知

(1).观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？

(2).课件出示：在同一直角坐标系中， y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较

(3).将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？(课件出示)

让学生观察y=x2、y=2x2的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______;在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______;当X=______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)。

四、课堂练习：练习册P 练习1、2、3、4。

五、作业： 1.画出函数y=1/2x2的图象？

2.写出函数y=ax2具有哪些性质？

第三课时：二次函数(3)

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax2+b性质探究的过程，理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。

教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象，理解二次函数y=ax2+b的性质，理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系。

教学难点：正确理解二次函数y=ax2+b的性质，理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系。

教学过程：

一、提出问题导入新课

1.二次函数y=2x2的图象具有哪些性质？

2.猜想二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？

二、学习新知

1、问题1：画出函数y=2x2和函数y=2x2+1的图象，并加以比较

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗？

同学试一试，教师点评。

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值(既y)之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0，1)。

师：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2x2+1的一些性质吗？

小组相互说说(一人记录，其余组员补充)

2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=1。

3、做一做

在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？

三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系？ 2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质？

四、作业： 在同一直角坐标系中，画出 (1)y=-2x2与y=-2x2-2;的图像

五：板书

第四课时　　二次函数(4)

教学目标：

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。

2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程，理解其性质，理解二次函数

y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。

重点：会用画出二次函数y=a(x-h)2的图象，理解其性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。

难点：理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系。

教学过程：

一、提出问题导入新课

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=-12x2，y=-12x2-1的图象，并回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？

二、学习新知

1、探究新知：学生画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象，并加以观察

教师巡视、指导。分组讨论，交流合作

2.、学生汇报：函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象，开口方向、对称轴和顶点坐标；函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象怎样平移得到的。

师：由函数y=2x2的性质总结函数y=2(x-1)2的性质

3.让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。

4、做一做

在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗？

让学生讨论、交流，举手发言，归纳：在y=2(x+1)2中，当x<-1时，函数值y随x的增大而减小；当x>-1时，函数值y随x的增大而增大；当x=一1时，函数取得最小值，最小值y=0。

4、课堂练习：　P11练习1、2、3。

三、小结：谈谈本节课的收获和体会。

四、作业

习题 1(2)。

五、板书

第五课时　　二次函数(5)

教学目标：

1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程，理解函数y=a(x-h)2+k的性质。

重点：，理解函数y=a(x-h)2+k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系，

难点：正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质

一、提出问题导入新课

1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？

(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系？函数y=2(x-1)2+1有哪些性质？这就是本节要学习得内容。

二、学习新知

1、画图：在同一直角坐标系中画出函数y=2(x-1)2与y=2x2 y=2(x-1)2+1的图象，看看它们之间有何的关系？ 在学生画函数图象时，教师巡视指导；

出示例3：你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质？

教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，

函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x<1时，函数值y随x的增大而减小，当x>1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

2：出示4 (P10)

3、课堂练习：不画图像说说函数y=2(x-1)2-2与y=2(x-1)2的异同点

三、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

2.谈谈你的学习体会。

四、作业：

1.巳知函数y=-12x2、y=-12x2-1和y=-12(x+1)2-1

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=-12x2得到抛物线y=-12x2-1和抛物线y=12(x+1)2-1;

思考：函数y=2(x-1)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？

五、板书：

第六课时　　二次函数(6)

教学目标：

1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。

重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。

难点：理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-b2a、(-b2a，4ac-b24a)是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题导入新课

1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质？

2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系？

3.不画出图象，你能直接说出函数y=-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？通过今天的学习你就明白了

二、学习新知

1、 思考： 像函数 y=-4(x-2)2+1很容易说出图像的顶点坐标，函数y=-1/2x2-6x+21能画成y=a(x-h)2+k 这样的形式吗？

2、 师生合作探索： y=-1/2x2-6x+21 变成 y=a(x-h)2+k的`过程

3、做一做

(1). 通过配方变形，说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

在学生做题时，教师巡视、指导； 让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果：

y=ax2+bx+c(配方变形的过程略)

当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

对称轴是x=-b/2a，顶点坐标是(-b2a，4ac-b24a)

(2)、　P12练习第1、2、3、4题

4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)

5、练一练 P13练习第1、2

三、小结：　通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

四、作业：

1.填空：

(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;

(2)抛物线y=2x2-2x-52的开口_______，对称轴是_______;

(3)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=_______.

2.画出函数y=2x2-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x

(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=12x2-4x+3

4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质

五：板书

第七课时　用函数的观点看一元二次方程(1)

教学目标：

1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

3.进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。.

教学过程：

一、引导学生看书16页 导入新课

像书中这样的问题，我们常常会遇到，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，我和同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题，学习新知

1、问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是

y=-x2+2x+45。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？

(2)如果不计其他的因素，那么水�

2、出示例题：画出函数y=x2-x-34的图象。 如图(4)所示。

教师引导学生观察函数图象，得到图象与x轴交点的坐标分别是(-12，0)和(32，0)。

让学生完成解答。教师巡视指导并讲评。

教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，从“形”的方面看，函数y=x2-x-34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2-x-34=0的解；从“数”的方面看，当二次函数y=x2-x-34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2-x-34=0的解。更一般地，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

3、应用新知

根据图(4)象回答下列问题。

(1)当x取何值时，y<0?当x取何值时y>0，?

(当-1232时，y>0)

y<0 即x2-x-34<0的解集是什么？ y>0 即x2-x-34>0的解集是什么？)

想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？

让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流：

(1)从“形”的方面看，二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标。即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。

(2)从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。

三、小结：

1.通过本节课的学习，你有什么收获？有什么困惑？

2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程

ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。

四、作业：

1. 二次函数y=x2-3x-18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。

2.已知函数y=x2-x-2。

(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象

(2)观察图象确定：x取什么值时，①y=0，②y>0;③y<0。

五、板书：

第八课时：　用函数的观点看一元二次方程(2)

教学目标：

1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。

2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程，掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。

3.提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。

难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。

教学过程：

一、复习巩固 导入新课

1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解？

2.画出函数y=2x2-3x-2的图象，求方程2x2-3x-2=0的解。

学生练习的同时，教师巡视指导，根据学生情况进行讲评。 (解：略)

二、探索问题 学习新知

1、问题1：初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2=12x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2-12x-3=0，画出函数y=x2-12x-3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和y=12x+2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标-32和2就是原方程的解。

思考：

(1). 这两种解法的结果一样吗？ 小刘解法的理由是什么？

(让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。)

(2).函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？

(3)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗？

(4).如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点，一元二次方程x2=bx+c的解怎样？

2、做一做(验证一下问题1的思路是否正确)

利用图像解下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。

(1)x2+x-1=0(精确到); (2)2x2-3x-2=0。

注意：①要把(1)的方程转化为x2=-x+1，画函数y=x2和y=-x+1的图象；

②要把(2)的方程转化为x2=32x+1，画函数y=x2和y=32x+1的图象；

3、运用新知

已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3，4m)。

(1)求这两个函数的关系式；

(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。

解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2=mx+1上，所以有4m=3m+1，解得m=1

所以y1=x+1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上，所以有

4=18-24+k+8 解得 k=2 所以y1=2x2-8x+10

(2)依题意，得y=x+1y=2x2-8x+10 解这个方程组，得x1=3y1=4 ，x2==

所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(，)。

三、小结： 1.如何用画函数图象的方法求方程韵解？

2.你能根据方程组：y=x2y=bx+c的解的情况，来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗？请说说你的看法。

四、作业：

1. 利用函数的图象求下列方程的解：

(1)x2+x-6=0;， (2) y=x2+xy=5x-4

2.填空。

(1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。

(2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______。

4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。

(1)求抛物线的关系式；

(2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标。

五、板书：

第九课时　　实际问题与二次函数

教学目标：

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，应用函数的性质解答数学问题

难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，

教学过程：

一、复习旧知 导入新课

1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=6x2+12x; (2)y=-4x2+8x-10

以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。

二、学习新知

1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题

出示例1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？

解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30-L)m，由于L>0，且30-L>O，所以O

围成的矩形面积S与L的函数关系式是

S=L(30-L)

即S=-L2+30L

(有学生自己完成，老师点评)

2、引导学生自学P23页例2 质疑 点评

3、练一练：

(1)、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

请同学们完成解答； 教师巡视、指导； 师生共同完成解答过程：

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。

商品每天的利润y与x的函数关系式是： y=(10-x-8)(100+1OOx)

即y=-1OOx2+1OOx+200 配方得y=-100(x-12)2+225

因为x=12时，满足0≤x≤2。 所以当x=12时，函数取得最大值，最大值y=225。

所以将这种商品的售价降低元时，能使销售利润最大。

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：

(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围；

(3)研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：

(5)解决提出的实际问题。

4、综合练习：P26 习题第1、2、3题。

三、小结：　1.通过本节课的学习，你学到了什么知识？存在哪些困惑？

2.谈谈你的收获和体会。

四、作业：

1.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大？

2.填空：

(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时，自变量x的值是______;

(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，那么m的值是______。

3.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。

(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？

(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论？

选做题：用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

五、板书

第十课时实际问题与二次函数

教学目标：

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点：根据实际问题建立二次函数不同的数学模型，应用函数的性质解答数学问题

难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，

教学过程：

一、复习旧知 导入新课

(1)建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+52x+32，请回答下列问题：

(1)花形柱子OA的高度；

(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？

(2).如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=-15x2+

二、学习新知

1、引导学生自学P24页例2(既探究2) 质疑 点评

出示例3 P25 引导学生应用不同的方法去构建数学模型

重点讲解例3

2、练一练：

(1).如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

三、小结：

1.通过本节课的学习，你学到了什么知识？存在哪些困惑？

2.谈谈你的收获和体会。

四、作业：

一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB=时，涵洞顶点与水面的距离为。这时，离开水面处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?

五、板书

第十一课时《二次函数》小结与复习1

教学目标：

1、 理解二次函数的概念，掌握二次函数y=ax2的图象与性质；

2、 会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向；

3、 能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。

重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，由图象概括二次函数y=ax2图象的性质。

难点：二次函数图象的平移。

教学过程：

一、结合例题，强化练习，梳理知识点

1.二次函数的概念，二次函数y=ax2 (a≠0)的图象性质。

例1：已知函数 是关于x的二次函数，

求：(1)满足条件的m值；

(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点。这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)m为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？

学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。

抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。

2.强化练习；已知函数 是二次函数，其图象开口方向向下，则m=_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。

3.用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，

例2：用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y=-3x2。

学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。

4.教师归纳点评：

(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系： y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a

(2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。

5.综合应用。

例3：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；

(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

6. 强化练习：

(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y=x2-2x+1，求：b与c的值。

(2)通过配方，求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标再画出图象。

(3)函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1，b)，求：

a和b的值

抛物线y=ax2的顶点和对称轴；

x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大，

求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

二、课堂小结

1.让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。

三、作业：

填空。

1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点，则m=______。

2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2，b)，则k=______，b=______。

3.抛物线y=-13(x-1)2+2可以由抛物线y=-13x2向______方向平移______个单位，再向______方向平移______个单位得到。

4.用配方法把y=-12x2+x-52化为y=a(x-h)2+k的形式为y=_____，其开口方向______，对称轴为______，顶点坐标为______。

第十二课时《二次函数》小结与复习2

教学目标：

1、 会用待定系数法求二次函数的解析式，

2、 能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，

3、 能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。

重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。

难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。

教学过程：

一、结合例题，强化练习，梳理知识点

1、用待定系数法确定二次函数解析式。

例1：根据下列条件，求出二次函数的解析式。

(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0，1)，(1，3)，(-1，1)三点。

(2)抛物线顶点P(-1，-8)，且过点A(0，-6)。

(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3，0)，(2，-3)两点，并且以x=1为对称轴。

(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。

学生活动：学生讨论，四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。分组完成，点评解题要点。

教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)

(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

2、强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。

(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；

(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。

二、综合练习

1、出示例2：如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标，

(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。

学生活动：学生小组讨论交流。

教师归纳：

2、 强化练习；已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。

(1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。

(2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。

(3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。

三、课堂小结

同位同学相互说说二次函数有哪些性质

归纳二次函数三种解析式的实际应用。

四、作业：

一、填空。

1. 如果一条抛物线的形状与y=-13x2+2的形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，则它的解析式是_____。

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且过(3，0)，则a+b+c=______。

二、选择。

1.如图(1)，二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，则下列结论成立的是( )

>0，bc>0 B. a<0，bc<0 C. a>O，bc0

2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示，那么函数解析式为( )

=-x2+2x+3 B. y=x2-2x-3

=-x2-2x+3 D. y=-x2-2x-3

3.若二次函数y=ax2+c，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为( )

+c B. a-c C.-c D. c

4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示，下列结论中： ①abc>0，②b=2a;③a+b+c<0，④a-b+c>0，正确的个数是( )

个 个 C. 2个 个

三、解答题。

已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。

(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点，

(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB，以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)

(3)设△ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。