怎么证明勾股定理通用5篇

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常见勾股定理的证明方法有哪些【第一篇】

勾股定理数学多种证明方法论文

在同学们整个中学的学习生活和实际生活中，我们都会遇到有关直角三角形的计算和测量，那就是勾股定理的运用。我们老师不仅要教会同学们学会勾股定理数学文化知识，更重要的是要让我同学们在日常生活中去灵活运用以及有关它存在的各种数学模型中。还要能感受我们今天的学习都是古代数学家们经过大量的实践与证明的得到的东西，探索数学知识从无到有的文化。勾股定理的发现与证明都是十分精彩的，在历史长河中，勾股定理是全世界人的伟大发现。

今天我们教科书上的多种证明，在此一一列举出来，可能对同学们学习数学以及培养数学兴趣有所帮助。并在今后的学习中铺平道路，对勾股定理有趣的文化有一个更加深刻的认识。

一、勾股世界

我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国最古老的数学经典著作《周髀算经》上记载着这样一段历史：西周开国之初（约公元前一千多年）有一个叫商高的数学家对周公（周武王的弟弟，封在鲁国当诸候）说：把一根直尺折成直角，两端连结起来构成一个直角三角形。它的短直角边称为勾，长直角边称为股，斜边称为弦。发现如勾为3，股为4，那么弦必为5。这就是勾股定理，又称商高定理。

在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家毕达哥拉斯也发现这一定理，并给出了证明，但他的证明也已失传。后来欧几里得写《几何原本》时，给出一个证明留传至今（后文我们再补充，丰富同学们的视野）。因而西方称这一定理为毕达哥拉斯定理。这一定理在数学上有广泛的应用，而且工程技术，测量中也有许多应用。它在人类文明史上有重要的地位。

而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明了勾股定理。他这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系（与我们今天教科书上一些证明方法的大致类似）。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

二、勾股定理的多种证明方法（以教科书编排为序）：

第一种证明：教科书P3，通过直接数出正方形A、B、C的小方格数，将不足一格的方格算半个。结果来看它们之间的关系。小方格数即为面积。由此方法可以得出正方形A、B的面积与正方形C的面积相等。

第二种证明：教科书P8，如图所示：

分析：正方形EFGH的面积=正方形ABCD-周围四个小三角形的面积。

计算：正方形ABCD边长为a+b，则面积为（a+b）2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：（a+b）2-4？a2+b2而正方形EFGH的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2

第三种证明：教科书P8，如图所示：

分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周围的四个小三角形的面积。

计算：正方形EFGH的边长为b-a，则面积为（b-a）2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：（b-a）2+4祝ǎ？a2+b2，而正方形ABCD的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2

这里验证勾股定理的方法，据载最早是由三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。我国历史上将图中弦上的正方形称为弦图。这也是世界数学家大会（ICM-）在北京召开的会标。如右图所示中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！

第四种证明：教科书P11，是美国总统Garfield（伽菲尔德总统）于1876年给出的一种验证勾股定理的办法。整个事情经过是这样的：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是，伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

如图所示：

分析：四边形ABED是直角梯形，可通过求梯形的面积减掉两个小三角形的面积而得出△ACB的面积。

计算：由梯形面积公式得梯形面积为[（a+b）祝╝+b）]？，△ADC与△BEC的面积和为：ab，所以△ACB的面积=梯形的面积-△ADC与△BEC的面积和，代入以上数据进行化简得：，由图中可知△ACB的面积也可以表示为。因此=，最后得出：a2+b2=c2

第五种证明：教科书P13，是历史上有名的“青朱出入图”如图所示。刘徽在他的《九章算术注》中给出了注解，大意是：△ABC直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方，以盈补虚，将朱、青二方并成弦方。依其面积关系有2+b2=c2。“青朱出入图不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，真是“无字证明”！

第六种证明：教科书P15-16，

意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究。他的验证勾股定理的方法可以从下面的实验中得到体现。

（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b正方形，并连接BC、FE（如图①示）。

（2）沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的`纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②所示。

（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图③所示的图形。

（4）比较图①，图③中两个多边形ABCEEF和A’B’C’D’E’F’的面积，发现两个的面积是一样的。就能得出勾股定理的存在。

本种证明补充说明一下：同样两个纸板翻了下，就能证明，很明显，原图中剪掉的两个小三角形面积都在，翻一下只不过将剪掉的两个小正方形合并为一个正方形了，从而得出勾股定理的存在。

第七种证明：教科书P16，也是“无字证明”如图所示，过较大正方形的中心，作两条互垂直的线，将其分成4份，然后，将这四个部分围在四周，小正方形填在中间，恰好得到大正方形。

第八种证明（书本上没有列出）：

欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证，证明过程如图所示：

证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90埃訟B、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。连接DC、AJ。过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC，因此它们的面积相等。而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积，长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积。因此，正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积。同理可得正方形ACGF的面积=长方形CMNH的面积。从而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。

三、结束语

通过以上的八种证明方法，相信同学们对于勾股定理会铭记在心，使这个烙印永远烙在心底，为数学的学习树立更为坚定的信心，为明天的学习奠定更为坚实的基础，为心中的理想目标迈出成功的一步。让这次洗礼成为中学学习生活中最为难忘的一堂课，而且在今后的运用中会更加得心应手，我也相信你们会向古代数学家们一样，遇到问题会去探索、发现、归纳和概括。

勾股定理的证明方法【第二篇】

勾股定理的证明方法

。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

的平方=3的平方+4的平方

在图一中，dabc为一直角三角形，其中ða为直角。我们在边ab、bc和ac之上分别画上三个正方形abfg、bced和ackh。过a点画一直线al使其垂直於de并交de於l，交bc於m。不难证明，dfbc全等於dabd（）。所以正方形abfg的面积=2´dfbc的面积=2´dabd的面积=长方形bmld的面积。类似地，正方形ackh的面积=长方形mcel的面积。即正方形bced的面积=正方形abfg的面积+正方形ackh的面积，亦即是ab2+ac2=bc2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ml将正方形分成bmld和mcel的两个部分！

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得(euclidofalexandria)约生於公元前325年，卒於约公元前265年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为c，其余两边的长度为a和b，则由於大正方形的面积应该等於4个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

(a+b)2=4(1/2ab)+c2

展开得a2+2ab+b2=2ab+c2

化简得a2+b2=c2

由此得知勾股定理成立。

证明勾股定理的方法【第三篇】

勾股定理：在Rt△ABC中，AB⊥AC，则：AB^2+AC^2=BC^2。该定理有不同的证明方法，现用一种方法证明如下：如图作4个与Rt△ABC全等的三角形。不失一般性地设AB>AC。很明显，4个直角三角形的`面积+小正方形的面积=大正方形的面积。 ∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2，∴2AB×AC+AB^2-2AB×AC+AC^2=BC^2， ∴AB^2+AC^2=BC^2。 特别地，当AB=AC时，看成小正方形的面积为0，得：2AB×AC=BC^2，改写一下就有：AB×AC+AB×AC=BC^2，得：AB^2+AC^2=BC^2。 [说明：当Ac>AB时，将上述证明过程中的字母B、C调换一下就可以了。] 4

满意答案

最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

下图是H.珀里加尔(Perigal)在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra(826～901)已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼(Dudeney)在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

下图的证明方法，据说是L•达•芬奇(da Vinci, 1452～1519)设计的，用的是相减全等的证明法。

欧几里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

同理，(BC)2=KEBL

勾股定理的证明方法【第四篇】

勾股定理的证明方法

绪论

勾股定理是世界上应用最广泛，历史最悠久，研究最深入的定理之一，是数学、几何中的重要且基本的工具。而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。

第一节 勾股定理的基本内容

文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。 数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2 事实上，它是余弦定理之一种特殊形式。

第二节勾股定理的证明

欧洲

在欧洲，相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。

欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得《几何原本》。

毕达哥拉斯的证明方法（相传）：

一说采用拼图法，一说采用定理法。

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。

a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ，整理即可得到。

定理法就是几何原本当中的证法：

设△abc为一直角三角形，其中a为直角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。形。

中国

《周髀算经》、《九章算术》当中都有相关问题的记载。

周髀算经的证明方法：

“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。”——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。 赵爽弦图或许是中国人最著名的一种证法。

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则

面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2 = c2;

化简后便可得：

a2 + b2= c2

亦即：

c=（a2 + b2）

可见，中国古人主要采取拼图法进行证明。后来美国总统加菲尔德也曾采用拼图法，利用面积巧妙的证明了勾股定理，他用了两个全等的直角三角形拼成一个梯形，利用面积法进行证明，非常巧妙。

其他方法

最快：射影定理法，利用相似形来证明。

面积思想：利用三角形五心的性质，利用面积来证明。

综上所述，勾股定理的证明是人类智慧的结晶。

证明勾股定理的方法【第五篇】

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

c/b=b/m，

c/a=a/n,

cm=b2

两边相加得

a2+b2=c(m+n)=c2

这个证明，在十七世纪又由英国数学家J.沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A.林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统加菲尔德(Garfield, 1831～1888)，他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得

即

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2