实用勾股定理的证明方法(参考4篇)

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勾股定理的证明方法1

数学证明题证明方法(转)

2011-04-22 21:36:39|分类:|标签: |字号大中小 订阅

2011/04/2

2从命题的题设出发,经过逐步推理,来判断命题的结论是否正确的过程,叫做证明。

要证明一个命题是真命题,就是证明凡符合题设的所有情况,都能得出结论。要证明一个命题是假命题,只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题,一般步骤如下:

(1)按照题意画出图形;

(2)分清命题的条件的结论,结合徒刑,在“已知”一项中写出题设,在“求证”一项中写出结论;

(3)在“证明”一项中,写出全部推理过程。

一、直接证明

1、综合法

(1)定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。(2)综合法的特点:综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”。它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发,通过推导得出结论。2、分析法

(1)定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法。(2)分析法的特点:分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”。它是要证明结论成立,逐步寻求推证过程中,使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。二、间接证明

反证法

1、定义:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。2、反证法的特点:

反证法是间接证明的一种基本方法。它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、★★公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的。3、反证法的优点:

对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件。4反证法主要适用于以下两种情形:

(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;

(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形

勾股定理的证明方法2

勾股定理证明方法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。

中国古代对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?" 商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩得到的一条直角边‘勾等于3,另一条直角边’股等于4的时候,那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就

总结

出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在《九章算术》一书中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就,共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法,列为九章,可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。

上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2;

中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。

于是便可得如下的式子:

4×(ab/2)+(b-a)2=c

2化简后便可得: a2+b2=c2

在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加

刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题。

1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。

勾股定理的证明方法3

证法1(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使d、e、f在一条直线上。过c作ac的延长线交df于点p.∵d、e、f在一条直线上,且rtδgef≌rtδebd,∴∠egf=∠bed,∵∠egf+∠gef=90°,∴∠bed+∠gef=90°,∴∠beg=180º―90º=90º.又∵ab=be=eg=ga=c,∴abeg是一个边长为c的正方形。∴∠abc+∠cbe=90º.∵rtδabc≌rtδebd,∴∠abc=∠ebd.∴∠ebd+∠cbe=90º.即∠cbd=90º.又∵∠bde=90º,∠bcp=90º,bc=bd=a.∴bdpc是一个边长为a的正方形。同理,hpfg是一个边长为b的正方形。设多边形ghcbe的面积为s,则,∴.证法2(项明达证明)

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形,使e、a、c三点在一条直线上。过点q作qp‖bc,交ac于点p.过点b作bm⊥pq,垂足为m;再过点

f作fn⊥pq,垂足为n.∵∠bca=90º,qp‖bc,∴∠mpc=90º,∵bm⊥pq,∴∠bmp=90º,∴bcpm是一个矩形,即∠mbc=90º.∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º,∠abc+∠mba=∠mbc=90º,∴∠qbm=∠abc,又∵∠bmp=90º,∠bca=90º,bq=ba=c,∴rtδbmq≌rtδbca.同理可证rtδqnf≌rtδaef.证法3(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形。分别以cf,ae为边长做正方形fcji和aeig,∵ef=df-de=b-a,ei=b,∴fi=a,∴g,i,j在同一直线上,∵cj=cf=a,cb=cd=c,∠cjb=∠cfd=90º,∴rtδcjb≌rtδcfd,同理,rtδabg≌rtδade,∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade

∴∠abg=∠bcj,∵∠bcj+∠cbj=90º,∴∠abg+∠cbj=90º,∵∠abc=90º,∴g,b,i,j在同一直线上,证法4(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使h、c、b三点在一条直线上,连结

bf、cd.过c作cl⊥de,交ab于点m,交de于点

l.∵af=ac,ab=ad,∠fab=∠gad,∴δfab≌δgad,∵δfab的面积等于,δgad的面积等于矩形adlm的面积的一半,∴矩形adlm的面积=.同理可证,矩形mleb的面积=.∵正方形adeb的面积

=矩形adlm的面积+矩形mleb的面积

∴,即。勾股定理的别名

勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三,股修四,经隅五”,其意为,在直角三角形中“勾三,股四,弦五”。因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

勾股定理的证明方法4

直接证明与间接证明bca案

主备人:史玉亮 审核人:吴秉政使用时间:2012年2-1

1学习目标:

1.了解直接证明的两种基本方法,即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。

2.了解综合法和分析法的思考过程与特点,并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤,思维过程及特点。

重点:

1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。

2.命题时多以考查综合法为主,选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

b案

一、直接证明

1.定义:直接证明是从___________或___________出发的,根据已知的_________、________________,直接推证结论的真实性。

2.直接证明的方法:______________与________________。

二、综合法

1.定义:综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说,综合法 从__________除法,经过逐步的___________,最后达到_______________。

 

 „ 

三、

分析法

1.定义:分析法是从__________追溯到__________的思维方法,具体地说,分析法是从________出发,一步一步寻

求结论成立的____________,最后达到

_________或__________。

  „ 

四、反证法的定义

由证明pq转向证明prt,t与_________矛盾,或与某个________矛盾,从而判定_________,推出___________的方法,叫做反证法。

预习检测:

1.已知|x|<1,|y|<1,下列各式成立的是()

a.|xy||xy|≥1xyd.|x||y|

ln2ln3ln5,b,c,则()23

bbaac 2.若a

3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()

a.有两个内角是直角

b.有三个内角是直角

c.至少有两个内角是直角

d.没有一个内角是直角

bcd的必要不充分条件是()

c且bc或bd

5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为()

a.自然数a,b,c都是奇数b.自然数a,b,c都是偶数

c.自然数a,b,c中至少有两个是偶数d.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

6.已知a是整数,a2为偶数,求证:a也是偶数。

c案

一、综合法

例1求证:12

3log19log1919

253log2

2.已知n是大于1的自然数,求证:log(n1)log(n2)

n(n1)

二、分析法

例2.求证

2变式突破: 已知a,b,c表示三角形的三边,m0,求证:

三、反证法:

例3.(1)证明:2不是有理数。

变式突破:若a、b、c均为实数,且ax2y

求证:a、b、c中至少有一个大于 ambmcm2,by22z3,cz22x6.当堂检测:

1.“x

0”是“0”成立的()

a.充分非必要条件 b.必要非充分条件 c.非充分非必要条件 d.充要条件

2.设alog54,b(log53)2,clog45,则()

ccbac

3.设x,y,zr,ax111,by,cz,则a,b,c三数()yzx

a.至少有一个不大于2b.都小于2c.至少有一个不小于2d.都大于

22224.若下列方程:x4ax4a30,x(a1)xa0,x2ax2a0至少有2

一个方程有实根,试求实数a的取值范围。

a案

、b为△abc的内角,∠a>∠b是sinasinb的()

a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件

2.若向量a(x,3)(xr),则“x4”是“|a|5”的()

a.充分不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件d.既不充分又不必要条件

3.已知数列{an}为等比数列,sn是它的前n项的和,若a2a32a1且a4与2a7的等差中项为5,则s5=()

44.定义在r上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x,yr),f(1)2,则f(2)等于()

5.分析法证明问题是从所证命题的结论出发,寻求使这个结论成立的()

a.充分条件b.必要条件c.重要条件d.既非充分条件又非必要条件

6.下面四个不等式:①abc≥abbcca;②a(1a)≤2221ba;③≥2; 4ab

④(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2,其中恒成立有()个 个 个 个

7.若x,y0且xy2,则1y1x1y1x和的值满足()a.和的中至少xxyy

有一个小于y1x1y1x和都小于2c.和都大于2d.不确定 xxyy

8.已知、为实数,给出下列三个论断:

①0;②||

5;③|||个论断为结论,写出你认为正确的命题是______________。

9.设a0,b0,c0,若abc1,则

111≥______________。abc

71 565574
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