实用勾股定理的证明方法（参考4篇）

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勾股定理的证明方法1

数学证明题证明方法（转）

2011-04-22 21:36:39|分类：|标签： |字号大中小 订阅

2011/04/2

2从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程，叫做证明。

要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题，一般步骤如下：

（1）按照题意画出图形；

（2）分清命题的条件的结论，结合徒刑，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论；

（3）在“证明”一项中，写出全部推理过程。

一、直接证明

1、综合法

（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”。它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论。2、分析法

（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法。（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”。它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。二、间接证明

反证法

1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2、反证法的特点：

反证法是间接证明的一种基本方法。它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、★★公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的。３、反证法的优点：

对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件。４反证法主要适用于以下两种情形：

（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形

勾股定理的证明方法2

勾股定理证明方法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩得到的一条直角边‘勾等于3，另一条直角边’股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就

总结

出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2；

中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化简后便可得： a2+b2=c2

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加

刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

勾股定理的证明方法3

证法1(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上。过c作ac的延长线交df于点p.∵d、e、f在一条直线上，且rtδgef≌rtδebd，∴∠egf=∠bed，∵∠egf+∠gef=90°，∴∠bed+∠gef=90°，∴∠beg=180º―90º=90º.又∵ab=be=eg=ga=c，∴abeg是一个边长为c的正方形。∴∠abc+∠cbe=90º.∵rtδabc≌rtδebd，∴∠abc=∠ebd.∴∠ebd+∠cbe=90º.即∠cbd=90º.又∵∠bde=90º，∠bcp=90º，bc=bd=a.∴bdpc是一个边长为a的正方形。同理，hpfg是一个边长为b的正方形。设多边形ghcbe的面积为s，则，∴.证法2(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上。过点q作qp‖bc，交ac于点p.过点b作bm⊥pq，垂足为m;再过点

f作fn⊥pq，垂足为n.∵∠bca=90º，qp‖bc，∴∠mpc=90º，∵bm⊥pq，∴∠bmp=90º，∴bcpm是一个矩形，即∠mbc=90º.∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º，∠abc+∠mba=∠mbc=90º，∴∠qbm=∠abc，又∵∠bmp=90º，∠bca=90º，bq=ba=c，∴rtδbmq≌rtδbca.同理可证rtδqnf≌rtδaef.证法3(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形。分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，∵ef=df-de=b-a，ei=b，∴fi=a，∴g,i,j在同一直线上，∵cj=cf=a，cb=cd=c，∠cjb=∠cfd=90º，∴rtδcjb≌rtδcfd，同理，rtδabg≌rtδade，∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade

∴∠abg=∠bcj，∵∠bcj+∠cbj=90º，∴∠abg+∠cbj=90º，∵∠abc=90º，∴g,b,i,j在同一直线上，证法4(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结

bf、cd.过c作cl⊥de，交ab于点m，交de于点

l.∵af=ac，ab=ad，∠fab=∠gad，∴δfab≌δgad，∵δfab的面积等于，δgad的面积等于矩形adlm的面积的一半，∴矩形adlm的面积=.同理可证，矩形mleb的面积=.∵正方形adeb的面积

=矩形adlm的面积+矩形mleb的面积

∴，即。勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”。因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

勾股定理的证明方法4

直接证明与间接证明bca案

主备人：史玉亮 审核人：吴秉政使用时间：2012年2-1

1学习目标：

1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。

2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。

重点：

1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。

2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

b案

一、直接证明

1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。

2.直接证明的方法：______________与________________。

二、综合法

1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说，综合法 从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。

 

 „ 

三、

分析法

1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻

求结论成立的____________，最后达到

_________或__________。



  „ 

四、反证法的定义

由证明pq转向证明prt,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出___________的方法，叫做反证法。

预习检测：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

a.|xy||xy|≥1xyd.|x||y|

ln2ln3ln5,b,c，则（）23

bbaac 2.若a

3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

a.有两个内角是直角

b.有三个内角是直角

c.至少有两个内角是直角

d.没有一个内角是直角

bcd的必要不充分条件是（）

c且bc或bd

5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为（）

a.自然数a,b,c都是奇数b.自然数a,b,c都是偶数

c.自然数a,b,c中至少有两个是偶数d.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

6.已知a是整数，a2为偶数，求证：a也是偶数。

c案

一、综合法

例1求证：12

3log19log1919

253log2

2.已知n是大于1的自然数，求证：log(n1)log(n2)

n(n1)

二、分析法

例2．求证

2变式突破： 已知a,b,c表示三角形的三边，m0,求证：

三、反证法：

例3．（1）证明：2不是有理数。

变式突破：若a、b、c均为实数，且ax2y

求证：a、b、c中至少有一个大于 ambmcm2,by22z3,cz22x6.当堂检测：

1.“x

0”是“0”成立的（）

a.充分非必要条件 b.必要非充分条件 c.非充分非必要条件 d.充要条件

2.设alog54，b(log53)2，clog45，则（）

ccbac

3.设x,y,zr，ax111,by,cz，则a,b,c三数（）yzx

a.至少有一个不大于2b.都小于2c.至少有一个不小于2d.都大于

22224.若下列方程：x4ax4a30,x(a1)xa0，x2ax2a0至少有2

一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

a案

、b为△abc的内角，∠a＞∠b是sinasinb的（）

a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件

2.若向量a(x,3)(xr)，则“x4”是“|a|5”的（）

a.充分不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件d.既不充分又不必要条件

3.已知数列{an}为等比数列，sn是它的前n项的和，若a2a32a1且a4与2a7的等差中项为5，则s5=（）

44.定义在r上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x,yr)，f(1)2，则f(2)等于（）

5.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的（）

a.充分条件b.必要条件c.重要条件d.既非充分条件又非必要条件

6.下面四个不等式：①abc≥abbcca；②a(1a)≤2221ba；③≥2； 4ab

④(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2，其中恒成立有（）个 个 个 个

7.若x,y0且xy2，则1y1x1y1x和的值满足（）a.和的中至少xxyy

有一个小于y1x1y1x和都小于2c.和都大于2d.不确定 xxyy

8.已知、为实数，给出下列三个论断：

①0；②||

5；③|||个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。

9.设a0,b0,c0，若abc1，则

111≥______________。abc