高一数学必修一函数图像知识点总结（32篇）

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇5

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

(7)函数总是通过(0，1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性

定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。

(6)显然幂函数无界。

定义：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

范围：

倾斜角的取值范围是0°≤α0时α∈(0°，90°)

k2}，{x|x—3>2}

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

Venn图：

4、集合的分类：

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇6

集合的运算

运算类型交 集并 集补 集

定义域 R定义域 R

值域＞0值域＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

（3）对于指数函数 ，总有 ；

二、对数函数

（一）对数

1.对数的概念：

一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意对数的书写格式.

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数 ；

○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 .

指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ N ＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 ＋ ；

○2 － ；

○3 .

注意：换底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）.

利用换底公式推导下面的结论：（1） ；（2） .

（3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、 ， ③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

○2 对数函数对底数的限制： ，且 .

2、对数函数的性质：

a>100，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

指数函数

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

(7)函数总是通过(0，1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性

定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇7

【(一)、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.

【(二)、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的.定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母不得为零;

②偶次方根的被开方数不小于零;

③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

【(三)、函数的值域与最值】

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

【(四)、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;

(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数。

【(五)、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>(或x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.

6、证明函数的单调性的方法

(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或0，则f(x)为增函数;如果f′(x)0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求证：f(0)=1;

②求证：y=f(x)是偶函数;

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.

③分别用(c>0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇8

集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

A?① 任何一个集合是它本身的子集。A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A

C?C ,那么 A?B, B?③如果 A

A 那么A=B?B 同时 B?④ 如果A

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即 )，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

A}?S且 x? x?记作： CSA 即 CSA ={x

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

(3)性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇9

1.函数知识：基本初等函数性质的考查，以导数知识为背景的函数问题;以向量知识为背景的函数问题;从具体函数的考查转向抽象函数考查;从重结果考查转向重过程考查;从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。

2.向量知识：向量具有数与形的双重性，高考中向量试题的命题趋向：考查平面向量的基本概念和运算律;考查平面向量的坐标运算;考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题。

3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解，是不等式命题的新取向。高考中不等式试题的命题趋向：基本的线性规划问题为必考内容，不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二交函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高;解不等式的试题，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起。考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

4.立体几何知识：20__年已经变得简单，20__年难度依然不大，基本的三视图的考查难点不大，以及球与几何体的组合体，涉及切，接的问题，线面垂直、平行位置关系的考查，已经线面角，面面角和几何体的体积计算等问题，都是重点考查内容。

5.解析几何知识：小题主要涉及圆锥曲线方程，和直线与圆的位置关系，以及圆锥曲线几何性质的考查，极坐标下的解析几何知识，解答题主要考查直线和圆的知识，直线与圆锥曲线的知识，涉及圆锥曲线方程，直线与圆锥曲线方程联立，定点，定值，范围的考查，考试的难度降低。

6.导数知识：导数的考查还是以理科19题，文科20题的形式给出，从常见函数入手，导数工具作用(切线和单调性)的考查，综合性强，能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起，考查转化与化归能力，但今年的难点整体偏低。

7.开放型创新题：答案不，或是逻辑推理题，以及解答题中的开放型试题的考查，都是重点，理科13，文科14题。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇10

【—正比例函数公式】正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数的性质

定义域：R(实数集)

值域：R(实数集)

奇偶性：奇函数

单调性：

当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数;

当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。

周期性：不是周期函数。

对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。

正比例函数图像的作法

1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;

2、根据第一步求的x、y的值描出点;

3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇11

【（一）、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。

（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。

（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数。

3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域。

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。

②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算。

【（二）、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：

（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；

（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。

（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。

已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。

2、求函数的解析式一般有四种情况

（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。

（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。

（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。

（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（—x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。

【（三）、函数的值域与最值】

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f—1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得。

（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法。

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。

（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。

（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。

（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。

如函数的值域是（0，16]，值是16，无最小值。再如函数的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积（体积）（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

【（四）、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）。

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定义域上的恒等式。（奇偶性是函数定义域上的整体性质）。

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

（1）不论f（x）是奇函数还是偶函数，f（|x|）总是偶函数；

（2）f（x）、g（x）分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函数，f（x）·g（x）是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。

（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数。

（3）若奇函数f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0成立。

（4）若f（x）是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

（5）若f（x）的定义域关于原点对称，则F（x）=f（x）+f（—x）是偶函数，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函数。

（6）奇偶性的推广

函数y=f（x）对定义域内的任一x都有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于直线x=a对称，即y=f（a+x）为偶函数。函数y=f（x）对定义域内的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），则y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f（a+x）为奇函数。

【（五）、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f（x）定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f（x1）>（或<）f（x2）成立，称f（x）在[a，b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数统称为单调函数。

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念。一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替。

（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内。

（4）注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数；

在[a、b]上是减函数。

②在[a、b]上是增函数。

在[a、b]上是减函数。

需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））连线的斜率都大于（或小于）零。

（5）由于定义都是充要性命题，因此由f（x）是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。

5、复合函数y=f[g（x）]的单调性

若u=g（x）在区间[a，b]上的单调性，与y=f（u）在[g（a），g（b）]（或g（b），g（a））上的单调性相同，则复合函数y=f[g（x）]在[a，b]上单调递增；否则，单调递减。简称“同增、异减”。

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程。

6、证明函数的单调性的方法

（1）依定义进行证明。其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1（或<）f（x2）；③根据定义，得出结论。

（2）设函数y=f（x）在某区间内可导。

如果f′（x）>0，则f（x）为增函数；如果f′（x）<0，则f（x）为减函数。

【（六）、函数的图象】

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识。

求作图象的函数表达式

与f（x）的关系

由f（x）的图象需经过的变换

y=f（x）±b（b>0）

沿y轴向平移b个单位

y=f（x±a）（a>0）

沿x轴向平移a个单位

y=—f（x）

作关于x轴的对称图形

y=f（|x|）

右不动、左右关于y轴对称

y=|f（x）|

上不动、下沿x轴翻折

y=f—1（x）

作关于直线y=x的对称图形

y=f（ax）（a>0）

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af（x）

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f（—x）

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x—y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0。

①求证：f（0）=1；

②求证：y=f（x）是偶函数；

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f（x+c）=—f（x）成立；试问函数f（x）是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由。

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法。

解答：①令x=y=0，则有2f（0）=2f2（0），因为f（0）≠0，所以f（0）=1。

②令x=0，则有f（x）+f（—y）=2f（0）·f（y）=2f（y），所以f（—y）=f（y），这说明f（x）为偶函数。

③分别用（c>0）替换x、y，有f（x+c）+f（x）=

所以，所以f（x+c）=—f（x）。

两边应用中的结论，得f（x+2c）=—f（x+c）=—[—f（x）]=f（x），

所以f（x）是周期函数，2c就是它的一个周期。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇12

圆的方程定义：

圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：

1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

①Δ>0，直线和圆相交。②Δ=0，直线和圆相切。③Δ0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δb>0)或+=1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2)

2.双曲线：-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)(其中,c2=a2+b2)

3.抛物线：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)

三、圆锥曲线的性质

1.椭圆：+=1(a>b>0)

(1)范围：|x|≤a,|y|≤b(2)顶点：(±a,0),(0,±b)(3)焦点：(±c,0)(4)离心率：e=∈(0,1)(5)准线：x=±

2.双曲线：-=1(a>0,b>0)(1)范围：|x|≥a,y∈R(2)顶点：(±a,0)(3)焦点：(±c,0)(4)离心率：e=∈(1,+∞)(5)准线：x=±(6)渐近线：y=±x

3.抛物线：y2=2px(p>0)(1)范围：x≥0,y∈R(2)顶点：(0,0)(3)焦点：(,0)(4)离心率：e=1(5)准线：x=-

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇13

一、函数的概念与表示

1、映射

(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素

①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

(1)分式的分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

(3)对数函数的真数必须大于零;

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四.函数的奇偶性

1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3.奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇14

集合间的基本关系

1、“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

2、“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集：如果AB，且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AB，BC，那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n—1个真子集

集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集。记作AB（读作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝。

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）。

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇15

集合的运算

运算类型交 集并 集补 集

定义域 R定义域 R

值域＞0值域＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

（3）对于指数函数 ，总有 ；

二、对数函数

（一）对数

1.对数的概念：

一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意对数的书写格式.

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数 ；

○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 .

指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ N ＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 ＋ ；

○2 － ；

○3 .

注意：换底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）.

利用换底公式推导下面的结论：（1） ；（2） .

（3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、 ， ③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

○2 对数函数对底数的限制： ，且 .

2、对数函数的性质：

a>102} ,{x| x-3>2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法：

B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)-f(x2);

○3 变形(通常是因式分解和配方);

○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-x)与f(x)的关系;

○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

○2 利用图象求函数的最大(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇16

一、函数的概念与表示

1、映射

(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：

(1)对映射定义的理解。

(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素：

①定义域

②对应法则

③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

(1)分式的分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

(3)对数函数的真数必须大于零;

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四.函数的奇偶性

1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3.奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称

②看f(x)与f(-x)的关系

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇17

本学期我担任高一，两班的数学教学，完成了必修1 、 4的教学。本学期教学主要内容有：集合与函数的概念，基本初等函数，函数的应用，三角函数、平面向量、三角恒等变换等六个章节的内容。现将本学期高中数学必修1 、必修4的教学总结如下：

一、教学方面

1、要认真研究课程标准。在课程改革中，教师是关键，教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。认真学习数学课程标准，对课改有所了解。课程标准明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。继承传统，更新教学观念。高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。

2、合理使用教科书，提高课堂效益。对教材内容，教学时需要作适当处理，适当补充或降低难度是备课必须处理的。灵活使用教材，才能在教学中少走弯路，提高教学质量。对教材中存在的一些问题，教师应认真理解课标，对课标要求的重点内容要作适量的补充;对教材中不符合学生实际的题目要作适当的调整。此外，还应把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次螺旋上升，逐步加深。

3、改进学生的学习方式，注意问题的提出、探究和解决。教会学生发现问题和提出问题的方法。以问题引导学生去发现、探究、归纳、总结。引导他们更加主动、有兴趣的学，培养问题意识。

4、在课后作业，反馈练习中培养学生自学能力。课后作业和反馈练习、测试是检查学生学习效果的重要手段。抓好这一环节的教学，也有利于复习和巩固旧课，还锻炼了学生的自学能力。在学完一课、一单元后，让学生主动归纳总结，要求学生尽量自己独立完成，以便正确反馈教学效果。

5、分层次教学。我所教的两个班，层次差别大9班主要是落后面的学生，初中的基础差，高中的知识对他们来说就更增加了难度，而10班也是两极分化严重，前面约20个学生的基础扎实，成绩在中等以上，而后面的30多个学生的成绩却处于中下以下的水平，因此，不管是备课还是备练习，我都注重分层次教学，注意引导他们从基础做起，同时又不乏让他们可以开拓思维，积极动脑的提高性知识，让人人有的学，让人人学有获。

6、注意培养学生良好的学习习惯和学习方法。学生在从初中到高中的过渡阶段，往往会有些不能适应新的学习环境。例如新的竞争压力，以往的学习方法不能适应高中的学习，不良的学习习惯和学习态度等一些问题困扰和制约着学生的学习。为了解决这些问题，我从下面几方面下功夫：

(1)改变学生学习数学的一些思想观念，树立学好数学的信心。

在开学初，我就给他们指出高中数学学习较初中的要难度大，内容多，知识面广，让他们有一个心理准备。对此，我给他们讲清楚，大家其实处在同一起跑线上，谁先跑，谁跑得有力，谁就会成功。对较差的学生，给予多的关心和指导，并帮助他们树立信心;对骄傲的学生批评教育，让他们不要放松学习。

(2)改变学生不良的学习习惯，建立良好的学习方法和学习态度

开始，有些学生有不好的学习习惯，例如作业字迹潦草，不写解答过程;不喜欢课前预习和课后复习;不会总结消化知识;对学习马虎大意，过分自信等。为了改变学生不良的学习习惯，我要求统一作业格式，表扬优秀作业，指导他们预习和复习，强调总结的重要性，并有一些具体的做法，如写章节小结，做错题档案，总结做题规律等。对做得好的同学全班表扬并推广，不做或做得差的同学要批评。通过努力，大多数同学能很快接受，慢慢的建立起好的学习方法和认真的学习态度。

二存在困惑

1、书本习题都较简单和基础，而我们的教辅题目偏难，加重了学生的学习负担，而且学生完成情况很不好。课时又不足，教学时间紧，没时间讲评这些练习题。

2、在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，更少巩固练习的时间。勉强按规定时间讲完，一些学生听得似懂非懂，造成差生越来越多。而且知识内容需要补充的内容有：乘法公式;因式分解的十字相乘法;一元二次方程及根与系数的关系;根式的运算;解不等式等知识。

3、虽然经常要求学生课后要去完成教辅上的精编的题目，但是，相当部分的同学还是没办法完成。学生的课业负担太重，有的学生则是学习意识淡薄。

三、今后要注意的几点

1、要处理好课时紧张与教学内容多的矛盾，加强对教材的研究;

2、注意对教辅材料题目的精编;

3、要加强对数学后进生的思想教育。

总之，作为一名高中的新教师，对新教材还不太熟悉，对重难点的突破，对考点的把握，对学生的方法指导，对高中教学的经验都是一个很大漏洞，我将把握好每一天，继续努力，争取更好的成绩。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇18

一、教学方面

1.认真研究课程标准。在课程改革中，教师是关键，教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。我认真学习数学课程标准，对课改有了进一步的了解。课程标准明确规定了教学的目的、教学重点、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。继承传统，更新教学观念。高中数学新课标指出：“丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中，教师的讲授仍然是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的主体参与，师生互动”。

2.合理使用教科书，提高课堂效益。对教材内容，教学时需要作适当处理，适当补充或降低难度是备课必须处理的。灵活使用教材，才能在教学中少走弯路，提高教学质量。对教材中存在的一些问题，教师应认真理解课标，对课标要求的重点内容要作适量的补充；对教材中不符合学生实际的题目要作适当的调整。此外，还应把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次螺旋上升，逐步加深。

3.发挥学生的主体作用。我重视加强学法指导，努力改变学生的学习方式，真正从接受性学习转换为自主性学习。充分调动学生积极性、主动参与性，发挥学生在教学中的主体作用，使学生在激励、鼓舞和自主中学习，掌握知识与技能，培养创新能力和实践能力。每节新课前都要求学生自学，逐步培养学生的自学能力。

4.我在课堂教学中特别重视改进教学方法，注意问题的提出、探究和解决。组织、引导学生开展合作交流、展示等学习活动，以问题引导学生去发现、探究、归纳、总结，教会学生发现问题和提出问题的方法。使学生学的主动、学的有兴趣，培养问题意识及合作、交流、表达等能力。

5.落实分层教学、努力实现人人发展的目标。根据学生个性、认知能力、思维类型等差异，实行分层设计、分层教学、分层指导、分层训练。使每一个学生都在原有基础上获得充分的最大化的发展。 6.营造和谐师生关系。师生之间具有愉快的情感沟通与智慧交流，课堂里充满欢乐、微笑、轻松、和谐、合作和互动。教师与学生建立了一种民主、平等、尊重、温暖、理解的师生关系。教师的亲和力和教学艺术对学生产生积极影响，90%以上的学生喜欢学科教师并对这一门学科产生浓厚的学习兴趣，掌握了基本的学习方法并获得积极的情感体验，有成功喜悦感。

7.在课后作业，反馈练习中培养学生自学能力。课后作业和反馈练习、测试是检查学生学习效果的重要手段。抓好这一环节的教学，也有利于复习和巩固旧课，还锻炼了学生的自学能力。在学完一课、一单元后，让学生主动归纳总结，要求学生尽量自己独立完成，以便正确反馈教学效果。

8注重做好培优补基工作，促进后进生的转化。要提高教学质量，还要做好课后辅导工作，包括辅导学生课业和抓好学生的思想教育，尤其在后进生的转化上。本学期培优补基工作效果显著，特别是在对后进生转化工作上，注意针对不同的学生采取不同的方法，先全面了解学生的基本情况,争取准确的找出导致“差”的原因。并在情感上温暖他们，取得他们的信任。从赞美着手，所有的人都渴望得到别人的理解和尊重，在和差生交谈时，对他的处境、想法表示深刻的理解和尊重；还有在批评学生时，注意阳光语言的使用，使他们真正意识到自己所犯的错误或自身存在的缺点，通过自身的`努力尽快的赶超其他同学，因此两班的数学成绩提高幅度很大。

二、存在困惑

1.书本习题都较简单和基础，而我们的教辅题目偏难，加重了学生的学习负担，而且学生完成情况很不好。课时又不足，教学时间紧，没时间讲评这些练习题。

2.由于学生的基础参差不齐且整体数学素质不理想，在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，少有巩固练习的时间。一些学生听得似懂非懂，给差生学好数学造成了一定的困难。而且知识内容需要补充的：如乘法公式；因式分解的十字相乘法；一元二次方程及根与系数的关系；根式的运算；解不等式等知识没有专门的时间教学，只能是在新授过程中逐渐渗透。

3.虽然经常要求学生课后要去完成教辅上的精编的题目，但是，相当部分的同学还是没办法完成。学生的课业负担偏重（原因：9个学科同时并进），有的学生则是学习意识淡薄，导致有的学生难于适应。

三、今后要注意的几点

1.要处理好课时紧张与教学内容多的矛盾，加强对教材的研究；

2.注意对教辅材料题目的精编再精编，减经学生的负担。

3.要加强对数学后进生的思想教育，进一步增强他们学好数学的信心。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇19

第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的`0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。

对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。

在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。

抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。

第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0。那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。这个c也可以是方程f(c)=0的根，称之为函数的零点定理，分为“变号零点”和“不变号零点”，而对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时，考生需格外注意这类问题。

第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。

因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。

解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

第八、导数与极值关系不清考生在使用导数求函数极值类问题时，容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，却没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点，往往就会出错，出错原因就是考生对导数与极值关系没搞清楚。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇20

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相

平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE?A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平

行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥P?A'B'C'D'E'

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离

与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台P?A'B'C'D'E'

几何特征：

①上下底面是相似的平行多边形

②侧面是梯形

③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：

①底面是全等的圆;

②母线与轴平行;

③轴与底面圆的半径垂直;

④侧面展开图是一个矩形。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇21

平面向量

向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇22

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2)画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇23

I.定义与定义表达式

一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_^2+b_+c则称y为_的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(_-_?)(_-_?)[仅限于与_轴有交点A(_?，0)和B(_?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。

对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在_轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与_轴交点个数

Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与_轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。

_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c，

当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程)，即a_^2+b_+c=0

此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇24

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。小编准备了高一数学必修1期末考知识点，希望你喜欢。

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.

3、集合的表示：{ } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法：列举法与描述法.

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集 N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于属于的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 aA ,相反,a不属于集合A 记作 a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}

4、集合的分类：

1.有限集 含有有限个元素的集合

2.无限集 含有无限个元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.包含关系子集

注意： 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合.

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.相等关系(55,且55,则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集.AA

②真子集:如果AB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

记作AB(读作A交B),即AB={x|xA,且xB}.

2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作：AB(读作A并B),即AB={x|xA,或xB}.

3、交集与并集的性质：AA = A, A=, AB = BA,AA = A,

A= A ,AB = BA.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.

(3)性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇25

1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

顶点坐标

对称轴

y=ax^2

(0，0)

x=0

y=a(x-h)^2

(h，0)

x=h

y=a(x-h)^2+k

(h，k)

x=h

y=ax^2+bx+c

(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h>0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h0时，开口向上，当a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇26

函数的概念

函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A---B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.

(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

函数的三要素：定义域、值域、对应法则

函数的表示方法：(1)解析法：明确函数的定义域

(2)图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即平移。

(3)函数图像平移变换的特点：

1)加左减右——————只对x

2)上减下加——————只对y

3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=|f(x)|

7)函数y=f(x)先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇27

归纳1

1、“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

2、“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集：如果AíB，且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AíB，BíC，那么AíC

④如果AíB同时BíA那么A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

归纳2

形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（x±m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

归纳3

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点。

3、函数零点的求法：

（1）（代数法）求方程的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

4、二次函数的零点：

（1）△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

（2）△=0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

（3）△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

归纳3

形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（x±m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

归纳4

幂函数的性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=—k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（—∞，0）∪（0，+∞）、因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x<0x="">0的所有实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况、

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

（6）显然幂函数无界。

解题方法：换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇28

【立体几何初步】

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇29

时间过得真快，转眼间高一上学期的工作就结束了。

回想起这学期的工作，我感受颇多。当然经验谈不上，因为乐东中学工作能力出色的老师实在是太多了，我只想和大家一起交流一下这学期工作心得体会，有不妥之处希望各位老师批评指正。我在教学上虚心向同行请教，结合本校和班级学生的实际情况，针对性的开展教学工作，使工作有计划，有组织，有步骤。我对这一学期来的教学工作总结如下：

一、对学生严格要求，培养良好的学习习惯和学习方法

学生在从初中到高中的过渡阶段，往往会有些不能适应新的学习环境。例如新的竞争压力，以往的学习方法不能适应高中的学习，不良的学习习惯和学习态度等一些问题困扰和制约着学生的学习。为了解决这些问题，我下了一翻功夫：

1、改变学生学习数学的一些思想观念，树立学好数学的信心2、改变学生不良的学习习惯，建立良好的学习方法和学习态度开始，有些学生有不好的学习习惯，例如作业字迹潦草，不写解答过程；不喜欢课前预习和课后复习；不会总结消化知识；对学习马虎大意，过分自信等。我要求统一作业格式，表扬优秀作业，指导他们预习和复习，强调总结的重要性。对做得好的同学全班表扬并推广，不做或做得差的同学要批评。在我的严格要求下，大多数同学能很快接受，慢慢的建立起好的学习方法和认真的学习态度。

二、刻苦钻研教材，不断提高自身的教学教研能力高一的教学对我来说是一个新的内容，要做好不容易。

第一：我认真阅读新课标，钻研新教材，熟悉教材内容，查阅教学资料，适当增减教学内容，认真细致的备好每一节课，真正做到重点明确，难点分解。

第二：认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都做了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时

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对该课做出总结，写好教学后记，并认真按搜集每课书的知识要点，归纳成集。

第三：增强上课技能，提高教学质量，使讲解清晰化，条理化，准确化，情感化，生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注重调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的自主作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注重精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。在教学上，坚持教学研究，共同讨论，同时，多听课，学习别人的优点，克服自己的不足。

第四：在课堂教学中，坚持启发式教学，坚持向45分钟要质量。以学生为主体，以训练为主线。教学过程重视知识与技能，学习过程和方法，情感态度与价值观，培养学生自主学习，合作学习，探究性学习的精神。

第五：认真批改作业，布置作业做到精读精练。有针对性，有层次性。为了做到这点，我常常通过互联网搜集资料，对各种辅助资料进行筛选，力求每一次练习都起到最大的效果。同时对学生的作业批改及时、认真，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透彻评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的.放矢。

第六：做好课后辅导工作，注重分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，避免了一刀切的弊端，同时加大了后进生的辅导力度。对后进生的辅导，并不限于学习知识性的辅导，更重要的是学习思想的辅导，要提高后进生的成绩，首先要解决他们心结，让他们意识到学习的重要性和必要性，使之对学习萌发兴趣。要通过各种途径激发他们的求知欲和上进心，让他们意识到学习并不是一项任务，也不是一件痛苦的事情。而是充满乐趣的。从而自觉的把身心投放到学习中去。这样，后进生的转化，就由原来的简单、强制学习转化到自觉的求知上来。使学习成为他们自我意识的一部分。在此基础上，再教给他们学习的方法，提高他们的技能。并认真细致地做好查漏补缺工作。后进生通常存在很多知识断层，这些都是后进生转化过程中的拌脚石，在做好后进生的转化工作时，要特别注意给他们补课，把他们以前学习的知识断层补充完整，这样，他们就会学得轻松，进步也快，兴趣和求知欲也会随之增加。

第七：积极推进素质教育。目前的考试模式仍然比较传统，这决定了教师的教学模式要停留在应试教育的层次上，为此，我在教学工作中注意了学生能力的培养，坚持采用分组探究式数学教学模式，把传授知识、技能和发展智力、能力结合起来，在知识层面上注入了思想情感教育的因素，发挥学生的创新意识和创新能力。让学生的各种素质都得到有效的发展和培养。

以上是我工作的一个总结和体会，当然，有些可能是肤浅的，有些是大家平常都知道的。在我工作中，也有很多没能达到预期的效果，但我始终相信一分耕耘，总会有一分收获，所以我也将会继续努力，力争做的更好。

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇30

知识点1

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1、元素的确定性；

2、元素的互异性；

3、元素的无序性

说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

1、用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

2、集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a？A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x—3>2的解集是{x？R|x—3>2}或{x|x—3>2}

4、集合的分类：

1、有限集含有有限个元素的集合

2、无限集含有无限个元素的集合

3、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

知识点2

I、定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向上开口；当a0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b’2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b’2—4ac0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

（2）△=0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

（3）△0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h>0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h0时，开口向上，当a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a0(a2} ,{x| x-3>2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法：

B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)-f(x2);

○3 变形(通常是因式分解和配方);

○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-x)与f(x)的关系;

○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

○2 利用图象求函数的最大(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇31

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：

(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域

思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。

例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）

1，则函数ff(x)的定义域为______________。x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1

x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1

f(x)1x1即1，解得x1且x2

1x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域

思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。

例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5

即函数f(x)的定义域为1，5

x2例4.已知f(x4)lg2，则函数f(x)的定义域为______________。

x82x2x20解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以

2x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)

（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域

思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。

例5.若函数f(2x)的定义域为1，1，则f(log2x)的定义域为____________。

解析：f(2)的定义域为1，1，即x1，1，由此得2，2

2xx11f的作用范围为，2

21又f对log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定义域为

2，4

2，4

评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.

证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使ax1x2b

因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),

u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即

f(g(x1))f(g(x2))，

故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）.复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：确定函数的定义域；

将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性；

若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。

（4）例题演练

例1、求函数ylog1(x2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明22解：定义域x2x30x3或x1

单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则

y1log1(x12x13)y2log1(x22x23)

2222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数2222112同理可证：y在(,1)上是增函数

高一数学必修一函数图像知识点总结 篇32

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b0时，直线只通过一、三象限；当k2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}

③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是数组元素(x，y)，集合B中只有元素y。

3、集合的三个特性

(1)无序性

指集合中的元素排列没有顺序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。

例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。

解：，A=B

注意：该题有两组解。

(2)互异性

指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}

(3)确定性

集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。