2024年垂径定理教学设计第二课时最新5篇

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垂径定理教学设计第二课时【第一篇】

《垂径定理》典型练习题

垂径定理是“圆”一章的重要内容。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，是圆的.轴对称性的具体化；它不仅是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为今后进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。由于它在教材中处于非常重要的位置，所以成为每年中考必考的知识点之一。

一、垂径定理及推理的内容

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图，几何表述为：

∵cd过圆心，cd⊥ab于e

∴ae=be，-=-，-=-

2.垂径定理推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，几何表述为：

∵cd过圆心，ae=be(ab不是直径)

∴cd⊥ab于e，-=-，-=-

3.垂径定理其他推论的几何表述：

①∵cd过圆心，-=-

∴cd⊥ab，ae=be，-=-

②∵cd过圆心，-=-

∴cd⊥ab，ae=be，-=-

(未完待续)

垂径定理的基本图形

垂径定理教学设计第二课时【第二篇】

各位专家、评委：

你们好！很高兴能有机会参加这次活动，并得到您的指导。

我说课的题目是：圆的轴对称性——垂径定理及其推论。它是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第二十四章第一节的第二部分《垂直于弦的直径》的内容。。

这部分内容教材安排了两课时，其中第一课时讲圆的轴对称性，第二课时讲圆的旋转不变性。

结合我对教材的理解和我所任教班级学生的实际情况，我将圆的轴对称性一课时内容调整为两课时，今天我所讲的是第一课时——垂径定理及其推论。

下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段、教学过程设计等四个方面进行说明。

一、教学内容的说明

教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。

垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点， 垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。

鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容：

(1)了解圆的轴对称性。

(2) 弄清垂径定理及其推论的题设和结论。 (3)运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。

(4)学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。

垂径定理教学设计第二课时【第三篇】

教学难点：垂径定理的证明方法，其中圆的轴对称性是理解垂径定理的关键。

二、教学目标的确立

根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标：

1、通过直观演示了解圆的轴对称性。

2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。

3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。

三、教学方法与手段的选择

在教学方法方面:本节课主要采用了教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价的方法。

在教学过程中，遵循“实验－观察－猜想－证明－讨论－总结－应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理性认识，再到实际应用。遵循“阶梯式发展”原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式合作探究，进而解决问题、掌握方法。同时，考虑到不同层次学生的学习需要，在所提问题、例题、习题的设置上，均力争使每名学生都有所得。

在教学手段方面：我采用教（学）具直观演示与计算机辅助教学，以提高课堂教学效率。

四、教学过程的设计

1、坚持一条原则：学生是主体，教师是教学过程的组织者、引导者、合作者。

2、围绕一个目的：落实教学目标

3、突出一个特点：通过“实验－观察－猜想－证明－应用”帮助学生实现由感性认识到理性认识的过渡

4、采用一种手段：借助教具的直观性和计算机辅助教学，启发引导学生发现定理，从而抽象概括出定理

5、收到一个效果：使学生通过本节课的学习，能够理解定理的内涵，学会运用定理解决问题。同时使学习知识、培养能力和优化思维品质融为一体。

学法指导：

动手操作、 观察猜测、 交流讨论、 分析推理、 归纳总结，在此过程中使学生积极参与，交流互动。

本课的教学过程包括：

以旧引新、引导探究——动手操作、观察猜想——指导论证、引申结论——多方练习、分层评价——反思小结、布置作业五个环节。

（一）以旧引新、引导探究

人类认识事物大多遵循由感性认识到理性认识，由旧知到新知的上升过程，为此我先引导学生复习与本课新知识有关的旧知识，出示如下两个问题：

（1）什么是轴对称图形

（2）观察下列图形哪些是轴对称图形？并指出对称轴条数。

其中第一题的目的在于唤起学生记忆，明确轴对称图形的概念。进而选取几种常见的几何图形让学生判断，其中的平行四边形是从反面强化对轴对称图形的理解。 第二组是有关车标图案的轴对称图形，使学生知道我们身边随时随地都有轴对称图形的存在，此时可让学生再举几个实际例子，以激发学生的兴趣。

然后出示圆，提问：圆是轴对称图形吗？

它有几条对称轴？

对称轴在什么位置？

进而通过学生折叠圆形纸片、

教师投影演示明确：

圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

这样通过创设问题情境，激发学生的求知欲，以旧引新，引出本课课题——圆的轴对称性。

（二）动手操作，观察猜想

首先让学生按要求在事先准备好的圆形纸片中画图折叠、观察、猜想。 ⅰ 画出⊙o的一条弦ab

ⅱ 过o画ab的垂线交⊙o于c、d两点，垂足为e.

问题1：过o点垂直ab的直线有几条？（说出理由）

设计意图：明确垂直于弦的直线有且只有一条。

问题2：直径cd还有什么性质？（投影）

1、引导学生将⊙o纸片沿直径cd折叠，观察重合部分，猜想结论

2、小组交流猜想结论。

3、教师投影演示与学生共享猜想结论

设计意图：通过调动学生的多种感官功能，使学生在动手动脑中强化思维品质。同时为用“叠合法”证明垂径定理起铺路搭桥的作用。

（三）指导论证，引申结论

在师生共同得出猜想结论后，教师追问质疑：猜想的结果是否正确，必须要加以证明，将学生的活跃思维从实验猜想拉回到对猜想的严格证明中。 教学安排：

学生回答已知、求证后教师投影。

随后指导学生从圆的轴对称性入手，讨论出联结oa和ob后，抓住只要能够证出直径cd既是等腰三角形oab的对称轴，又是圆的对称轴，即可利用圆的`轴对称性证明出结论。进而让学生试述，教师板书证明过程。

进而总结出垂径定理的内容。并引导学生分析出定理的题设和结论。说明知道了题设的两个条件，就可以得出三个结论。

此时出示判断题

(1)过圆心的直径平分弦（×）

(2)垂直于弦的直线平分弦（×）

(3)⊙o中，oe⊥弦ae于e，则ae=be（√）

引导小组讨论，允许争论，关键要让学生说明理由，举反例。交流讨论、统一思想后，教师要充分利用评价机制鼓励学生，并强调垂径定理 圆的轴对称性——垂径定理及其推论题设中的两个条件缺一不可。同时说明垂径定理条件中的“直径”是指过圆心的直线，但在应用该条件时可以不为直径，如半径、圆心到弦的距离照样可以得到平分弦的结论。

然后再次通过提问：如果将题设中的两个条件改为“直径平分弦”，能否得出其它三个结论呢？自然的引出对例1的教学：

例1：已知:如图，在⊙o中，直径cd交弦ab于e，ae=be

求证：cd⊥ab,

通过教师引导、小组讨论分析证明出垂径定理的推论：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。使学生初步认识到将定理中题设的两个条件之一与三个结论之一交换一个，也可得出其它三个结论。然后再次出示小组讨论题，

小组讨论：下列命题是否正确？说明理由

1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。(√)

2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧(√)

进一步强化刚才的初步认识，进而归纳总结出其中规律：五个条件，知二推三。在整个过程中教师要及时引导学生通过画图分析、讨论，说明理由，辨别正误，从而有效的突破难点，突出重点。

o

（四）多方练习，分层评价

例2、已知：如图在⊙o中，弦ab的长是8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径。

1、选题意图

至此，学生们对垂径定理及其推论的基本知识应该掌握了，为了使学生再上一个台阶，更好的将知识点落到实处。我安排了例2，试图通过此例，使学生明确：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是将垂径定理和勾股定理结合起来。达到一通百通的目的。并为例3的教学铺平道路。

2、教学安排

ⅰ 解决问题：此题先提醒学生审清题意，思考如何构造出圆的半径及圆心o到弦ab的距离。在个人独立思考建立图形以后，进行小组交流、讨论。最后各组派代表展示学习成果并说明理由，教师点拨，最后投影出完整解题步骤。 ⅱ 反思拓展：提问：在解答此题的过程中，你用到了几个定理？

通过讨论，使学生体会到：在解决有关弦、半径（直径）、圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来。

然后，趁热打铁，通过三个难度不同的练习，进一步巩固刚才讨论得出的成果。

a组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是( 3 )cm b组 在圆o中弦cd＝24，圆心到弦cd的距离为5,则圆o的直径是( 26 ) c组 若ab为圆o的直径，弦cd⊥ab于e，ae＝16，be=4,则cd＝( 16 ) ⅲ 分层评价：学生的认知水平是不同的，所以我有意识的将题目按由易到难的顺序分成了a、b、c三组，其中a组题是为学困生编写的；b组题绝大多数同学应该掌握；c组题难度稍大，但稍微动一动脑，也不是不能做出的，是为中上等同学准备的。

需要说明的是：学生每做对一组题就可获得一个满分，教师此时巡视指导并及时评判各组当中做完的同学，而且不管是谁只要做对了题，都可以为本组同学判题打分。这样安排，使不同层次的学生都学有所得，调动学生的学习热情。

然后各组请代表说明解题思路。热身之后，出示例3：

例3、已知⊙o的直径为4cm，弦ab=，求∠oab的度数

1、选题意图：在巩固例2成果基础之上，出示例3，是为了将解直角三角形与垂径定理的知识衔接起来，使知识之间融汇贯通——你中有我，我中有你。

2、教学安排：

ⅰ 解决问题：提问：求角度问题，可否通过解直角三角形的问题解决？ 学生自然会联想到构造直角三角形，进而作出正确的辅助线。然后利用特殊角的三角函数值求出锐角的度数。学生展示成果后，教师出示完整解题格式，并追问：还有没有其它的解题方法？此时 圆的轴对称性可能有的学生通过得出弦心距的长度，利用在直角三角形中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边所对角为30°，亦可。教师要给予充分的肯定和鼓励性评价。然后再通过一道证明题，

练习：已知如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点。 求证：ac=bd

再一次的巩固垂径定理及辅助线的做法。

ⅱ 反思拓展：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。

（五）反思小结、布置作业

这个环节主要让学生谈谈本节课的收获和体会。我根据情况适当补充。然后仍按照学生层次布置分层作业。这样最大限度的调动学生学习的积极性，使不同层次的学生都有所获，在原有的基础上得以发展、提高。

以上是我对本节课的说明，不妥之处，敬请专家、评委指正。谢谢大家！

垂径定理教学设计第二课时【第四篇】

垂径定理说课稿

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用

本节课圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。

另外，本节课通过“实验--观察--猜想--合作交流--证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

因此，掌握垂径定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。

（二）教学目标

根据《数学课程标准》对这部分知识的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为：

（1）知识与技能目标

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

（2）过程与方法目标

在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

（3）情感与态度目标

在解决问题过程中，培养学生敢于面对挑战和善于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的经验，充分享受数学之美，从而体验学习数学的乐趣。

知识与技能目标固然重要，对于本节课：过程与方法和情感与态度更重要，因为这部分是几何教学的重点，是由实验几何向论证几何的过渡，过程与方法可以帮助学生学会认识事物、分析问题的方法；有良好的情感态度能培养好的学习兴趣，养成好的学习习惯。

（三）教学重点和难点

教学重点：垂径定理及其应用。

（由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。）

教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。

突出重点、突破难点的关键：创设具有启发性的问题情境，通过学生动手操作，多媒体生动直观地演示，让学生经历“提出问题——探究讨论——归纳发现”的过程，在这个过程中，要给学生在充足的活动时间，使学生在积极思维的状态下参与探究性学习 。

而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

二、教材处理

关于教材的处理：

(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。

(2)探究例1后引导学生发现常见辅助线“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式 .注意前后知识的链接.

三、教学方法的选择与应用

本节课我采用实验操作，直观演示，合作交流等方法指导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表述，让学生从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。

同时采用多媒体辅助教学和实物演示，直观生动地反映图形特点。

四、教学模式

为了实现教学目标，优化教学过程，本节课通过“创设情境——自主探索——合作交流——应用拓展——反思归纳”的教学模式，力求着眼于学生探究能力和多向思维的培养。

五、教学过程

本节课我设计了七个环节组织教学：

1）创设情景，导入新课

展示我国隋朝建造的赵州石拱桥，提出问题，你能求出桥拱所在圆的半径吗？以此情境，导入圆的学习。

通过课本自学，让学生了解圆中的弧，弦等概念。

并提出疑问：那么我们将要学习的圆到底有什么样的性质呢？

设计意图：通过我们的古老文明激发学生解决问题的欲望，引起学生的联想，为学生探究新知识埋下铺垫。

2）动手操作，探究新知

实践探究一

把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

在教学过程中，注重对学生自主探索与合作交流能力的培养，在引入新课的同时，运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验、观察，通过实验，引导学生得出结论：

(1)圆是轴对称图形；

(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；

(3)圆的对称轴有无数条。

实践探究二

请同学们在自己作的圆中作图：

（1）任意作一条弦 ab；(2)过圆心作ab的垂线得直径cd且交ab于e。

引导学生分析直径cd与弦ab的垂直关系，说明cd是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时板书课题 垂径定理 这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。

设计意图：上述一系列活动的目的是让学生经历“实验（问题）——探究——归纳”的探索过程，在这个过程中，让学生获得直接参与的机会，在参与中，激发学习兴趣；在实验中，积累对数学的感知；在思考中，寻找解决问题的途径；在探究中，形成对数学的理解；在交流中，完善自己的想法。整个过程，体现学生的自主探究，合作学习。从而，培养学生善于观察，勇于猜想，敢于发现的精神。

3）引入新课---揭示课题：

首先让学生实验、观察并得出猜想

①ea=eb；② 弧ac=bc；③弧ad=bd．

你是如何得到这个结论的？（可能有的学生用的是叠合法，有的学生用的是论证法，此处都予以表扬）

这里要引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，要能写出

已知：cd是直径，cd⊥ab

求证：①ea=eb；② 弧ac=bc；③弧ad=bd．

这样做为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。此时板书垂径定理的内容。

垂径定理 垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

<目标训练，及时反馈>

为了强调定理中的条件，出示一组练习：在下列图形中，符合垂径定理的条件吗？让学生抢答，根据实际情况进一步强调“垂”与“径”缺一不可。

设计意图：及时给出练习，便于学生理解概念，有利于新知识的内化。本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验。

实践探究三

1.想一想：如下图示，ab是⊙o的弦(不是直径)，作一条平分ab的直径cd，交ab于点m．

2.同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。

学生依据探究二的经验来论证探究三，从而得到垂径定理的逆定理

3.拓展垂径定理的逆定理，即“知二推三”

4）运用新知，体验成功

例1：如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径。

1. 介绍弦心距的概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．

2. 规范解题步骤

3. 总结圆中常用的辅助线思路

<目标训练，及时反馈>

1．半径为4cm的⊙o中，弦ab=4cm, 那么圆心o到弦ab的距离是 。

2．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 。

3.如图，mn所在的直线垂直平分ab，利用这样的工具，最少两次就可以找到圆形工件的圆心，你能说出理论依据吗？

<学有所用>

赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为,拱高(弧的中点到弦的距离)为，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

设计意图：为了及时巩固，帮助学生对所学定理的加深理解与使用讲完定理及逆定理后，我依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了有梯度的，循序渐进的习题，让学生尝试。

本环节我采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。

5）知识梳理，自主评价

谈谈本节课的收获（包括知识、方法、感想方面的梳理）

设计意图：本环节我采用学生自己回忆并叙述的方式，让其梳理知识，感受方法。这样做的目的，既是对所学内容的复习巩固，又训练了学生的归纳和表达能力，有利于培养学生良好的数学思维习惯，形成知识体系。

6）学有所用，综合提升

一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽ab为16m（如图），桥拱最高处离水面4m

（1）求桥拱半径；

（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？．

2. 如图，两个圆都以点o为圆心，大圆的弦ab交小圆于c，d，求证：ac＝bd．

设计意图：本题在赵州桥的基础上进行了综合，使学生进一步理解垂径定理，运用垂径定理。

7）作业

作业设计本着有益有趣的原则，给学生以充分的发展空间，并巩固本节所学内容。

设计方案：为了适应各层次学生学习的需要，设计了分层作业，

必作题是课本练习题

选作题是课后试一试

另外，又设计了应用练习，如何确定残缺的圆形零件的圆心？

让学生带着数学问题走出课堂，从而把学生的思维引向一个更加广阔的空间，让学生在课外运用所学的知识进行实践、探究。

垂径定理教学设计第二课时【第五篇】

《垂径定理》九年级数学上册教学反思

“垂径定理”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用。由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点及难点。

对本节课的教学我有以下几点反思：

1、本节课主要有两方面的内容：一是圆的轴对称性，二是垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进行学习，学习有目标，圆的轴对称性主要是通过动手操作得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究圆中相等的弦，弧得出垂径定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥问题，每一个环节都是环环相扣，不是孤立存在的。

2.在数学教学中,语言的严密性，逻辑性很重要的,而我在课堂上,尤其是知识点的联系方面的引导词,结论的表述，更加需要再努力钻研.今后我将在这方面下工夫,在去听其他数学老师的课时,要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句.

3在教案设计方面,在时间上把握得不够准确。有点前松后紧。前面在复习的部分应该加些关于勾股定理的计算的题目,使学生在后面解直角三角形时能够更加快,更熟练;在多媒体中，题目的梯度设计虽然很好但时间紧练习题量太小。

4，其实这节课还有个作图思想要灌输给学生,即教学生如果见到弦心距,弦,那么直接连半径构成直角三角形;如果就是只知道一条弦的题目,就要连弦心距都要作出来,应加强两种题目的训练。.

通过反思这一课的课堂教学，我认识到要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题。不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力和创新精神，使每个学生的身心都能得到充分的发展。这些问题给了我一个今后的努力的方向.在今后的教学中,我会更加努力。