柯西(Cauchy)不等式的新证明与应用（实用2篇）

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柯西不等式的几种证明方法1

摘要： 如果某一知识跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个知识肯定是很重要的，而二次型、欧式空间内积、詹森不等式都是高等数学中代数、实函、微积分的基本内容。本文运用二次型理论、欧式空间中内积性质和詹森(Jensen)不等式三种方法证明柯西不等式，并简要说明柯西不等式与高等数学之间的联系。

Abstract: If the knowledge was closely related the many disciplines or many branches of a discipline,then this knowledge is certainly important,but the quadratic form,european space inner product,Jensen inequality are basic content of algebra,real letters,calculus in higher mathematics. In this paper,quadratic form theory,the European space inner product nature and Jensen (Jensen) inequality are three ways to prove cauchy inequality,and bthe relation between Cauchy inequality and higher mathematics was illustrated briefly.

关键词： 柯西不等式；二次型；内积；詹森不等式

Key words: Cauchy inequality; quadratic form; inner product; Jensen inequality

中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1006-4311(2010)11-0210-01

1 柯西不等式的内容

设a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn为任意实数，则不等式abab成立。当且仅当ai=kbi(i=1,2,…,n)取等号，这就是著名的柯西(Cauchy)不等式。这个不等式结构对称，在数学的许多方面都可以应用。现给出几种证明方法，以资参考。

2柯西不等式的证明

利用二次型理论证明

证明：记f(x1,x2)=(a1x1+b1x2)2+(a2x1+b2x2)2+…+(anx1+bnx2)2

=(a+a+…+a)x+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x1x2+(b+b+…+b)x

=X′AX

其中X=xx,A=a abab b

显然f(x1,x2)0,即f(x1,x2)是半正定的

A0,即a•b-ab0

又当且仅当a1x1+b1x2=a2x1+b2x2=…=anx1+bnx2=0

即==…=时，f(x1,x2)=0

此时A=0,即a•b-ab=0

利用欧式空间中内积性质证明

命题设a1,a2,…,am是n维欧式空间V的一组向量，而

A=(α,α)(α,α)…(α,α)(α,α)(α,α)…(α,α)… … … …(α,α)(α,α)…(α,α)

证明：当且仅当A≠0时，α,α,…α线性无关。

下面利用欧式空间中内积性质证明柯西-布涅科夫斯基不等式。

定理：在实内积空间中，对任意的向量α,β有(α,β)αβ,等号成立当且仅当α,β线性相关。

证明：在平面几何中，当线性无关时，

1>cos(α,β)=

即(α,β)2(α,β)(β,β)

在一般欧式空间中，α,β线性无关时，由α,β两向量生成的欧式空间与平面上向量全体所成欧式空间同构，所以

(α,β)2(α,β)(β,β)成立。

由上述命题知

(α,β)2=(α,β)(β,β)(α,α)(α,β)(β,α)(β,β)=0 α,β线性相关

于是定理得证。

作为柯西-布涅科夫斯基不等式的特殊情况，在实线性空间Rn中，令α=(a1,a2,…an),β=(b1,b2,…,bn),并定义内积如下：

(α,β)=ab

立即可得到柯西不等式：

abab

利用詹森(Jensen)不等式证明

考察函数φ(x)=x2,(x>0),φ′(x)=2x,φ″(x)=2>0,故φ(x)=x2是(0,+∞)上的凸函数，由詹森(Jensen)不等式

(其中，P>0,k=1,2,…n),

得PxPPx

上式中令P=b,x=即Pxba,从而不等式成立。

3结束语

如果某一知识跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个知识肯定是很重要的，而二次型、欧式空间内积、詹森不等式都是高等数学中代数、实函、微积分的基本内容。要运用这些方法来证明柯西不等式，我们必须非常熟悉相关内容以及有丰富的联想和创新精神。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系。数学分析。北京：高等教育出版社，2001.

[2]丘维声。高等代数(上册).北京：高等教育出版社，1996.

柯西(Cauchy)不等式的新证明与应用2

所谓柯西（Cauchy）不等式即是：若ai、bi（i=1、2……n）为实数，则有（a11+a22+……+an2）（b11+b22+……+bn2）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2。

仅当 = =……= 时，此不等式始取等号。

关于柯西不等式，在代数学中曾有过证明，本文这里将借助于一元二次不等式的求解公式，给出柯西不等式的一个新的证明，颇为新颖有趣。

定理：（柯西不等式）ai、bi（i=1、2……n）为实数，则有（a11+a22+……+an2）（b11+b22+……+bn2）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2。

仅当 = =……= 时，此不等式始取等号。

证明：因ai、bi（i=1、2……n）为实数。

考察一元二次不等式（a11+a22+……+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b11+b22+……+bn2）≥0 ①

由①得（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…（anx-bn）2≥0②

由②可知：不等式①的解是x为任何实数。

这时，一元二次方程（a11+a22+……+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b11+b22+……+bn2）=0 ③

其根的判别式=（a1b1+a2b2+…+anbn）2・4-4（a11+a22+……+an2）・（b11+b22+……+bn2）≤0 ④

故（a11+a22+……+an2）（b11+b22+……+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2≥0 ⑤

注意到⑤，当 = =……= 时，此不等式取等号。

当 、 、…… 不相等时，②与①都只能取大于号，从而

因此，仅当 = =……= 时，不等式⑤始取等号。（证毕）

应当指出的是：若ai、bi>0（i=1、2……n）应用柯西（Cauchy）不等式尚可得到如下重要结果，即是：

推论：设ai、bi（i=1、2……n）

则 = =……= ≥

仅当 = =……= 时，此不等式始取等号。

证明：因ai、bi>0（i=1、2……n）

由柯西不等式可知：（b1+b2+…+bn）・（ + +…+ ）

=[（ b1）2+ b2）2+…+ bn）2]・[（ ）2+（ ）2+…

=（ ）2）≥（a1+a2+…+an）2 ①

由①可得：（ + +…+ ）≥ ②

仅当 = =…= 时，此不等式始取等号（证毕）。

下面举例说明其应用

例：设n为正整数，a>0，b>0，c>0。

且a2+b2+c2=3（n+1）2，则 + + ≥3，

证明：因n为正整数，a>0，b>0，c>0。

且a2+b2+c2=3（n+1）2 []①

应用柯西不等式的推论可知：

+ + ≥ ②

又a2+b2+c2= ③

由①、③得：[3（n+1）]2≥（a+b+c）2 ④

（a+b+c）≤3（n+1） a+b+c-3n≤3 ⑤

由②、⑤可得 + + ≥ ≥ =3⑥

+ + ≥3 ⑦

特别是：当n=1时，应用本例可得如下结果：

推论：设a>1，b>1，c>1。

且a2+b2+c2≥12，则有：

+ + ≥3。

应当指出的是，此推论乃是数学教学中数学问题538题，可见本例乃是其一个推广。

参考文献

[1]蔡小雄 用竞赛数学的方法解高考例题。数学通讯，2007，（1）。

[2]巧用柯西不等式的变式解一类分式问题。数学通讯，2008，（3）。

考括坟籍，博采群议。上面这2篇柯西(Cauchy)不等式的新证明与应用就是山草香为您整理的柯西不等式范文模板，希望可以给予您一定的参考价值。