《二次函数》的复习教学设计汇总4篇

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一元二次函数讲解教案【第一篇】

重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-、(-，)是教学的难点。

初中数学二次函数教案【第二篇】

教学目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学难点：求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、问题引新

1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

BC长(m) 12

面积y(m2) 48

的值是否可以任意取？有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少？ y=x(20-2x)

二、提出问题，解决问题

1、引导学生看书第二页 问题一、二

2、观察 概括

y=6x2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-x)2

以上 函数关系式有什么共同特点？ (都是含有二次项)

3、二次函数定义：形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。

4、课堂练习

(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y=5x+1 (2)y=4x2-1

(3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1

(2).P3练习第1，2题。

五、小结 叙述二次函数的定义。

六、作业：课本第14页 习题

七、板书

第二课时：　二次函数(2)

教学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。

教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象

教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。

教学过程：

一、问题引新

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么？

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、学习新知

1、 例1、画二次函数y=2x2 与y=2x2的图象。(有学生自己完成)

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

(2)描点 (3)连线

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y … 9 4 1 0 1 4 9 …

找一名学生板演画图

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？ (让学生观察，思考、讨论、交流，)

2、归纳：

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点坐标(0，0)

3、运用新知

(1).观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？

(2).课件出示：在同一直角坐标系中， y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较

(3).将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？(课件出示)

让学生观察y=x2、y=2x2的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______;在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______;当X=______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)。

四、课堂练习：练习册P 练习1、2、3、4。

五、作业： 1.画出函数y=1/2x2的图象？

2.写出函数y=ax2具有哪些性质？

第三课时：二次函数(3)

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax2+b性质探究的过程，理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。

教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象，理解二次函数y=ax2+b的性质，理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系。

教学难点：正确理解二次函数y=ax2+b的性质，理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系。

教学过程：

一、提出问题导入新课

1.二次函数y=2x2的图象具有哪些性质？

2.猜想二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？

二、学习新知

1、问题1：画出函数y=2x2和函数y=2x2+1的图象，并加以比较

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗？

同学试一试，教师点评。

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值(既y)之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0，1)。

师：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2x2+1的一些性质吗？

小组相互说说(一人记录，其余组员补充)

2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=1。

3、做一做

在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？

三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系？ 2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质？

四、作业： 在同一直角坐标系中，画出 (1)y=-2x2与y=-2x2-2;的图像

五：板书

第四课时　　二次函数(4)

教学目标：

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。

2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程，理解其性质，理解二次函数

y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。

重点：会用画出二次函数y=a(x-h)2的图象，理解其性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。

难点：理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系。

教学过程：

一、提出问题导入新课

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=-12x2，y=-12x2-1的图象，并回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？

二、学习新知

1、探究新知：学生画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象，并加以观察

教师巡视、指导。分组讨论，交流合作

2.、学生汇报：函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象，开口方向、对称轴和顶点坐标；函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象怎样平移得到的。

师：由函数y=2x2的性质总结函数y=2(x-1)2的性质

3.让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。

4、做一做

在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗？

让学生讨论、交流，举手发言，归纳：在y=2(x+1)2中，当x<-1时，函数值y随x的增大而减小；当x>-1时，函数值y随x的增大而增大；当x=一1时，函数取得最小值，最小值y=0。

4、课堂练习：　P11练习1、2、3。

三、小结：谈谈本节课的收获和体会。

四、作业

习题 1(2)。

五、板书

第五课时　　二次函数(5)

教学目标：

1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程，理解函数y=a(x-h)2+k的性质。

重点：，理解函数y=a(x-h)2+k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系，

难点：正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质

一、提出问题导入新课

1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？

(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系？函数y=2(x-1)2+1有哪些性质？这就是本节要学习得内容。

二、学习新知

1、画图：在同一直角坐标系中画出函数y=2(x-1)2与y=2x2 y=2(x-1)2+1的图象，看看它们之间有何的关系？ 在学生画函数图象时，教师巡视指导；

出示例3：你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质？

教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，

函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x<1时，函数值y随x的增大而减小，当x>1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

2：出示4 (P10)

3、课堂练习：不画图像说说函数y=2(x-1)2-2与y=2(x-1)2的异同点

三、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

2.谈谈你的学习体会。

四、作业：

1.巳知函数y=-12x2、y=-12x2-1和y=-12(x+1)2-1

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=-12x2得到抛物线y=-12x2-1和抛物线y=12(x+1)2-1;

思考：函数y=2(x-1)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？

五、板书：

第六课时　　二次函数(6)

教学目标：

1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。

重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。

难点：理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-b2a、(-b2a，4ac-b24a)是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题导入新课

1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质？

2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系？

3.不画出图象，你能直接说出函数y=-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？通过今天的学习你就明白了

二、学习新知

1、 思考： 像函数 y=-4(x-2)2+1很容易说出图像的顶点坐标，函数y=-1/2x2-6x+21能画成y=a(x-h)2+k 这样的形式吗？

2、 师生合作探索： y=-1/2x2-6x+21 变成 y=a(x-h)2+k的`过程

3、做一做

(1). 通过配方变形，说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

在学生做题时，教师巡视、指导； 让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果：

y=ax2+bx+c(配方变形的过程略)

当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

对称轴是x=-b/2a，顶点坐标是(-b2a，4ac-b24a)

(2)、　P12练习第1、2、3、4题

4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)

5、练一练 P13练习第1、2

三、小结：　通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

四、作业：

1.填空：

(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;

(2)抛物线y=2x2-2x-52的开口_______，对称轴是_______;

(3)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=_______.

2.画出函数y=2x2-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x

(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=12x2-4x+3

4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质

五：板书

第七课时　用函数的观点看一元二次方程(1)

教学目标：

1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

3.进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。.

教学过程：

一、引导学生看书16页 导入新课

像书中这样的问题，我们常常会遇到，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，我和同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题，学习新知

1、问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是

y=-x2+2x+45。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？

(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？

思路如下：

(1).让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y=-x2+2x+45最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；

(2)学生解答，教师巡视指导；一两位同学板演，教师点评。

2、出示例题：画出函数y=x2-x-34的图象。 如图(4)所示。

教师引导学生观察函数图象，得到图象与x轴交点的坐标分别是(-12，0)和(32，0)。

让学生完成解答。教师巡视指导并讲评。

教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，从“形”的方面看，函数y=x2-x-34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2-x-34=0的解；从“数”的方面看，当二次函数y=x2-x-34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2-x-34=0的解。更一般地，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

3、应用新知

根据图(4)象回答下列问题。

(1)当x取何值时，y<0?当x取何值时y>0，?

(当-1232时，y>0)

y<0 即x2-x-34<0的解集是什么？ y>0 即x2-x-34>0的解集是什么？)

想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？

让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流：

(1)从“形”的方面看，二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标。即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。

(2)从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。

三、小结：

1.通过本节课的学习，你有什么收获？有什么困惑？

2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程

ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。

四、作业：

1. 二次函数y=x2-3x-18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。

2.已知函数y=x2-x-2。

(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象

(2)观察图象确定：x取什么值时，①y=0，②y>0;③y<0。

五、板书：

第八课时：　用函数的观点看一元二次方程(2)

教学目标：

1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。

2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程，掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。

3.提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。

难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。

教学过程：

一、复习巩固 导入新课

1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解？

2.画出函数y=2x2-3x-2的图象，求方程2x2-3x-2=0的解。

学生练习的同时，教师巡视指导，根据学生情况进行讲评。 (解：略)

二、探索问题 学习新知

1、问题1：初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2=12x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2-12x-3=0，画出函数y=x2-12x-3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和y=12x+2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标-32和2就是原方程的解。

思考：

(1). 这两种解法的结果一样吗？ 小刘解法的理由是什么？

(让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。)

(2).函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？

(3)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗？

(4).如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点，一元二次方程x2=bx+c的解怎样？

2、做一做(验证一下问题1的思路是否正确)

利用图像解下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。

(1)x2+x-1=0(精确到); (2)2x2-3x-2=0。

注意：①要把(1)的方程转化为x2=-x+1，画函数y=x2和y=-x+1的图象；

②要把(2)的方程转化为x2=32x+1，画函数y=x2和y=32x+1的图象；

3、运用新知

已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3，4m)。

(1)求这两个函数的关系式；

(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。

解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2=mx+1上，所以有4m=3m+1，解得m=1

所以y1=x+1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上，所以有

4=18-24+k+8 解得 k=2 所以y1=2x2-8x+10

(2)依题意，得y=x+1y=2x2-8x+10 解这个方程组，得x1=3y1=4 ，x2==

所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(，)。

三、小结： 1.如何用画函数图象的方法求方程韵解？

2.你能根据方程组：y=x2y=bx+c的解的情况，来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗？请说说你的看法。

四、作业：

1. 利用函数的图象求下列方程的解：

(1)x2+x-6=0;， (2) y=x2+xy=5x-4

2.填空。

(1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。

(2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______。

4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。

(1)求抛物线的关系式；

(2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标。

五、板书：

第九课时　　实际问题与二次函数

教学目标：

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，应用函数的性质解答数学问题

难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，

教学过程：

一、复习旧知 导入新课

1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=6x2+12x; (2)y=-4x2+8x-10

以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。

二、学习新知

1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题

出示例1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？

解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30-L)m，由于L>0，且30-L>O，所以O

围成的矩形面积S与L的函数关系式是

S=L(30-L)

即S=-L2+30L

(有学生自己完成，老师点评)

2、引导学生自学P23页例2 质疑 点评

3、练一练：

(1)、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

请同学们完成解答； 教师巡视、指导； 师生共同完成解答过程：

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。

商品每天的利润y与x的函数关系式是： y=(10-x-8)(100+1OOx)

即y=-1OOx2+1OOx+200 配方得y=-100(x-12)2+225

因为x=12时，满足0≤x≤2。 所以当x=12时，函数取得最大值，最大值y=225。

所以将这种商品的售价降低元时，能使销售利润最大。

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：

(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围；

(3)研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：

(5)解决提出的实际问题。

4、综合练习：P26 习题第1、2、3题。

三、小结：　1.通过本节课的学习，你学到了什么知识？存在哪些困惑？

2.谈谈你的收获和体会。

四、作业：

1.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大？

2.填空：

(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时，自变量x的值是______;

(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，那么m的值是______。

3.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。

(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？

(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论？

选做题：用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

五、板书

第十课时实际问题与二次函数

教学目标：

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点：根据实际问题建立二次函数不同的数学模型，应用函数的性质解答数学问题

难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，

教学过程：

一、复习旧知 导入新课

(1)建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+52x+32，请回答下列问题：

(1)花形柱子OA的高度；

(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？

(2).如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=-15x2+

二、学习新知

1、引导学生自学P24页例2(既探究2) 质疑 点评

出示例3 P25 引导学生应用不同的方法去构建数学模型

重点讲解例3

2、练一练：

(1).如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

三、小结：

1.通过本节课的学习，你学到了什么知识？存在哪些困惑？

2.谈谈你的收获和体会。

四、作业：

一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB=时，涵洞顶点与水面的距离为。这时，离开水面处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?

五、板书

第十一课时《二次函数》小结与复习1

教学目标：

1、 理解二次函数的概念，掌握二次函数y=ax2的图象与性质；

2、 会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向；

3、 能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。

重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，由图象概括二次函数y=ax2图象的性质。

难点：二次函数图象的平移。

教学过程：

一、结合例题，强化练习，梳理知识点

1.二次函数的概念，二次函数y=ax2 (a≠0)的图象性质。

例1：已知函数 是关于x的二次函数，

求：(1)满足条件的m值；

(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点。这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

(3)m为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？

学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。

抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。

2.强化练习；已知函数 是二次函数，其图象开口方向向下，则m=_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。

3.用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，

例2：用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y=-3x2。

学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。

4.教师归纳点评：

(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系： y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a

(2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。

5.综合应用。

例3：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。

(1)求直线和抛物线的解析式；

(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

6. 强化练习：

(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y=x2-2x+1，求：b与c的值。

(2)通过配方，求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标再画出图象。

(3)函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1，b)，求：

a和b的值

抛物线y=ax2的顶点和对称轴；

x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大，

求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

二、课堂小结

1.让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。

三、作业：

填空。

1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点，则m=______。

2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2，b)，则k=______，b=______。

3.抛物线y=-13(x-1)2+2可以由抛物线y=-13x2向______方向平移______个单位，再向______方向平移______个单位得到。

4.用配方法把y=-12x2+x-52化为y=a(x-h)2+k的形式为y=_____，其开口方向______，对称轴为______，顶点坐标为______。

第十二课时《二次函数》小结与复习2

教学目标：

1、 会用待定系数法求二次函数的解析式，

2、 能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，

3、 能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。

重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。

难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。

教学过程：

一、结合例题，强化练习，梳理知识点

1、用待定系数法确定二次函数解析式。

例1：根据下列条件，求出二次函数的解析式。

(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0，1)，(1，3)，(-1，1)三点。

(2)抛物线顶点P(-1，-8)，且过点A(0，-6)。

(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3，0)，(2，-3)两点，并且以x=1为对称轴。

(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。

学生活动：学生讨论，四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。分组完成，点评解题要点。

教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)

(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

2、强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。

(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；

(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。

二、综合练习

1、出示例2：如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标，

(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。

学生活动：学生小组讨论交流。

教师归纳：

2、 强化练习；已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。

(1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。

(2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。

(3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。

三、课堂小结

同位同学相互说说二次函数有哪些性质

归纳二次函数三种解析式的实际应用。

四、作业：

一、填空。

1. 如果一条抛物线的形状与y=-13x2+2的形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，则它的解析式是_____。

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且过(3，0)，则a+b+c=______。

二、选择。

1.如图(1)，二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，则下列结论成立的是( )

>0，bc>0 B. a<0，bc<0 C. a>O，bc0

2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示，那么函数解析式为( )

=-x2+2x+3 B. y=x2-2x-3

=-x2-2x+3 D. y=-x2-2x-3

3.若二次函数y=ax2+c，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为( )

+c B. a-c C.-c D. c

4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示，下列结论中： ①abc>0，②b=2a;③a+b+c<0，④a-b+c>0，正确的个数是( )

个 个 C. 2个 个

三、解答题。

已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。

(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点，

(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB，以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)

(3)设△ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。

数学《二次函数》优秀教案【第三篇】

一、教材分析

1．教材的地位和作用

（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届佛山市中考试题中，二次函数都是必不可少的内容。

（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。

2．课标要求：

①通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

②会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

③会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）。

④会根据二次函数的性质解决简单的实际问题。

3．学情分析：

（1）初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。

（2）学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。

（3）学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。

（4）学生能力差异较大，两极分化明显。

4．教学目标

◆认知目标

（1）掌握二次函数 y=图像与系数符号之间的关系。通过复习，掌握各类形式的二次函数解析式求解方法和思路，能够一题多解，发散提高学生的创造思维能力。

◆能力目标

提高学生对知识的整合能力和分析能力。

◆ 情感目标

制作动画增加直观效果，激发学生兴趣，感受数学之美。在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会感受探索与创造，体验成功的喜悦。

5．教学重点与难点：

重点：(１)掌握二次函数y=图像与系数符号之间的关系。

（２） 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路。

（３）本节课主要目的，对历届中考题中的。二次函数题目进行类比分析，达到融会贯通的作用。

难点：(1)已知二次函数的解析式说出函数性质

（2）运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决几何问题。

二、教学方法：

1、 运用多媒体进行辅助教学，既直观、生动地反映图形变换，增强教学的条理性和形象性，又丰富了课堂的内容，有利于突出重点、分散难点，更好地提高课堂效率。

2．将知识点分类，让学生通过这个框架结构很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络。

3．师生互动探究式教学，以课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学．形成学生自动、生生助动、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教，让每一个学生都能获得知识，能力得到提高。

三、学法指导：

1．学法引导

“授人之鱼，不如授人之渔”在教学过程中，不但要传授学生基本知识，还要培育学生主动思考，亲自动手，自我发现等能力，增强学生的综合素质，从而达到教学终极目标。

2．学法分析：新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主学习，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。

3、设计理念：《课标》要求，对于课程实施和教学过程，教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要．”

4、设计思路：不把复习课简单地看作知识点的复习和习题的训练，而是通过复习旧知识，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。

四、教学过程：

1、教学环节设计：

根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点．

本节课的教学设计环节：

◆创设情境，引入新知 ：复习旧知识的目的是对学生新课应具备的“认知前提能力”和“情感前提特征进行检测判断”。学生自主完成，不仅体现学生的自主学习意识，调动学生学习积极性，也能为课堂教学扫清障碍。为了更好地理解、掌握二次函数图像与系数之间的关系，根据不同学生的学习需要，按照分层递进的教学原则，设计安排了6个由浅入深的题型，让每一个学生都能为下一步的探究做好准备。

◆自主探究，合作交流：本环节通过开放性题的设置，发散学生思维，学生对二次函数的性质作出全面分析。让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自主探索，合作探究的能力。通过学生观察、思考、交流，经历发现过程，加深对重点知识的理解。

◆运用知识，体验成功：根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能。让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦。

安排三个层次的练习。

（一）从定义出发的简单题目。

（二）典型例题分析，通过反馈使学生掌握重点内容。

（三）综合应用能力提高。

既培养学生运用知识的能力，又培养学生的创新意识。引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化，条理化，网络化，对在获取新知识中体现出来的数学思想、方法、策略进行反思，从而加深对知识的理解。并增强学生分析问题，运用知识的能力。

（四）方法与小结

由总结、归纳、反思，加深对知识的理解，并且能熟练运用所学知识解决问题。

2、作业设计：（见课件）

3、板书设计：（见课件）

五、评价分析：

本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、探索、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。本节教学过程主要由创设情境，引入新知――合作交流；探究新知――运用知识，体验成功；知识深化――应用提高；归纳小结――形成结构等环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流“的《数学新课标》要求。本设计同时还注重发挥多媒体的辅助作用，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学。

初中二次函数教案【第四篇】

教学目标：

（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

（2）培养学生的归纳、总结能力；

（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想。

教学重点：

理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法。

教学难点：

两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆。

教学活动设计

（一）实际问题（引入）

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象。（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

两圆的公切线概念

1、概念：

教师引导学生自学。给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。

(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。

2、理解概念：

(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系？

(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系？

(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长。但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点。

(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量。

（三）两圆的位置与公切线条数的关系

组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力。添写教材P143练习第2题表。

（四）应用、反思、总结

例1 、已知：⊙O 1 、⊙O 2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O 1 O 2 =13cm，AB是⊙O 1 、⊙O 2的外公切线，切点分别是A、B。求：公切线的长AB。

分析：首先想到切线性质，故连结O 1 A、O 2 B，得直角梯形AO 1 O 2 B。一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质。（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）

解：连结O 1 A、O 2 B，作O 1 A⊥AB，O 2 B⊥AB。

过O 1作O 1 C⊥O 2 B，垂足为C，则四边形O 1 ABC为矩形，

于是有

O 1 C⊥C O 2，O 1 C= AB，O 1 A=CB。

在Rt△O 2 CO 1和。

O 1 O 2 =13，O 2 C= O 2 B- O 1 A=5

AB= O 1 C= (cm)。

反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法。

例2* 、如图，已知⊙O 1 、⊙O 2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长。

分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解。证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP。因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解。

解：过点P作两圆的公切线CD

∵ AB是⊙O 1和⊙O 2的切线，A、B为切点

∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP

又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

∴∠CPA+∠CPB=90°即∠APB=90°

在Rt△APB中，AB 2 =AP 2 +BP 2

说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系。

（五）巩固练习

1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成(　)

(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对。

此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)

2、外公切线是指

(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离

(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线

直接运用外公切线的定义判断。答案：(D)

3、教材P141练习（略）

（六）小结（组织学生进行）

知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；

能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；

思想：“转化”思想。

（七）作业：P151习题10，11。