圆和圆的位置关系（精编2篇）

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课时 圆和圆的位置关系1

教学目标：

1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质；

2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；

3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力．

教学重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．

教学难点：

两圆位置关系及判定．

（一）复习、引出问题

1．复习：直线和圆有几种位置关系？各是怎样定义的？

（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢？

（二）观察、分类，得出概念

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系，准确给出描述性定义：

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．（图（1））

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．（图（2））

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．（图（3））

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图（4））

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））．两圆同心是两圆内含的一个特例．  （图（6））

2、归纳：

（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点．

（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）．

教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．

（三）分析、研究

1、相切两圆的性质．

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征．

设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）

两圆外切 d＝R+r；

两圆内切 d＝R-r (R＞r)；

两圆外离 d＞R+r；

两圆内含 d＜R-r(R＞r)；

两圆相交 R-r＜d＜R+r．

说明：注重“数形结合”思想的教学．

（四）应用、练习

例1：  如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？

（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？

解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则

PA=PO-OA

∴PA=3cm．

（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则

PB=PO+OB

∴PB=1 3cm．

例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．

求证：⊙O与⊙B相外切．

证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，

∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点

∴ ，∵∠C=90°且BC=8，

∴ ，

∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ，

∴BO= ，∴⊙O与⊙B相外切．

练习(P₁₃₈)

（五）小结

知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；

③两圆相切时切点在连心线上的性质．

能力：观察、分析、分类、数形结合等能力．

思想方法：分类思想、数形结合思想．

（六）作业

教材P151中习题A组2，3，4题．

第二课时 相交两圆的性质

教学目标

1、掌握相交两圆的性质定理；

2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；

3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；

4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美．

教学重点

相交两圆的性质及应用．

教学难点

应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．

教学活动设计

（一）图形的对称美

相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢？

（二）观察、猜想、证明

1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．

2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．

3、证明：

对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成．

已知：⊙O₁和⊙O₂相交于A，B．

求证：Q₁O₂是AB的垂直平分线．

分析：要证明O₁O₂是AB的垂直平分线，只要证明O₁O₂上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O₁A、O₂A、O₁B、O₂B．

证明：连结O₁A、O₁B、 O₂A、O₂B，∵O₁A=O₁B，

∴O₁点在AB的垂直平分线上．

又∵O₂A＝O₂B，∴点O₂在AB的垂直平分线上．

因此O₁O₂是AB的垂直平分线．

也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

∵⊙O_l和⊙O₂，是轴对称图形，∴直线O₁O₂是⊙O_l和⊙O₂的'对称轴．

∴⊙O_l和⊙O₂的公共点A关于直线O₁O₂的对称点即在⊙O_l上又在⊙O₂上．

∴A点关于直线O₁O₂的对称点只能是B点，

∴连心线O₁O₂是AB的垂直平分线．

定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．

注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．

（三）应用、反思

例1、已知两个等圆⊙O_l和⊙O₂相交于A，B两点，⊙O_l经O_2。

求∠O_lAB的度数．

分析：由所学定理可知，O₁O₂是AB的垂直平分线，

又⊙O₁与⊙O₂是两个等圆，因此连结O₁O₂和AO₂，AO₁，△O₁AO₂构成等边三角形，同时可以推证⊙O_l和⊙O₂构成的图形不仅是以O₁O₂为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由

∠O_lAO₂＝60°，推得∠O_lAB＝30°．

解：⊙O₁经过O₂，⊙O₁与⊙O₂是两个等圆

∴O_lA= O₁O₂= AO₂

∴∠O₁A O₂=60°，

又AB⊥O₁O₂

∴∠O_lAB =30°．

例2、已知，如图，A是⊙O_l、⊙O₂的一个交点，点P是O₁O₂的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O_l、⊙O₂于M、N。

求证：AM=AN．

证明：过点O_l、O₂分别作O_lC⊥MN、O₂D⊥MN，垂足为C、D，则O_lC∥PA∥O₂D，且AC=AM，AD=AN．

∵O_lP= O₂P ，∴AD=AM，∴AM=AN．

例3、已知：如图，⊙O_l与⊙O₂相交于A、B两点，C为⊙O_l上一点，AC交⊙O₂于D，过B作直线EF交⊙O_l、⊙O₂于E、F．

求证：EC∥DF

证明：连结AB

∵在⊙O₂中∠F=∠CAB，

在⊙O_l中∠CAB=∠E，

∴∠F=∠E，∴EC∥DF．

反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解．

（四）小结

知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据．

能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用．

（五）作业  教材P152习题A组7、8、9题；B组1题．

探究活动2

问题1：已知AB是⊙O的直径，点O₁、O₂、…、O_n在线段AB上，分别以O₁、O₂、…、O_n为圆心作圆，使⊙O₁与⊙O内切，⊙O₂与⊙O₁外切，⊙O₃与⊙O₂外切，…，⊙O_n与⊙O_n-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的周长分别为C₁、C₂、…、C_n．

（1）当n=2时，判断C_l+C₂与C的大小关系；

（2）当n=3时，判断C_l+C₂+ C₃与C的大小关系；

（3）当n取大于3的任一自然数时，C_l十C₂十…十C_n与C的大小关系怎样？证明你的结论．

提示：假设⊙O、⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的半径分别为r、r_l、r₂、…、r_n，通过周长计算，比较可得（1）C_l+C₂=C；（2）C_l+C₂+ C₃=C；（3）C_l十C₂十…十C_n=C．

问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？

提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转．

2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了．在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转

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