总结求逆矩阵方法精编5篇

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ansys求电感的方法总结1

LMATRIX

LMATRIX宏可以计算任意线圈组中每个线圈的微分电感矩阵和总磁链。参见《ANSYS理论手册》第5章。

LMATRIX宏用于在静磁场分析的一个“工作点”上计算任意一组导体间的微分电感矩阵和磁链。“工作点”被定义为在系统上加工作（名义）电流所得到的解，该宏命令既可用于线性求解也可用于非线性求解。

必须用波前求解器来计算“工作点”的解。

LMATRIX宏的计算依赖于对工作点进行求解的过程中建立的多个文件。该宏在执行求解之前在这些文件前面加一个前缀OPER来重命名文件，并在完成求解后自动保存这些文件。用户自己也可以保存这些文件的拷贝以进行备份。该宏命令返回一个N×N＋1矩阵参数，N×N部分表示N-绕组系统的微分电感值，此处N表示系统中的线圈数。N＋1列表示总磁链。第I行表示第I个线圈。另外，电感矩阵的值还以文本文件的格式输出，以供外部使用。文件中第一个列表表示每个线圈的磁链。第二个列表表示微分电感矩阵的上三角部分。

命令：LMATRIX

GUI：Main Menu>Solution>-Solve-Electromagnet>-Static Analysis-Induct Matrix 在调用LMATRIX宏之前，还需要给线圈单元赋一个名义电流值。对于使用磁矢势（MVP）法或基于棱边元方法进行求解的静磁分析，可以使用BFV、BFA或BFE命令来给线圈单元赋名义电流（以电流密度的方式）。对于使用简化标势法（RSP）、差分标势法（DSP）和通用标势法（GSP）的静磁分析，可以使用SOURCE36单元的实常数来给线圈单元赋名义电流。

为了使用LMATRIX宏，必须事先用*DIM命令定义一个N阶数组，N为线圈数，数组的每行都表示一个线圈。数组的值等于线圈在工作点时每匝的名义电流值，且电流值不能为零，当确实有零电流时，可以用一个很小的电流值来近似。另外，还需用CM命令把每个线圈的单元组合成一个部件。每组独立线圈单元的部件名必须是用一个前缀后面再加线圈号来定义。一个线圈部件可由标量（RSP/DSP/GSP）或矢量单元（MVP）混合组成，最重要的一点是这些单元的激励电流与前面数组中所描述的电流相同。

在LMATRIX宏中需定义一个用于保存电感矩阵的数组名，用LMATRIX宏的对称系数（symfac）来定义对称性。如果由于对称性而只建了n分之一部分模型，则计算出的电感乘以n就得到总的电感值。

当工作点位于BH曲线的弯点处时，切向磁导率变化最快，会导致计算的感应系数随收敛标准而变化。为了获得更加准确的解，收敛标准要定义得更加严格一些，不仅仅是缺省值×10－3。一般在执行MAGSOLV命令时，选择×10－4或×10－5。

在使用LMATRIX命令前，不要施加（或删除）非均匀加载，非均匀加载由以下原因生成：

·自由度命令（D, DA,等）在节点或者实体模型上定义非0值 ·带有非0约束的CE命令

不要在不包含在单元组件中的单元上施加任何载荷（如current）下面的例子是一个3线圈系统，每个线圈的名义电流分别为、和安/匝，其分析的命令流如下。在这个例子中，数组名为“curr”，线圈部件名前缀为“wind”，电感矩阵的计算值存贮在名为“ind”数组中。值得注意的是，在LMATRIX命令行中，这些名字必须用单引号引起来。

*dim，cur，3！3个线圈系统数组

cur（1）=！线圈1的名义电流为安培/匝 cur（2）=！线圈2的名义电流为安培/匝 cur（3）=！线圈3的名义电流为安培/匝 esel，s„„！选择线圈1的单元

cm，wind1，elem！给选出的单元赋予部件名wind1 esel，s„„！选择线圈2的单元

cm，wind2，elem！给选出的单元赋予部件名wind2 esel，s„„！选择线圈3的单元

cm，wind3，elem！给选出的单元赋予部件名wind3 symfac=2！对称系数

Imaxtrix，symfac，’wind’，’curr’，’ind’！计算微分电感矩阵和总磁链

*stat，ind！列出ind电感矩阵

下面是以命令流方式进行的一个计算电感矩阵的例子 该例计算一个二线圈系统（永磁电感器件）在非线性工作点下的微分电感矩阵和

总磁链，其示意图如下：

几何性质：x1=, x2=, x=, y= 材料性质：μr=（空气），Hc=25（永磁体），B-H曲线（永磁体，见输入参数）

线圈1：名义电流＝安/匝，匝数＝10 线圈2：名义电流＝安/匝，匝数＝20 目标值：L11=4, L22=16, L12=8 命令流如下： /batch,list /title, Two-coil inductor with a permanent magnet /nopr!geometry data!n=1!meshing parameter x=!width(x size)of core y=!hight of core, y size of window z=1!thickness of iron in z direction x1=!width(x size)of coil 1 x2=!width(x size)of coil 2 Hcy=25!coercive magnetic field in y direction n1=10!number of turns in coil1 n2=20!number of turns in coil2！excitation data used by !symfac=1!symmetric factor for inductance computation nc=2!number of coils *dim,cur,array,nc!nominal currents of coils *dim,coils,char,nc!names of coil components!cur(1)=!nominal current of 1st coil coils(1)=“wind1”！name of coil 1 component!cur(2)=-!nominal current of 2nd coil coils(2)=“wind2”！name of coil 2 component！auxiliary parameters!mu0=* x3=x1+x2!x coordinate right to coil2 left x4=x3+2*x!x coordinate right to core x5=x4+x2!x coordinate right to coil2 right x6=x5+x1!x coordinate right to coil1 right js1=cur(1)*n1/(x1*y)！nominal current density of coil1 js2=cur(2)*n2/(x2*y)！nominal current density of coil2!/prep7 et,1,53!mp,murx,1,1!air/coil mp,mgyy,2,Hcy!coercive term Bs=2!saturation flux density Hs=100!saturation magnetic field TB,BH,2!core: H = Hs(B/Bs)^2;BS=2T;HS=100A/m *do,qqq,1,20 B=qqq/10*Bs tbpt，Hs*(B/Bs)**2,B *enddo!rect, 0,x1,0,y!coil1 left rect,x1,x3,0,y!coil2 left rect,x3,x4,0,y!core rect,x4,x5,0,y!coil2 right rect,x5,x6,0,y!coil1 right!aglue,all!asel,s,loc,x,x1/2!coil 1 volume attribute aatt,1,1,1 asel,s,loc,x,x5+x1/2 aatt,1,2,1 asel,s,loc,x,x1+x2/2!coil 2 volume attribute aatt,1,3,1 asel,s,loc,x,x4+x2/2 aatt,1,4,1 asel,s,loc,x,x3+x!iron volume attribute aatt,2,5,1 asel,all!esize，n amesh,all!nsel,s,loc,x,x6!flux parallel Dirichlet at symmetry plain, x=x6！homogeneous Neumann flux normal at yoke, x=0 d,all,az,0 nsel,all!esel,s,real，1!coil 1 left component bfe,all,JS，，js1!unite current density in coil 1!esel,s,real，2!coil 1 right component bfe,all,JS，，-js1!return unite current density in coil 1!esel,s,real，1,2 cm,coils(1)，elem!esel,s,real，3!coil 2 left component bfe,all,JS，，js2!unite current density in coil 2!esel,s,real，4!coil 2 right component bfe,all,JS，，-js2!return unite current density in coil 2!esel,s,real，3,4 cm,coils(2)，elem！allsel!fini！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！/com /com obtain operating solution /com!/soluvtol,csg， /out,scratch solve fini!/post1!/out!/com, /com, senergy,！Stored electromagnetic energy savelen=S_ENG senergy,1!Co-energy savelce=C_ENG!fini！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！compute inductance lmatrix,symfac,“wind”，“cur”，“ind”，！compute inductance matrix and flux!/com finish 你将得到如下结果：

SUMMARY OF STORED ENERGY CALCULATION Load Step Number: Number::+01 Material Number ofStored EnergyMaterial Description NumberElements（J/m)。.-+_____________________________________________________________________ T O T A L5.-+00 Note: The energy density for the active elements used in the energy calculation is stored in the element item “MG_ENG” for display and total stored energy is saved as parameter(S_ENG)SUMMARY OF COENERGY CALCULATION Load Step Number: Number::+01 Material Number ofCoenergyMaterial Description NumberElements(J/m)。.+_____________________________________________________________________ T O T A +00 Note: The co-energy density for the active elements used in the co-energy calculation is stored in the element item “MG_COENG” for display and total coenergy is saved as parameter(C_ENG)_____________________________________________________________________ ________________ LMATRIX SOLUTION SUMMARY ___________________ Flux linkage of coil1.=+01 Flux linkage of coil2.=+01 Self inductance of coil1.=+01 Self inductance of coil2.=+02 Mutual inductance between =+01 Inductance matrix is stored in array parameter ind(2.， 3.）Inductance matrix is stored in file

读书破万卷下笔如有神，以上就是差异网为大家整理的5篇《总结求逆矩阵方法》，能够帮助到您，是差异网最开心的事情。

总结求逆矩阵方法2

总结求逆矩阵方法

直接算会死人的。根据矩阵特点用不用的分解，写成几个例程，每次实验之前进行尝试，根据尝试结果在算法里决定里决定用哪个。

irst 我想问：

1、全阶矩阵A的求逆运算inv(A)和稀疏矩阵B（阶数和a一样）的求逆运算inv(B)是不是采取一样的方法啊？也就是说他们的计算量是不是一样的啊？不会因为是稀疏矩阵就采取特殊的方法来处理求逆吧？

我电脑内存256M，做4096*4096的矩阵求逆还可以，上万阶的就跑不动了

稀疏存储方式会减少不必要的计算，虽然原理还是一样，不过

计算量大大减少了。

2、如果一个矩阵C非零元素都集中在主对角线的周围，那么对C求逆最好 应该采用什么样的方法最好呢？

一般还是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩阵对角占优就更好办了。

只不过还是需要稀疏存储。

稀疏矩阵的逆一般不会是稀疏矩阵，所以对高阶的稀疏矩阵求逆，是不可行的，对1万阶的全矩阵需要的内存差不多已经达到了pc的极限，我想最好的办法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次数就有限，效率还是很高的。

不过求逆运算基本上就是解方程，对稀疏矩阵，特别是他那种基本上非零元素都在对角线附近的矩阵来说，LU分解不会产生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。

如果用迭代法，好像也就是共轭梯度法了。

C的资源网络上有很多 google一下

或者到上找找

或者用IMSL for C 或者用Lapack

或者用Matlab+C混合编程

有现成代码，但要你自己找了 也可以使用程序库

second

30,000*30,000的稀疏矩阵求逆如何实现？

试试基于krylov子空间方法的算法吧。

如arnoldi和GMRES方法。

matlab中有函数可以直接调用。

直接help gmres就可以了。

如果效果还不好。

就用用预处理技术。

比如不完全lu预处理方法。等等。

各种各样的预处理+GMRES是现在解决大规模稀疏矩阵的主力方法。

维数再多还是用不完全LU分解预处理+CG or Gmres 我一个同学这么求过200W阶的矩阵

求逆一般是不可取的，无需多说。但稀疏矩阵的直接解法还是不少的。基本上都是对矩阵进行重新排序以期减少填充或运算量。

在matlab里面，有许多算法可以利用：

colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm.根据是否对称，采用LU分解或者chol分解。

这些算法在internet上搜一下，很多都有相应的C或fortran版本。

稀疏矩阵的存储最常见的是压缩列（行）存储，最近发现一种利用hash表来存储的，其存取复杂度是O（1），很是不错。有幸趣的可以看看下面网页咯，作者提供了源程序。

事实上Hash表存储的效率也跟Hash算法有关，弄不好的话，不见得比直接按行或者列

顺序检索快。而且规模越大，效率肯定越来越低。

http:///~brey/

对称正定的稀疏矩阵很好办啊，用LU分解就可以了。

如果维数实在太大，比如超过10^4量级，那就只能用

共轭梯度法之类的迭代法求解了。好多文献中用Cholesky分解处理的，好像结果还可以

你觉得LL’分解不会破坏矩阵的稀疏性么——如果矩阵不是带状的话？

而且数值稳定性也有问题。

对于一些注入元不是很多的矩阵这应该是个好办法。

但是对于有些矩阵，LU分解后可能就把整个矩阵充满了。~ 这是比较郁闷的事情。

third

带状矩阵的逆有快速算法吗？

我觉得这个说法不对，至少在Matlab里面，使用稀疏矩阵求逆对于效率的提高还是很显著的。利用稀疏特性，很多对于零元素的操作就省掉了。如果原矩阵还是对称的，可以考虑三角分解，把单位阵的列向量作为右端项，求解得到的是对应的逆阵的列向量。

但是，按照前辈的说法，“绝大部分情况下，求逆阵肯定不是必需的”，这一说法我现在还是挺赞同的。至少，一般我们不会在有限元求解或者普通的线性方程组求解的时候，是先对系数矩阵求逆的吧。所以，我认为，逆阵在数学上很漂亮，对于公式推导有所帮助，但是在数值计算中是应该尽量避免直接计算它的，而且，更重要的是，在绝大部分情况下，是可以避免的。

经典求极限方法3

求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim x1x1

说明x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。解lim(x1)(x1)(x21)

x1x1limx1(x1)(x21)6=4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限limx3x2

x3x31 说明

型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。x3

解limx211

x1

x3x31limx3

x33

注(1)一般分子分母同除x的最高次方；



axnan10mn

(2)limnn1xa0

xbmm1mn

mxbm1xb0an

bmn

n

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限xlim(x23x21)

说明分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。解lim(x22(x23x21)(x23x21)

x3x1)xlimx23x21 xlim2x23x210

例4：求极限limtanxsinx

x0x3 解limtanxsinxtanxsin

x0x3limxx0x3tanxsinx

lim

x0

tanxsinx1tanxsinx1

lim 33x0x024xxtanxsinx

lim

注本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键

4．应用两个重要极限求极限

sinx11

1和lim（1）xlim（1）nlim(1x)xe，第两个重要极限是lim

x0xnx0xxn

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1

例5：求极限lim

xx1

说明第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑数部分。

x1122122x12解limlim1lim1x11e xx1xxx1x1

x

x

x，最后凑指X

1x2a

例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xx

xxa5．用等价无穷小量代换求极限 说明

（1）常见等价无穷小有：

1x)~e1, 当x0 时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(12b

x,1ax1~abx； 2

（2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式； ．．

1cosx~

x

xx

（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．

xln(1x)



x01cosxxln(1x)xx

解limlim01cosxx02

x2

sinxx

例8：求极限lim

x0tan3x

例7：求极限lim

1xsinxxsinxxcosx11limlimlim解lim 322x0tan3xx0x0x06x3x3x

6．用罗必塔法则求极限

例9：求极限limlncos2xln(1sin2x)

x0x2

说明



或0

0型的极限，可通过罗必塔法则来求。2sin2x解limlncos2xln(1sin2x)sin2x

2x0x2limx02x

lim

sin2xx02x2cos2x1

1sin2x

3 注许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

x

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim

0

(xt)f(t)dt

x0

x(xt)dt

u解 由于



x

x

f(xt)dtx

t

x

f(u)（du）0

f(u)du,于是

x

x

x

lim



(xt)f(t)dt

lim

x0

f(t)dt0

tf(t)dt

x0

xxx

f(xt)dt

x0

x0f(u)du

x

xf(x)xf(x)

=lim

0

f(t)dtx

f(t)dt

x0



x

=lim)duxf(x)

x0



x

f(u0

f(u)duxf(x)



x

f(t)dt

=lim

f(0)x0

x

=



f(0)f(0)1

。f(u)du

xf(x)

7．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

2例11：极限limx

x0

[1ln(1x)]

x)]

解limx

x

ln[1ln(1x)]lim

2ln[1ln(10

x

x0

[1ln(1x)]=limx0

e

=e

xe

xlim

2ln(1x)

0

x

e2.注对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf（x)g(x)(1）=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf（x)g(x)elimg(x)ln(f(x)）elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

例12：求极限lim1

2cosxxx0x

31。

xln2cosx

2cosx



3

解1 原式lim

e

1lnx0

x3

lim3x0x1

limln（2cosx）ln3sinx）

x0x2limx02x112lim

x02cosxsinxx1

xlne

2cosx

2cosx

3

解2 原式lim

1ln

x0

x3

lim3x0x2

ln（1

cosx1）

lim

cosx0

x

2limx11x03x26 8．利用Taylor公式求极限

13求极限 limaxax例2

x0x

2,(a0)。解axe

xlna

xlnax212

ln2

a(x2)，a

x

1xlnax2ln2

a(x22)；

axax2x2ln2a（x2)。limaxax2x0x2limx2ln2a(x2）x0x

2ln2

a.例14求极限lim11x0x(x

cotx)。解limx0

111sinxxcosx

（cotx）lim x0xxxxsinx

x3x23

x(x)x[1(x2)]lim 3x0x113

)x(x3)

lim3x0x3.（9．数列极限转化成函数极限求解

1

例15：极限limnsin

nn

说明这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1

解考虑辅助极限limxsin

xx

x2

n2

lime

x

1

x2xsin1

x

lime

y0

11

siny12yy

e



1

所以，limnsin

nn

n2

e



10．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两边夹法则求极限。111

例16：极限lim22nn222n2n2n1



 

说明用定积分的定义把极限转化为定积分计算，是把f(x)看成［0,1］定积分。

11

limfnnn2

fn1n

ff(x)dx 0n

1111

解原式＝lim

222nn12n

11

nnn

 



121

dxln

2221x



 

111

例17：极限lim2nn22n2nn1

112n

说明(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成limfffnnnnn的形式，因而用两边夹法则求解；

（2）两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

111

解lim2nn22n2nn1

因为



 

nnn

n

1n1



1n2nn1



1nn



nn1

又lim

n

nn

lim

n

1



＝1 

所以lim

111

2nn22n2nn1

12．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1，xn1sinxn（n1,2,）

（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim。n

xn

分析 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。详解（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11。可推得 0xn1sinxn1，n1,2,，则数列xn有界。于是

xn1sinxn

sinxx）1，（因当x0时，则有xn1xn，可见数列xn单

xnxn

n

调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在。imxn0.设limxnl，在xn1s得 lsinl，解得l0，即linxn两边令n，n

n

x

（Ⅱ）因 limn1

n

xn

2xn

sinxnxn2

，由（Ⅰ）知该极限为1型，limn

xn

11sinx1xx

sinxx2

1

limsinxx0x

xlime

x0

lime

x0

x

e（使用了罗必塔法则）



x

故 limn1

n

xn

xn

1sinxnxnlime6.n

xn

稀疏矩阵及其压缩存储方法4

稀疏矩阵及其压缩存储方法 1.基本概念

稀疏矩阵(SparseMatrix)：是矩阵中的一种特殊情况，其非零元素的个数远小于零元素的个数。

设m行n列的矩阵含t个非零元素，则称

以二维数组表示高阶的稀疏矩阵时，会产生零值元素占的空间很大且进行了很多和零值的运算的问题。

特殊矩阵：值相同的元素或0元素在矩阵中的分布有一定的规律。如下三角阵、三对角阵、稀疏矩阵。

压缩存储：为多个值相同的元素只分配一个存储空间；对0元素不分配空间。目的是节省大量存储空间。

n x n的矩阵一般需要n2个存储单元，当为对称矩阵时需要n(1+n)/2个单元。

2、三元组顺序表——压缩存储稀疏矩阵方法之一（顺序存储结构）

三元组顺序表又称有序的双下标法，对矩阵中的每个非零元素用三个域分别表示其所在的行号、列号和元素值。它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。当矩阵中的非0元素少于1/3时即可节省存储空间。（1）稀疏矩阵的三元组顺序表存储表示方法

#define MAXSIZE 12500 // 假设非零元个数的最大值为12500 typedef struct { int i, j;// 该非零元的行下标和列下标 ElemType e;//非零元素的值 } Triple;// 三元组类型 typedef union { //共用体

Triple data[MAXSIZE + 1]；// 非零元三元组表，data[0]未用 int mu, nu, tu;// 矩阵的行数、列数和非零元个数 } TSMatrix;// 稀疏矩阵类型（2）求转置矩阵的操作

◆用常规的二维数组表示时的算法 for(col=1;col<=nu;++col)for(row=1;row<=mu;++row)T[col][row] = M[row][col]；其时间复杂度为: O(mu×nu)◆ 用三元组顺序表表示时的快速转置算法

Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T){ // 采用三元组顺序表存储表示，求稀疏矩阵M的转置矩阵T = ; = ; = ;if(){ for(col=1;col<=;++col)num[col] = 0;for(t=1;t<=;++t)++num[[t]。j]；// 求 M 中每一列所含非零元的个数 cpot[1] = 1;for(col=2;col<=;++col)cpot[col] = cpot[col-1] + num[col-1]；// 求 M 中每一列的第一个非零元在 中的序号 for(p=1;p<=;++p){ // 转置矩阵元素 col = [p]。j;q = cpot[col]；[q]。i =[p]。j;[q]。j =[p]。i;[q]。e =[p]。e;++cpot[col]；} // for } // if return OK;} // FastTransposeSMatrix 其时间复杂度为: O(mu +nu)

3、行逻辑联接的顺序表——压缩存储稀疏矩阵方法之二（链接存储结构）

行逻辑联接的顺序表：稀疏矩阵中为了随机存取任意一行的非0元素，需要知道每一行的第一个非0元素在三元组表中的位置，因此将上述快速转置算法中指示行信息的辅助数组cpot固定在稀疏矩阵的存储结构中，让每一行对应一个单链表，每个单链表都有一个表头指针，这种“带行链接信息”的三元组表即称为行逻辑联接的顺序表。（1）行逻辑联接的顺序表的表示法

#define MAXMN 500 // 假设矩阵行数和列数的最大值为500 typedef struct { Triple data[MAXSIZE + 1]；// 非零元三元组表，data[0]未用 int rpos[MAXMN + 1]；// 指示各行第一个非零元的位置 int mu, nu, tu;// 矩阵的行数、列数和非零元个数 } RLSMatrix;// 行逻辑链接顺序表类型（2）求矩阵乘法的操作 ◆ 矩阵乘法的精典算法: for(i=1;i<=m1;++i)for(j=1;j<=n2;++j){ Q[i][j] = 0;for(k=1;k<=n1;++k)Q[i][j] += M[i][k] * N[k][j]；} 其时间复杂度为：O(m1 n1 n2)◆ 用行逻辑联接的顺序表表示时的矩阵乘法

Status MultSMatrix(RLSMatrix M, RLSMatrix N, RLSMatrix &Q){ //求矩阵乘积Q=M*N，采用行逻辑链接存储表示。if(!= )return ERROR; = ; = ; = 0;// Q初始化 if(*!= 0){ // Q是非零矩阵

for(arow=1;arow<=;++arow){ // 处理M的每一行 ctemp[] = 0;// 当前行各元素累加器清零 [arow] = +1;

if(arow<)tp=[arow+1]；else {tp=+1} for(p=[arow]；p<[arow+1]；++p){

//对当前行中每一个非零元找到对应元在N中的行号 brow=[p]。j;

if(brow<)t = [brow+1]；else { t = +1 } for(q=[brow]；q

for(ccol=1;ccol MAXSIZE)return ERROR;[] = {arow, ccol, ctemp[ccol]}；} // if } // for arow } // if

return OK;} // MultSMatrix 上述算法的时间复杂度分析：

◆ 累加器ctemp初始化的时间复杂度为O（ x )◆求Q的所有非零元的时间复杂度为O( x /)◆ 进行压缩存储的时间复杂度为O( x )总的时间复杂度就是O( x + x /)。若M是m行n列的稀疏矩阵，N是n行p列的稀疏矩阵，则M中非零元的个数 = d M x m x n，N中非零元的个数 = d N x n x p，相乘算法的时间复杂度就是 O(m x p x(1+nd Md N)），当d M< 和d N<及 n<1000时，相乘算法的时间复杂度就相当于 O(mxp)。

显然，这是一个相当理想的结果。如果事先能估算出所求乘积矩阵Q不再是稀疏矩阵，则以二维数组表示Q，相乘的算法也就更简单了。

4、十字链表——压缩存储稀疏矩阵方法之三（链接存储结构）

（1）基本概念 十字链表：是既带行指针又带列指针的链接存储方式，每个三元组结点处于所在行单链表与列单链表的交点处，当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，用这种存储结构更为恰当。

在十字链表中，每个非零元可用一个含五个域的结点表示，其中 i, j 和e 三个域分别表示该非零元所在的行、列和非零元的值，向右域 right 用以链接同一行中下一个非零元，向下域down 用以链接同一列中下一个非零元。同一行的非零元通过 right 域链接成一个线性链表，同一列的非零元通过 down 域链接成一个线性链表，每个非零元既是某个行链表中的一个结点，又是某个列链表中的一个结点，整个矩阵构成了一个十字交叉的链表，故称这样的存储结构为十字链表，可用两个分别存储行链表的头指针和列链表的头指针的一维数组表示之。例如：矩阵M的十字链表如下图所示。

假设非空指针 pa和 pb分别指向矩阵A和B中行值相同的两个结点，pa == NULL 表明矩阵A在该行中没有非零元，则上述四种情况的处理过程为：

（1）若pa==NULL或pa->j 〉pb->j，则需要在A矩阵的链表中插入一个值为bi,j的结点。此时，需

改变同一行中前一结点的right域值，以及同一列中前一结点的down域值。(2)若pa->j〈 pb->j，则只要将pa指针往右推进一步。

（3）若pa->j == pb->j且pa->e＋pb->e!=0，则只要将ai,j＋bi,j 的值送到pa所指结点的e域即

可，其它所有域的值都不变。

（4）若pa->j == pb->j且pa->e＋pb->e == 0，则需要在A矩阵的链表中删除pa所指的结点。此时，需改变同一行中前一结点的right域值，以及同一列中前一结点的down域值。

为了便于插入和删除结点，还需要设立一些辅助指针。其一是，在A的行链表上设pre指针，指

示pa所指结点的前驱结点；其二是，在A的每一列的链表上设一个指针hl[j]，它的初值和列链

表的头指针相同，即hl[j]＝chead[j]。（2）稀疏矩阵的十字链表表示与建立的算法（P：104）（3）两个矩阵相加的算法描述

（1）初始令pa和pb分别指向A和B的第一行的第一个非零元素的结点，即

pa＝[1]；pb＝[1]；pre = NULL;

且令hl初始化 for(j=1;j<=;++j)hl[j]＝[j]；(2)重复本步骤，依次处理本行结点，直到B的本行中无非零元素的结点，即pb==NULL为止：

① 若pa==NULL或pa->j〉pb->j（即A的这一行中非零元素已处理完），则需在A中插入一个pb所指

结点的复制结点。假设新结点的地址为p，则A的行表中的指针作如下变化：

if pre == NULL rhead[p->i]=p;else { pre->right＝p;} p->right＝pa;pre = p;

A的列链表中的指针也要作相应的改变。首先需从hl[p->j]开始找到新结点在同一列中的前驱结点，并让hl[p->j]指向它，然后在列链表中插入新结点： if chead[p->j] == NULL { chead[p->j] = p;p->down = NULL;} else {

p->down＝hl[p->j]->down;hl[p->j]->down＝p;} hl[p->j] = p;② 若pa->j〈pb->j且pa->j!=0，则令pa指向本行下一个非零元结点，即 pre＝pa;pa＝pa->right;③ 若pa->j == pb->j，则将B中当前结点的值加到A中当前结点上，即 pa->e＋＝pb->e;

此时若pa->e!=0，则指针不变，否则删除A中该结点，即行表中指针变为： if pre == NULL rhead[pa->i] = pa->right;else { pre->right＝pa->right;} p=pa;pa=pa->right;

同时，为了改变列表中的指针，需要先找到同一列中的前驱结点，且让hl[pa->j]指向该结点，然后如下修改相应指针： if chead[p->j] == p chead[p->j] = hl[p->j] = p->down;else { hl[p->j]->down＝p->down;} free(p)；(3)若本行不是最后一行，则令pa和pb指向下一行的第一个非零元结点，转(2)；否则结束。此算法时间复杂度：O(ta+tb)

矩阵解题总结5

矩阵解题总结

迄今，我们都做了不少的矩阵习题，我们常常以刷题来满足自己的做题欲望，并以此方法来让自己对矩阵这个新概念有更好的了解，那么，在我们无限刷题时，是否想过，出题，都是万变不离其宗，如果我们尝试去整理一些题型的做法，那么不久可以做到了举一反三的功效了吗？也让自己腾出了更多的时间去从事其他事物，如此事半功倍，岂不妙哉？因此，解题总结很有必要。

以下，我们来介绍一些常用而较为普遍的经验方法： ① 对称矩阵：A=A’，这个概念我们见过此类题型——当A为非零实对称矩阵时，有A’=A*，求证lAl≠0。这种题，我们通法就是先设出A，再写出A’，然后矩阵乘法，得到的矩阵中对角线处元素为Σαij²，并且再用已知条件可得到前面的累和式子都等于lAl。因为A为非零实对称矩阵，因此存在一元素不为零，从而证得lAl≠0。② 题干中给出某等式，求某个问题。如：设A,B均为n阶方阵且AB=A+B，则证明AB=BA。此题思路就是从条件出发，一般都是移项、提公因式，所以得到（A-E）B-A=0，记住，一旦看到等号右边有零，我们常常会加E，变成（A-E）B-A+E=E，然后再次提公因式，得到（A-E）（B-E）=E，所以（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E），然后展开即可。总结：移项→提公因式→整理。

关于②留一道练习题——设n阶方阵A和B满足A+B=AB，证明A-E可逆。

③ 正交阵概念：满足AA’=A’A=E

反对称矩阵概念：A=-A’ ④ l（A*）l=lAl^n-1，（A*）^-1=A/lAl，⑤ A为n阶方阵，若R（A)=n,则R(A*）=n；若R（A)=n-1，则R(A*）=1；若R（A)＜n-1，则R(A*）=0 ⑥ A、B均为n阶方阵，则有tr（AB）=tr（BA），其中tr为对角线元素因此AB-BA的对角线元素为零，即tr（AB-BA）=零。⑦ 结论：任何一个n阶方阵均可表为一个对称阵与一个反对称阵之和。证明：A=1/2A+1/2A-1/2A*+1/2A*=1/2（A+A’）+1/2（A-A’）=B+C。B’=（1/2（A+A’））’=1/2（A’+A)=B,C’=(1/2(A-A’）)’=1/2(A’-A)=-C’，证明完毕。⑧ 秩的一种常见题型：A,B为n阶方阵，AB=0，B为非零方阵，求lAl。思路：因为AB=0，所以R(A)+R(B)≤n，又因为B≠0，所以R（B）≥1，因此R（A）≤n-1，因此A不满秩，故行列式为零。⑨ 对于AB=AC时，如何才可以有B=C？一种情况就是A为满秩。接下来，我们进行计算证明——由原式可得到：A(B-C)=0。运用一个结论：AX=0，A满秩时，解唯一，即X=0，所以得到B-C=0，因此B=C 证明完毕。特殊的，如果A可逆（因此显然A是方阵），显然证得B=C。⑩ A为n阶方阵，则R(A)≤1的充要条件是存在两个nx1矩阵U,V使A=UV’。证明过程可见考研P45。