椭圆知识点总结【优秀4篇】

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椭圆知识点总结【第一篇】

1.椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆；

(2)若a=c，则集合P为线段；

(3)若a

2.椭圆的标准方程和几何性质

一条规律

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴。

椭圆方程的第一定义：

⑴①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：.

②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于

).

⑵①顶点：或。②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长。③焦点：或。④焦距：.⑤准线：或。⑥离心率：.⑦焦点半径：

i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出。

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出。

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”。

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经。坐标：和

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。

(4)若P是椭圆：上的点。为焦点，若，则的面积为(用余弦定理与可得). 若是双曲线，则面积为。

椭圆及其性质【第二篇】

重点：（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质。

（2）了解椭圆的简单应用；理解数形结合的思想。

（3）掌握直线与椭圆有关的各种题型的解决方法。

难点：（1）理解并掌握椭圆的基本概念、标准方程及其简单的基本性质。

（2）能解决直线与椭圆的有关综合问题。

（1）求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法，对于用待定系数法求椭圆的标准方程，应学会从“定形、定位、定量”三方面来分析求解椭圆方程。

（２）焦点三角形问题，通常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积公式。

（3）椭圆离心率问题，一般不直接求出a，c的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。

（4）在椭圆中的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，然后用函数的方法解决。　另外要注意考虑椭圆标准方程中x，y自身的取值范围。

（5）在直线与椭圆的问题中，常用韦达定理，“设而不求”，巧用公式，通过这些过渡变量使问题得以解决；而在解决弦中点及直线斜率的相关问题中，“点差法”的用处更不容小觑。

（椭圆定义的运用）一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，求动圆圆心的轨迹方程。

思索 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆半径有关，据此可得出动圆圆心满足的条件，进而利用椭圆的定义求出轨迹方程。

破解 设动圆的圆心为M，动圆的半径为r，由已知可得MO1=1+r，MO2=9－r，MO1+MO2=10>O1O2=6.　由椭圆的定义可知，点M的轨迹是在以O1，O2为焦点的椭圆上，其中a=5，c=3，b2=a2－c2=16，则所求的轨迹方程为■+■=1.

点评 利用圆与圆内切或外切时半径之间的关系，转化为用椭圆的定义来处理，这是解决此类问题的一种通法，类似也可得到如下变式。

①变式问题一：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1及圆O2：（x-3）2+y2=81均内切，求动圆圆心的轨迹方程。

②变式问题二：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=4内切，求动圆圆心的轨迹方程。

③变式问题三：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1内切，与圆O2：（x-3）2+y2=4外切，求动圆圆心的轨迹方程。

④变式问题四：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1及圆O2：（x-3）2+y2=4均相切，求动圆圆心的轨迹方程。

（突破焦点三角形问题）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的范围。

思索 研究椭圆离心率问题，关键是利用题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。　另外，与焦点三角形有关的计算常利用圆锥曲线定义、正余弦定理、均值不等式，等等。

点评 此解法将所求离心率e表达为点P的横坐标x0的函数，但切记不能忽略x0的取值范围。　考虑到焦点三角形也属于解三角形问题，知道边角关系考虑正弦定理及和分比定理亦可求解，同学们不妨一试。

①变式问题一：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，　∠F1PF2=90°，求椭圆离心率的范围。

②变式问题二：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2为锐角，求椭圆离心率的范围。

③变式问题三：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2为钝角，求椭圆离心率的范围。

点评 与弦中点有关的问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。　同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系进行灵活转化，往往能事半功倍。

1.　夯实基础、落实基本技能

在复习时，首要的任务是准确地理解概念，牢记重要公式，熟练掌握基本方法，洞晓考试内容所涉及的各个知识点。　因此一定要精通课本。另外要有一个清晰的知识框架，积累常用模型（如求椭圆离心率和离心率的取值范围，焦点三角形的相关问题），熟练通用方法，落实基本技能。

2.　注重对数学思想方法的提炼

新课标高考讲究能力立意，对数学思想方法的考查贯穿始终，在复习时要注重强化数学思想方法，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等思想在题目中的渗透。

3.　注重加强运算能力的训练

椭圆的综合问题往往思路明确，但对数学运算能力的要求较高，不易算出结果。在备考过程中，要注意运算能力的训练，同时加强对算法、算理的训练及总结。

4.　特别注意解题后的总结与反思

有许多同学反映平时已做了大量的试题，但总觉得效果不明显，水平提高很有限，在考试中对付这类试题总还是心里没底．　不注意解题后的总结与反思是其中的主要原因，所以在平时训练中，要特别注意解题后的总结和反思，做到举一反三，触类旁通，提高复习的效率。

椭圆形面积公式【第三篇】

椭圆无论在天体上，还是在地球上的物体上，都是建立在斜平面上。在天体中，地球运行的椭圆轨道，是建立在过地心并与地轴垂直的平面（赤道平面）夹角为23°26′的斜平面（黄道平面）上。而在地球上的物体圆柱上，斜切面椭圆，是建立在过圆柱轴心并与圆柱轴垂直的平面（横切平面）夹角为某个角度的斜切平面是椭圆平面。根据上述，我们发明创造了以一个点为圆心能画各种椭圆形的椭圆规。下方椭圆（规照片）。本椭圆规已授予中华人民共和国知识产权局颁发了专利证书。所以椭圆规的发明，在工业应用上，天文学的行星运行上，物理学，数学和教育学等都有着重大的作用和历史意义。用椭圆规就可以根据赤道平面与黄道平面的夹角23°26′画出地球运行轨道的相似椭圆。

下面论述新创椭圆公式内容：

一、椭圆的类型和形状

1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。

2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。又过圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与横切面正圆经O点的交角为α 。当α=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础圆）。

3.椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。

4.椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交角α越大，椭圆的形状也就越长。α角越小，椭圆形状也就越短（越接近正圆）。当α=0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。（下图：圆柱体横切与斜切图）

二、画标准椭圆的方法

1.用以一个点为圆心的椭圆规画标准椭圆。（这种椭圆规是我们发明创造的，目前没有上市。因为目前高中数学、物理学里学的椭圆，没有椭圆的长半径公式、短半径公式和任意半径公式，也没有椭圆周率和椭圆周长公式，椭圆面积公式。）未来在教学方面椭圆规是非常有用的。

2.用标准椭圆模型画椭圆，如果你要画的椭圆的长半径是A，短半径是R形状的椭圆。你可以先用椭圆的长、短半径公式，计算出圆柱的横切面与斜切面的交角α，再以α角斜切以R为半径的圆柱，这个圆柱的斜切面就是你要画标准椭圆的模型。

3.标准椭圆的点式画法，如果你要画很大的椭圆，又找不到那么粗的圆柱做模型。你可以根据你要画椭圆的长半径和短半径，先计算出圆柱的斜切面与横切面的交角α。再用椭圆的任意半径公式，计算出由短半径开始某一角度的斜半径点上点。就这样把所有的斜半径都点上点，这些点就连成了标准椭圆。故称标准椭圆的点式画法。

三、太阳系定律

由以上论述得知，在太阳系内，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆。太阳处在所有椭圆的中心点上（太阳系第一定律）。

四、椭圆的长半径公式和短半径公式

任何椭圆都是圆柱体的斜切面，它们的形状是过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆交角α的大小所决定的。斜切面椭圆的短半径就是圆柱半径。下面设：斜切面椭圆的长半径为A，短半径为R（也是横切面正圆半径R），斜切面椭圆与横切面正圆的交角是α。椭圆长半径A与正圆半径R的交角α所对的边为h。RhA三边又构成直角三角形。所以，根据三角函数：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边。

所以，椭圆长半径公式：A=R/cosα。

又因为正圆所有的半径都是R。

所以，椭圆的短半径公式：R=A·cosα

五、椭圆的任意半径公式

由椭圆的长半径公式和短半径公式得知，椭圆的长半径为A，短半径为R，圆柱的斜切面椭圆与横切面正圆的交角为α 。因为斜切面椭圆与横切面正圆相交处，即是正圆半径R点，也是椭圆的短半径R点。然后在正圆平面上过圆心O点做半径R的垂直半径。那么R半径与垂直半径的圆弧是0度—90度。设n为0度—90度的任意一个度数。椭圆的任意半径为L。经详细推论得出：

椭圆的任意半径公式：L=R/cos{（α/90）·n}

六、椭圆周率

我们经过多年的刻苦研究和推算，在我们画出的两垂一斜线坐标系中，经过多次的测量和推算，终于准确无误的推算出了椭圆周率是 。我们将椭圆周率的代号命名为尢（you）。

那么，椭圆周率：尢=。

七、椭圆的周长公式

设：椭圆的长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆周长为C，过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α，我们已经命名椭圆周率为尢（you）。

尢=。

那么，椭圆的周长公式：C=4（A+R尢）==4A（1+尢·cosα）=4R（1/cosα+尢）=2D（1/cosα+尢）。

八、椭圆周长公式也是正圆周长公式

前辈数学家早已推论出了正圆周长公式，是圆的直径乘以圆周率就等于正圆的周长。公式是C=dπ=2Rπ，π=。

下面我们看看在什么情况下椭圆的周长公式能变成正圆周长公式。当椭圆公式中α=0时，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。因为正圆所有的半径都相等，所以，A=R。我们把α=0，A=R代入所有的椭圆周长公式。得出的就是正圆周长公式：c=4（R+尢R）=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

我们在把椭圆周率保留两位小数，尢=代入正圆周长公式得：C=2R×=D×=D·π=2Rπ。

我们把推论的正圆周长公式续在前辈数学家的圆周长公式的后边。

圆周长公式就是：C=Dπ=2Rπ=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

九、椭圆面积公式

若用圆周率π= ，计算椭圆的面积。椭圆的形状越长计算出椭圆面积的误差也就越大。所以用圆周率只能计算正圆（基础椭圆）的面积。不能计算所有椭圆的面积。因此，必须用椭圆周率才能计算所有椭圆的面积。

设：椭圆长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆面积为S。过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α。

已知：椭圆周率 尢=

椭圆面积公式：S=2（AR+AR尢）=2AR（1+尢）=2R2/cosα（1+尢）=2A2×cosα（1+尢）。当α=0，A=R时，椭圆面积公式就变成正圆面积公式S=2R2（1+尢）=1/2D2（1+尢）=πR2=1/4πD2

十、全等椭圆

1.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

2.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

3.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的周长相等，它们的椭圆平面与基础椭圆平面的交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

4.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的短半径也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

5.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

6.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

椭圆形面积公式【第四篇】

重点：（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质。

（2）了解椭圆的简单应用；理解数形结合的思想。

（3）掌握直线与椭圆有关的各种题型的解决方法。

难点：（1）理解并掌握椭圆的基本概念、标准方程及其简单的基本性质。

（2）能解决直线与椭圆的有关综合问题。

（1）求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法，对于用待定系数法求椭圆的标准方程，应学会从“定形、定位、定量”三方面来分析求解椭圆方程。

（2）焦点三角形问题，通常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积公式。

（3）椭圆离心率问题，一般不直接求出a，c的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。

（4）在椭圆中的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，然后用函数的方法解决。　另外要注意考虑椭圆标准方程中x，y自身的取值范围。

（5）在直线与椭圆的问题中，常用韦达定理，“设而不求”，巧用公式，通过这些过渡变量使问题得以解决；而在解决弦中点及直线斜率的相关问题中，“点差法”的用处更不容小觑。

（椭圆定义的运用）一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1外切，与圆o2：（x-3）2+y2=81内切，求动圆圆心的轨迹方程。

思索 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆半径有关，据此可得出动圆圆心满足的条件，进而利用椭圆的定义求出轨迹方程。

破解 设动圆的圆心为m，动圆的半径为r，由已知可得mo1=1+r，mo2=9－r，mo1+mo2=10>o1o2=6.　由椭圆的定义可知，点m的轨迹是在以o1，o2为焦点的椭圆上，其中a=5，c=3，b2=a2－c2=16，则所求的轨迹方程为■+■=1.

点评 利用圆与圆内切或外切时半径之间的关系，转化为用椭圆的定义来处理，这是解决此类问题的一种通法，类似也可得到如下变式。

①变式问题一：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1及圆o2：（x-3）2+y2=81均内切，求动圆圆心的轨迹方程。

②变式问题二：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1外切，与圆o2：（x-3）2+y2=4内切，求动圆圆心的轨迹方程。

③变式问题三：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1内切，与圆o2：（x-3）2+y2=4外切，求动圆圆心的轨迹方程。

④变式问题四：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1及圆o2：（x-3）2+y2=4均相切，求动圆圆心的轨迹方程。

（突破焦点三角形问题）已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，∠f1pf2=60°，求椭圆离心率的范围。

思索 研究椭圆离心率问题，关键是利用题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。　另外，与焦点三角形有关的计算常利用圆锥曲线定义、正余弦定理、均值不等式，等等。

点评 此解法将所求离心率e表达为点p的横坐标x0的函数，但切记不能忽略x0的取值范围。　考虑到焦点三角形也属于解三角形问题，知道边角关系考虑正弦定理及和分比定理亦可求解，同学们不妨一试。

①变式问题一：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，　∠f1pf2=90°，求椭圆离心率的范围。

②变式问题二：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，若∠f1pf2为锐角，求椭圆离心率的范围。

③变式问题三：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，若∠f1pf2为钝角，求椭圆离心率的范围。

点评 与弦中点有关的问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。　同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系进行灵活转化，往往能事半功倍。

1.　夯实基础、落实基本技能

在复习时，首要的任务是准确地理解概念，牢记重要公式，熟练掌握基本方法，洞晓考试内容所涉及的各个知识点。　因此一定要精通课本。另外要有一个清晰的知识框架，积累常用模型（如求椭圆离心率和离心率的取值范围，焦点三角形的相关问题），熟练通用方法，落实基本技能。

2.　注重对数学思想方法的提炼

新课标高考讲究能力立意，对数学思想方法的考查贯穿始终，在复习时要注重强化数学思想方法，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等思想在题目中的渗透。

3.　注重加强运算能力的训练

椭圆的综合问题往往思路明确，但对数学运算能力的要求较高，不易算出结果。在备考过程中，要注意运算能力的训练，同时加强对算法、算理的训练及总结。