椭圆知识点总结实用5篇

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椭圆及其性质1

重点：（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质。

（2）了解椭圆的简单应用；理解数形结合的思想。

（3）掌握直线与椭圆有关的各种题型的解决方法。

难点：（1）理解并掌握椭圆的基本概念、标准方程及其简单的基本性质。

（2）能解决直线与椭圆的有关综合问题。

（1）求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法，对于用待定系数法求椭圆的标准方程，应学会从“定形、定位、定量”三方面来分析求解椭圆方程。

（２）焦点三角形问题，通常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积公式。

（3）椭圆离心率问题，一般不直接求出a，c的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。

（4）在椭圆中的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，然后用函数的方法解决。　另外要注意考虑椭圆标准方程中x，y自身的取值范围。

（5）在直线与椭圆的问题中，常用韦达定理，“设而不求”，巧用公式，通过这些过渡变量使问题得以解决；而在解决弦中点及直线斜率的相关问题中，“点差法”的用处更不容小觑。

（椭圆定义的运用）一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，求动圆圆心的轨迹方程。

思索 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆半径有关，据此可得出动圆圆心满足的条件，进而利用椭圆的定义求出轨迹方程。

破解 设动圆的圆心为M，动圆的半径为r，由已知可得MO1=1+r，MO2=9－r，MO1+MO2=10>O1O2=6.　由椭圆的定义可知，点M的轨迹是在以O1，O2为焦点的椭圆上，其中a=5，c=3，b2=a2－c2=16，则所求的轨迹方程为■+■=1.

点评 利用圆与圆内切或外切时半径之间的关系，转化为用椭圆的定义来处理，这是解决此类问题的一种通法，类似也可得到如下变式。

①变式问题一：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1及圆O2：（x-3）2+y2=81均内切，求动圆圆心的轨迹方程。

②变式问题二：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=4内切，求动圆圆心的轨迹方程。

③变式问题三：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1内切，与圆O2：（x-3）2+y2=4外切，求动圆圆心的轨迹方程。

④变式问题四：一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1及圆O2：（x-3）2+y2=4均相切，求动圆圆心的轨迹方程。

（突破焦点三角形问题）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的范围。

思索 研究椭圆离心率问题，关键是利用题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。　另外，与焦点三角形有关的计算常利用圆锥曲线定义、正余弦定理、均值不等式，等等。

点评 此解法将所求离心率e表达为点P的横坐标x0的函数，但切记不能忽略x0的取值范围。　考虑到焦点三角形也属于解三角形问题，知道边角关系考虑正弦定理及和分比定理亦可求解，同学们不妨一试。

①变式问题一：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，　∠F1PF2=90°，求椭圆离心率的范围。

②变式问题二：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2为锐角，求椭圆离心率的范围。

③变式问题三：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2为钝角，求椭圆离心率的范围。

点评 与弦中点有关的问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。　同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系进行灵活转化，往往能事半功倍。

1.　夯实基础、落实基本技能

在复习时，首要的任务是准确地理解概念，牢记重要公式，熟练掌握基本方法，洞晓考试内容所涉及的各个知识点。　因此一定要精通课本。另外要有一个清晰的知识框架，积累常用模型（如求椭圆离心率和离心率的取值范围，焦点三角形的相关问题），熟练通用方法，落实基本技能。

2.　注重对数学思想方法的提炼

新课标高考讲究能力立意，对数学思想方法的考查贯穿始终，在复习时要注重强化数学思想方法，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等思想在题目中的渗透。

3.　注重加强运算能力的训练

椭圆的综合问题往往思路明确，但对数学运算能力的要求较高，不易算出结果。在备考过程中，要注意运算能力的训练，同时加强对算法、算理的训练及总结。

4.　特别注意解题后的总结与反思

有许多同学反映平时已做了大量的试题，但总觉得效果不明显，水平提高很有限，在考试中对付这类试题总还是心里没底．　不注意解题后的总结与反思是其中的主要原因，所以在平时训练中，要特别注意解题后的总结和反思，做到举一反三，触类旁通，提高复习的效率。

三人行，必有我师焉。山草香为大家分享的5篇椭圆知识点总结就到这里了，希望在椭圆的写作方面给予您相应的帮助。

关于椭圆长短半径公式椭圆周率椭圆周长及面积公式的研讨报告2

中图分类号G42 文献标识码A 文章编号2095-3089（2013）01-0166-02

椭圆无论在天体上，还是在地球上的物体上，都是建立在斜平面上。在天体中，地球运行的椭圆轨道，是建立在过地心并与地轴垂直的平面（赤道平面）夹角为23°26′的斜平面（黄道平面）上。而在地球上的物体圆柱上，斜切面椭圆，是建立在过圆柱轴心并与圆柱轴垂直的平面（横切平面）夹角为某个角度的斜切平面是椭圆平面。根据上述，我们发明创造了以一个点为圆心能画各种椭圆形的椭圆规。下方椭圆（规照片）。本椭圆规已授予中华人民共和国知识产权局颁发了专利证书。所以椭圆规的发明，在工业应用上，天文学的行星运行上，物理学，数学和教育学等都有着重大的作用和历史意义。用椭圆规就可以根据赤道平面与黄道平面的夹角23°26′画出地球运行轨道的相似椭圆。

下面论述新创椭圆公式内容：

一、椭圆的类型和形状

1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。

2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。又过圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与横切面正圆经O点的交角为α 。当α=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础圆）。

3.椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。

4.椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交角α越大，椭圆的形状也就越长。α角越小，椭圆形状也就越短（越接近正圆）。当α=0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。（下图：圆柱体横切与斜切图）

二、画标准椭圆的方法

1.用以一个点为圆心的椭圆规画标准椭圆。（这种椭圆规是我们发明创造的，目前没有上市。因为目前高中数学、物理学里学的椭圆，没有椭圆的长半径公式、短半径公式和任意半径公式，也没有椭圆周率和椭圆周长公式，椭圆面积公式。）未来在教学方面椭圆规是非常有用的。

2.用标准椭圆模型画椭圆，如果你要画的椭圆的长半径是A，短半径是R形状的椭圆。你可以先用椭圆的长、短半径公式，计算出圆柱的横切面与斜切面的交角α，再以α角斜切以R为半径的圆柱，这个圆柱的斜切面就是你要画标准椭圆的模型。

3.标准椭圆的点式画法，如果你要画很大的椭圆，又找不到那么粗的圆柱做模型。你可以根据你要画椭圆的长半径和短半径，先计算出圆柱的斜切面与横切面的交角α。再用椭圆的任意半径公式，计算出由短半径开始某一角度的斜半径点上点。就这样把所有的斜半径都点上点，这些点就连成了标准椭圆。故称标准椭圆的点式画法。

三、太阳系定律

由以上论述得知，在太阳系内，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆。太阳处在所有椭圆的中心点上（太阳系第一定律）。

四、椭圆的长半径公式和短半径公式

任何椭圆都是圆柱体的斜切面，它们的形状是过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆交角α的大小所决定的。斜切面椭圆的短半径就是圆柱半径。下面设：斜切面椭圆的长半径为A，短半径为R（也是横切面正圆半径R），斜切面椭圆与横切面正圆的交角是α。椭圆长半径A与正圆半径R的交角α所对的边为h。RhA三边又构成直角三角形。所以，根据三角函数：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边。

所以，椭圆长半径公式：A=R/cosα。

又因为正圆所有的半径都是R。

所以，椭圆的短半径公式：R=A·cosα

五、椭圆的任意半径公式

由椭圆的长半径公式和短半径公式得知，椭圆的长半径为A，短半径为R，圆柱的斜切面椭圆与横切面正圆的交角为α 。因为斜切面椭圆与横切面正圆相交处，即是正圆半径R点，也是椭圆的短半径R点。然后在正圆平面上过圆心O点做半径R的垂直半径。那么R半径与垂直半径的圆弧是0度—90度。设n为0度—90度的任意一个度数。椭圆的任意半径为L。经详细推论得出：

椭圆的任意半径公式：L=R/cos{（α/90）·n}

六、椭圆周率

我们经过多年的刻苦研究和推算，在我们画出的两垂一斜线坐标系中，经过多次的测量和推算，终于准确无误的推算出了椭圆周率是 。我们将椭圆周率的代号命名为尢（you）。

那么，椭圆周率：尢=。

七、椭圆的周长公式

设：椭圆的长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆周长为C，过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α，我们已经命名椭圆周率为尢（you）。

尢=。

那么，椭圆的周长公式：C=4（A+R尢）==4A（1+尢·cosα）=4R（1/cosα+尢）=2D（1/cosα+尢）。

八、椭圆周长公式也是正圆周长公式

前辈数学家早已推论出了正圆周长公式，是圆的直径乘以圆周率就等于正圆的周长。公式是C=dπ=2Rπ，π=。

下面我们看看在什么情况下椭圆的周长公式能变成正圆周长公式。当椭圆公式中α=0时，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。因为正圆所有的半径都相等，所以，A=R。我们把α=0，A=R代入所有的椭圆周长公式。得出的就是正圆周长公式：c=4（R+尢R）=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

我们在把椭圆周率保留两位小数，尢=代入正圆周长公式得：C=2R×=D×=D·π=2Rπ。

我们把推论的正圆周长公式续在前辈数学家的圆周长公式的后边。

圆周长公式就是：C=Dπ=2Rπ=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

九、椭圆面积公式

若用圆周率π= ，计算椭圆的面积。椭圆的形状越长计算出椭圆面积的误差也就越大。所以用圆周率只能计算正圆（基础椭圆）的面积。不能计算所有椭圆的面积。因此，必须用椭圆周率才能计算所有椭圆的面积。

设：椭圆长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆面积为S。过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α。

已知：椭圆周率 尢=

椭圆面积公式：S=2（AR+AR尢）=2AR（1+尢）=2R2/cosα（1+尢）=2A2×cosα（1+尢）。当α=0，A=R时，椭圆面积公式就变成正圆面积公式S=2R2（1+尢）=1/2D2（1+尢）=πR2=1/4πD2

十、全等椭圆

1.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

2.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

3.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的周长相等，它们的椭圆平面与基础椭圆平面的交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

4.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的短半径也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

5.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

6.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

十一、相似椭圆

如果一个椭圆平面与基础椭圆平面的交角和另一个椭圆平面与基础椭圆平面的交角相等，那么，这两个椭圆相似。

椭圆形面积公式3

重点：（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质。

（2）了解椭圆的简单应用；理解数形结合的思想。

（3）掌握直线与椭圆有关的各种题型的解决方法。

难点：（1）理解并掌握椭圆的基本概念、标准方程及其简单的基本性质。

（2）能解决直线与椭圆的有关综合问题。

（1）求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法，对于用待定系数法求椭圆的标准方程，应学会从“定形、定位、定量”三方面来分析求解椭圆方程。

（2）焦点三角形问题，通常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积公式。

（3）椭圆离心率问题，一般不直接求出a，c的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。

（4）在椭圆中的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，然后用函数的方法解决。　另外要注意考虑椭圆标准方程中x，y自身的取值范围。

（5）在直线与椭圆的问题中，常用韦达定理，“设而不求”，巧用公式，通过这些过渡变量使问题得以解决；而在解决弦中点及直线斜率的相关问题中，“点差法”的用处更不容小觑。

（椭圆定义的运用）一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1外切，与圆o2：（x-3）2+y2=81内切，求动圆圆心的轨迹方程。

思索 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆半径有关，据此可得出动圆圆心满足的条件，进而利用椭圆的定义求出轨迹方程。

破解 设动圆的圆心为m，动圆的半径为r，由已知可得mo1=1+r，mo2=9－r，mo1+mo2=10>o1o2=6.　由椭圆的定义可知，点m的轨迹是在以o1，o2为焦点的椭圆上，其中a=5，c=3，b2=a2－c2=16，则所求的轨迹方程为■+■=1.

点评 利用圆与圆内切或外切时半径之间的关系，转化为用椭圆的定义来处理，这是解决此类问题的一种通法，类似也可得到如下变式。

①变式问题一：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1及圆o2：（x-3）2+y2=81均内切，求动圆圆心的轨迹方程。

②变式问题二：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1外切，与圆o2：（x-3）2+y2=4内切，求动圆圆心的轨迹方程。

③变式问题三：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1内切，与圆o2：（x-3）2+y2=4外切，求动圆圆心的轨迹方程。

④变式问题四：一动圆与已知圆o1：（x+3）2+y2=1及圆o2：（x-3）2+y2=4均相切，求动圆圆心的轨迹方程。

（突破焦点三角形问题）已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，∠f1pf2=60°，求椭圆离心率的范围。

思索 研究椭圆离心率问题，关键是利用题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数a，b，c的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。　另外，与焦点三角形有关的计算常利用圆锥曲线定义、正余弦定理、均值不等式，等等。

点评 此解法将所求离心率e表达为点p的横坐标x0的函数，但切记不能忽略x0的取值范围。　考虑到焦点三角形也属于解三角形问题，知道边角关系考虑正弦定理及和分比定理亦可求解，同学们不妨一试。

①变式问题一：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，　∠f1pf2=90°，求椭圆离心率的范围。

②变式问题二：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，若∠f1pf2为锐角，求椭圆离心率的范围。

③变式问题三：已知f1，f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，若∠f1pf2为钝角，求椭圆离心率的范围。

点评 与弦中点有关的问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。　同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系进行灵活转化，往往能事半功倍。

1.　夯实基础、落实基本技能

在复习时，首要的任务是准确地理解概念，牢记重要公式，熟练掌握基本方法，洞晓考试内容所涉及的各个知识点。　因此一定要精通课本。另外要有一个清晰的知识框架，积累常用模型（如求椭圆离心率和离心率的取值范围，焦点三角形的相关问题），熟练通用方法，落实基本技能。

2.　注重对数学思想方法的提炼

新课标高考讲究能力立意，对数学思想方法的考查贯穿始终，在复习时要注重强化数学思想方法，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等思想在题目中的渗透。

3.　注重加强运算能力的训练

椭圆的综合问题往往思路明确，但对数学运算能力的要求较高，不易算出结果。在备考过程中，要注意运算能力的训练，同时加强对算法、算理的训练及总结。

椭圆形面积公式4

椭圆无论在天体上，还是在地球上的物体上，都是建立在斜平面上。在天体中，地球运行的椭圆轨道，是建立在过地心并与地轴垂直的平面（赤道平面）夹角为23°26′的斜平面（黄道平面）上。而在地球上的物体圆柱上，斜切面椭圆，是建立在过圆柱轴心并与圆柱轴垂直的平面（横切平面）夹角为某个角度的斜切平面是椭圆平面。根据上述，我们发明创造了以一个点为圆心能画各种椭圆形的椭圆规。下方椭圆（规照片）。本椭圆规已授予中华人民共和国知识产权局颁发了专利证书。所以椭圆规的发明，在工业应用上，天文学的行星运行上，物理学，数学和教育学等都有着重大的作用和历史意义。用椭圆规就可以根据赤道平面与黄道平面的夹角23°26′画出地球运行轨道的相似椭圆。

下面论述新创椭圆公式内容：

一、椭圆的类型和形状

1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。

2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。又过圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与横切面正圆经O点的交角为α 。当α=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础圆）。

3.椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。

4.椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交角α越大，椭圆的形状也就越长。α角越小，椭圆形状也就越短（越接近正圆）。当α=0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。（下图：圆柱体横切与斜切图）

二、画标准椭圆的方法

1.用以一个点为圆心的椭圆规画标准椭圆。（这种椭圆规是我们发明创造的，目前没有上市。因为目前高中数学、物理学里学的椭圆，没有椭圆的长半径公式、短半径公式和任意半径公式，也没有椭圆周率和椭圆周长公式，椭圆面积公式。）未来在教学方面椭圆规是非常有用的。

2.用标准椭圆模型画椭圆，如果你要画的椭圆的长半径是A，短半径是R形状的椭圆。你可以先用椭圆的长、短半径公式，计算出圆柱的横切面与斜切面的交角α，再以α角斜切以R为半径的圆柱，这个圆柱的斜切面就是你要画标准椭圆的模型。

3.标准椭圆的点式画法，如果你要画很大的椭圆，又找不到那么粗的圆柱做模型。你可以根据你要画椭圆的长半径和短半径，先计算出圆柱的斜切面与横切面的交角α。再用椭圆的任意半径公式，计算出由短半径开始某一角度的斜半径点上点。就这样把所有的斜半径都点上点，这些点就连成了标准椭圆。故称标准椭圆的点式画法。

三、太阳系定律

由以上论述得知，在太阳系内，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆。太阳处在所有椭圆的中心点上（太阳系第一定律）。

四、椭圆的长半径公式和短半径公式

任何椭圆都是圆柱体的斜切面，它们的形状是过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆交角α的大小所决定的。斜切面椭圆的短半径就是圆柱半径。下面设：斜切面椭圆的长半径为A，短半径为R（也是横切面正圆半径R），斜切面椭圆与横切面正圆的交角是α。椭圆长半径A与正圆半径R的交角α所对的边为h。RhA三边又构成直角三角形。所以，根据三角函数：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边。

所以，椭圆长半径公式：A=R/cosα。

又因为正圆所有的半径都是R。

所以，椭圆的短半径公式：R=A·cosα

五、椭圆的任意半径公式

由椭圆的长半径公式和短半径公式得知，椭圆的长半径为A，短半径为R，圆柱的斜切面椭圆与横切面正圆的交角为α 。因为斜切面椭圆与横切面正圆相交处，即是正圆半径R点，也是椭圆的短半径R点。然后在正圆平面上过圆心O点做半径R的垂直半径。那么R半径与垂直半径的圆弧是0度—90度。设n为0度—90度的任意一个度数。椭圆的任意半径为L。经详细推论得出：

椭圆的任意半径公式：L=R/cos{（α/90）·n}

六、椭圆周率

我们经过多年的刻苦研究和推算，在我们画出的两垂一斜线坐标系中，经过多次的测量和推算，终于准确无误的推算出了椭圆周率是 。我们将椭圆周率的代号命名为尢（you）。

那么，椭圆周率：尢=。

七、椭圆的周长公式

设：椭圆的长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆周长为C，过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α，我们已经命名椭圆周率为尢（you）。

尢=。

那么，椭圆的周长公式：C=4（A+R尢）==4A（1+尢·cosα）=4R（1/cosα+尢）=2D（1/cosα+尢）。

八、椭圆周长公式也是正圆周长公式

前辈数学家早已推论出了正圆周长公式，是圆的直径乘以圆周率就等于正圆的周长。公式是C=dπ=2Rπ，π=。

下面我们看看在什么情况下椭圆的周长公式能变成正圆周长公式。当椭圆公式中α=0时，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。因为正圆所有的半径都相等，所以，A=R。我们把α=0，A=R代入所有的椭圆周长公式。得出的就是正圆周长公式：c=4（R+尢R）=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

我们在把椭圆周率保留两位小数，尢=代入正圆周长公式得：C=2R×=D×=D·π=2Rπ。

我们把推论的正圆周长公式续在前辈数学家的圆周长公式的后边。

圆周长公式就是：C=Dπ=2Rπ=4R（1+尢）=2D（1+尢）。

九、椭圆面积公式

若用圆周率π= ，计算椭圆的面积。椭圆的形状越长计算出椭圆面积的误差也就越大。所以用圆周率只能计算正圆（基础椭圆）的面积。不能计算所有椭圆的面积。因此，必须用椭圆周率才能计算所有椭圆的面积。

设：椭圆长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆面积为S。过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α。

已知：椭圆周率 尢=

椭圆面积公式：S=2（AR+AR尢）=2AR（1+尢）=2R2/cosα（1+尢）=2A2×cosα（1+尢）。当α=0，A=R时，椭圆面积公式就变成正圆面积公式S=2R2（1+尢）=1/2D2（1+尢）=πR2=1/4πD2

十、全等椭圆

1.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

2.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

3.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的周长相等，它们的椭圆平面与基础椭圆平面的交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

4.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的短半径也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

5.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。

6.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。

椭圆形面积公式5

圆锥曲线的定义

（1）你知道椭圆、双曲线、抛物线的第一定义吗？

作答：______________________

（2）椭圆、双曲线、抛物线的第二定义你掌握了吗？

作答：______________________

（1）平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数（大于f1f2）的点的轨迹叫做椭圆；与两个定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数（小于f1f2）的点的轨迹叫做双曲线；与一个定点f和一条定直线l（l不经过点f）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

（2）已知点f是平面上的一个定点，l是平面上不过点f的一条定直线，动点p到点f的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e．　当01时，动点p的轨迹是双曲线；当e=1时，动点p的轨迹是抛物线．

椭圆的几何性质

（1）你知道椭圆的焦半径公式吗？焦点弦公式还记得吗？

作答：______________________

（2）如何计算椭圆的焦点三角形的面积？

作答：______________________

（3）你知道如何求解椭圆的切线方程吗？

作答：______________________

以方程■+■=1（a>b>0）为例．

（1）①设p（x0，y0），f1，f2分别为其左、右焦点，则pf1=a+ex0，pf2=a－ex0；②过点f1（－c，0）的弦ab长为ab=2a+e（xa+xb），过点f2（c，0）的弦ab长为ab=2a－e（xa+xb），其中xa，xb分别为a，b两点的横坐标．

（2）设p点是椭圆上一点，f1，f2分别为其左、右焦点，则s■=b2tan■（θ为pf1，pf2的夹角）.　特别地，若pf1pf2，此三角形面积为b2．

（3）过椭圆■+■=1上一点p（x0，y0）处的切线方程是■+■=1；过椭圆■+■=1外一点p（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是■+■=1．

双曲线的几何性质

（1）双曲线的焦半径公式还会用吗？

作答：______________________

（2）如何计算双曲线的焦点三角形的面积？

作答：______________________

（3）与已知双曲线有同一条渐近线的双曲线方程如何表示？

作答：______________________

（4）你知道如何求解双曲线的切线方程吗？

作答：______________________

以方程■－■=1（a>0，b>0）为例．

（1）设p（x0，y0），f1，f2分别为其左、右焦点。　当点p在双曲线的左支上时，pf1=－ex0－a，pf2=－ex0+a；当点p在双曲线的右支上时，pf1=ex0+a，pf2=ex0－a．

（2）设p点是双曲线上一点，f1，f2分别为其左、右焦点，则s■=b2cot■（θ为pf1，pf2的夹角）.　特别地，若pf1pf2，此三角形面积为b2．

（3）与已知双曲线■－■=1有同一条渐近线的双曲线方程可以表示为■－■=t．　其中，当t>0时，焦点在x轴上；当t<0时，焦点在y轴上．

（4）过双曲线■－■=1上一点p（x0，y0）处的切线方程是■－■=1；过双曲线■－■=1外一点p（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是■－■=1．

抛物线的几何性质

（1）与抛物线的焦点弦相关的四条性质，你还记得吗？

作答：______________________

（2）你知道如何求解抛物线的切线方程吗？

作答：______________________

以y2=2px（p>0）为例．

（1）设过焦点f的弦ab的端点坐标为a（x1，y1），b（x2，y2），a，b在准线x=－■上的射影分别为a1，b1，则①y1y2=　－p2，x1x2=■p2；②af=x1+■，bf=x2+■，ab=x1+x2+p；③∠a1fb1=90°；④以ab为直径的圆与准线l相切．

（2）过抛物线y2=2px（p>0）上一点p（x0，y0）处的切线方程是y0y=p（x+x0）；过抛物线y2=2px（p>0）外一点p（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是y0y=p（x+x0）．

直线与圆锥曲线的位置关系

（1）如何判断直线与圆锥曲线的交点？

作答：______________________

（2）圆锥曲线与直线的弦长公式你还记得吗？

作答：______________________

（3）求轨迹方程的常用方法有哪些？

作答：______________________

（1）若直线斜率存在，则联立圆锥曲线方程和直线方程，消元后得到一元二次方程，可根据δ来判断交点个数，最多只有两个交点，最少无交点，可能为0，1，2个；消元后得到一元一次方程，只有一个交点．　若斜率不存在，则可用数形结合法判断。

（2）若设直线l与圆锥曲线f（x，y）=0交于a（x1，y1），　b（x2，y2），则当直线l垂直于x轴时，弦长容易求得；当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+b，则ab=■x2-x1=■■．