高中数学等差数列总结（通用4篇）

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高中数学等差数列总结【第一篇】

一、数列求和

一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学知识，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解。

1.分组转化法求和

例如，Sn=（2+1）+（22+1）+（23+1）+……+（2n+1）

总结：等差数列an与等比数列bn的对应项相加而形成的数列an+bn都用分组求和的办法来求其前n项之和Sn。

2.错项相减法

例如，求数列，，，……的前n项和Sn。

总结：错项相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以等比q。本题的解题思路是将每项都乘以，然后做差，在使用错项相减法求和时，一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错项相减法不成立。

二、数列通项公式

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列an的第n项用一个具体式子表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求得相应an项的值。

法

例如，已知数列an的前n项和为Sn=3n2+2n，求an。

总结：Sn法主要是运用an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）进行求解。

2.累加法

例如，已知数列an中，a1=1，an-an-1=n，求数列an的通项公式。

总结：一般的，对于形如an-an-1=f（n）的通项公式，只要f（n）能进行求和，则宜采用此方法求解。

3.累乘法

例如，已知数列an中，a1=1，=求数列an的通项公式。

总结：对于形如=f（n）类的通项公式，当f（n）·f（n）…f（n）的值可以求得时，可以采用此方法。

高中数学等差数列总结【第二篇】

关键词中职数学 财经专业 数列教学 对接

一、以专业为背景创设问题情境

数学课堂教学的第一步一般是创设问题情境，引导学生进入新知学习。在学习等差数列时，笔者创设了一个专业知识求解背景，将学生带入专业情境。

出示一张企业带息商业汇票，面值一万元，票面年利率为8%，按单利计算。

问题：

（1）从第一年到第五年，各年年末的终值分别是多少元？

（2）从第一年到第五年，各年年末的终值数据排成一数列，该数列有什么特点？

（3）从以上五个数据的规律，你能知道第n年年末的终值是多少元吗？

通过此问题，学生巩固了《财务管理》中单利终值的计算方法，并在不知不觉中接受新知识，研究新知识，避免了学生对数学知识反感情绪的出现，让学生在解决问题的过程中自主构建本课的知识结构，可谓“学以致用”。

二、用数学知识理解专业课

学生在学习财务会计课程中，计算固定资产折旧的方法之-年数总和法时，由于对公式不理解，记忆公式是一个很大的负担并会导致计算错误。在学习完等差数列的前n项和公式后，笔者举了一个具体的计算固定资产折旧的例题。

例题：建造设备一台，原价740万元，预计净残值20万元，预计可用5年，试用年数总和法计算每年折旧额。

分析：根据计算公式：

年折旧额=（原价-预计净残值）×逐年递减年折旧率。

逐年递减年折旧率=（预计折旧年限-已折旧年限）/[预计折旧年限×（预计折旧年限+1）÷2]

本题固定的折旧基数=原价-预计净残值=740-20=720

逐年递减年折旧率依次为：5/15，4/15，3/15，2/15，1/15。解得：

第一年=（740-20）×（5/15）=240

第二年=（740-20）×（4/15）=192

第三年=（740-20）×（3/15）=144

第四年=（740-20）×（2/15）=96

第五年=（740-20）×（1/15）=48

通过分析解题，学生不难发现实际用年数总和法计提折旧是一种加速折旧法。五年的计提额成等差数列。倒序来看，从第五年开始，首项为（740-20）×（1/15）=48，公差也为（740-20）×（1/15）=48，这样5年的计提折旧总额正好为720（740-20）。站在等差数列的角度来看年数总和法计提固定资产折旧，学生理解透彻，对于公式自然就掌握了，并明确了这种计提方法的优点：（1）初期使用提供的经济效益较高，因此，折旧费用也应较高，符合收支配比原则；（2）因当今科技发展快，采用此方法可以使资产成本在较短的时间内收回，避免了无形损耗对固定资产的损失，可以加快固定资产的更新能力和提高企业技术水平；（3）随着资产的使用，其相应的维护、修理也会逐年增加，采用加速折旧法可以使成本在使用寿命内比较均衡。这样的数学教学，真正做到了为专业课服务。

三、结合专业课，拓展课堂教学形式

专业背景下的课程实施过程应当是一种开放的教学过程，其教学不再是简单地向学生灌输现成的知识，而是向学生提供多种学习方法和学习途径，让学生在教学过程中去研究、思考、应用。下面就数列在分期付款中的应用开展探究合作性学习。

例：张强购买了一套商品房，总价50万元。首付现金30%后，余下的款额向银行贷款。贷款期限为10年，月利率5%（按复利计算），贷款后的下一个月开始每月向银行还一定数量的款额。该银行推出两种还款方式：一种是等本息分期付款（每期所付款额相同），一种是等本金分期付款（每期所付本金相同，再加付上一期利息）。请你帮助张强分析一下，选择哪一种还款方式比较合理。

探究合作性学习形式：分组合作式学习方式（按6人一组分组进行研究），每组推荐一人介绍本组的分析情况。

探究合作性学习过程：（1）利用等比数列求和知识计算等本息分期付款每月还款额和还款总额。（2）利用等差数列求和知识计算等本金分期付款每月还款额和还款总额。（3）对小张年龄和收入情况的不同假设作出多种开放性结论。

探究合作性学习收获：一方面，使学生增长了专业知识，同时激发了学生的学习兴趣，有助于改变数学的教学现状。另一方面，使学生提高了能力，包括应用能力、创新能力及合作交流能力等，有助于改进单一学习方式的弊端。

高中数学等差数列总结【第三篇】

关键词：类比；概念；性质；结论；方法

中图分类号： 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0156-03

类比方法是数学发现中最常用、最有效的方法之一，是从特殊到特殊、特殊到一般、或从一般到一般的间接逻辑推理方法。通过对两个或两类对象进行比较，找出它们之间在某些关系或性质上的相同或相似点，以此为依据，推测它们在另外的关系或性质上的相同或相似的结论。这是一种合情推理，尽管逻辑依据不是很充分，类比的结果具有或然性，但是，良好的类比给出的“相似”比较接近于事物的本质，只要通过验证即行了。高中数学中的代数、立体几何以及解析几何中有许多的概念、定理、性质、结论等有许多的相似之处，正因为它们有着惊人的相似，所以在学习中可以将相似的概念等进行类比，通过类比的方法去理解、去体会，便可加深对所学知识的认识与理解，从而提高学习效率。

一、等差数列与等比数列中的类比

等差数列与等比数列是高中数学的重要内容之一，也是高考中的热点内容。对于这两个特殊的数列，它们的定义分别是：对于一个数列{an}，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列；如果从第二项起，每一项与它前面一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。根据其定义的相似性，在学习其性质时，不妨将它们进行类比。对于等差数列与等比数列的类比，有如下的关系：

（1）等差数列用“差”定义用“加法”表述性质

b类比 b类比

等比数列用“商”定义用“乘法”表述性质

即在等差数列中用“差”或“和”表述的性质，在等比数列中类比可得到相应的用“商”或“积”表述的性质。如：

①在等差数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且成等差数列，则am、an、ar、as成等差数列，即an-am=as-ar；

在等比数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且成等差数列，则am、an、ar、as成等比数列，即■=■。

②在等差数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，则am+an=ar+as；

在等比数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，则am・an=ar・as 。

③在等差数列{an}中，Sn为前n项的和，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…成等差数列；

在等比数列{an}中，Tn为前n项的积，则Tk，■，■，…成等比数列。

（2）等差数列中“某些项的和为0”可类比得到等比数列中“相应项的积为1”。

例1：（2000年上海卷）在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9= ，则有等式 成立。

分析：根据等差数列与等比数列中的类比方法，同时等差数列中的“0”与等比数列中的“1”类比，并且注意已知条件中“n＋（19-n）=2×10”，便可得到相应结论：

在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式a1・a2+…・an=a1・a2+…・a19-n（n＜19，n∈N+）成立。

评注：一般，对等差数列{an}，如果ak=0，则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0。所以有：a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+（an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n）（n＜2k-1，n∈N*）。从而对等比数列{bn}，如果bk=1，则有等式：b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n（n＜2k-1，n∈N*）成立。

（3）等差数列中的“n分之一”可类比得到等比数列中的“n次方根”。

例2：若数列{an}为等比数列，且an＞0，bn=■，则数列{bn}也为等比数列，类比上述性质，若}为等差数列，dn= ，则数列{dn}为等差数列。

分析：由上述类比方法可得结论：

若}为等差数列，dn=■，则数列{dn}为等差数列。

（4）等差数列中“某项的n倍”可类比得到等比数列中的“某项的n次幂”。

例3：等差数列{an}的前n项的和记为Sn，则Sn=■，若等比数列{bn}（bn＞0）的前n项的积记为Tn，类比等差数列的前n项的和公式，可得结论：Tn＝ 。

分析：等差数列中的两项的和可类比得到等比数列中相应两项的积，和的n倍可类比得到积的n次幂，等差数列中两项和的二分之一可类比得到等比数列中两项积的平方根，于是可得结论：Tn=■，或写成：Tn=（■）n（证明略）。

通过类比加深了学生对知识的理解，便于学生记忆与应用。

二、函数中的类比

反函数是高中数学中的一个重要概念，根据反函数与其原函数之间的关系，在讨论反函数的性质时，将其与原函数进行比较，可以体现数学中的对称美。

根据反函数的定义及求法，不难发现原函数与反函数之间存在x与y互换的性质。比如，原函数的定义域与反函数的值域的对应关系、原函数的图像与其反函数的图像之间的对称关系无不反映这一点，在指数函数与对数函数的学习中，便可利用这一互为反函数的关系进行学习，在讨论对数函数的性质时，只要将指数函数的相应性质的“x”“y”互换，即可得到对数函数的性质。

三、平面几何与立体几何的类比

在空间问题与平面问题的类比中，通常可抓住几何要素的如下对应关系作类比：

多面体？圮多边形； （平）面？圮边（直线）

体积？圮面积； 二面角（多面角）?圮平面角

面积？圮线段长； … …

例4：如图1，在三棱锥A-BCD中，截面B1C1D1平行于底面BCD，若三棱锥A-BCD的体积为1，S■=■S■，则三棱锥A-B1C1D1的体积为 ■ 。

分析：在平面几何中，两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方，则类比可得到在立体几何中，两个相似多面体的体积之比等于相似比的立方，此题中的三棱锥A-B1C1D1与三棱锥A-BCD是相似多面体，由已知可求得AB1＝■AB，因此可求得V■=■V■。

这种通过对知识的归纳类比，并总结出一般的结论的思考方法是学习数学的一种基本的方法，它有助于我们养成良好的思维习惯，不断地对知识进行归类整理，使所学知识系统化。

四、平面向量与空间向量的类比

平面向量与空间向量的定义、运算法则及它们的坐标运算都是一样，只是维数不同，因此在高二（下B）学习空间向量时，完全可以在高一平面向量的基础上通过类比的方法进行学习。在平面向量中的一些结论可利用类比的方法得到空间向量中的结论，如：

（1）“平面向量中，两个向量■与■（■≠■）共线的充要条件是存在唯一实数λ，使■＝λ■”，类比可得“空间向量中，三个向量■、■、■（■与■不共线）共面的充要条件是存在唯一的一对实数λ与μ，使得■＝λ■+μ■”；

（2）“平面向量中，A、B、C三点共线的充要条件是对平面内的任意一点P，存在实数λ与μ，使得■＝λ ■+μ■，且λ+μ=1”，类比可得空间向量中，A、B、C、D四点共面的充要条件是存在实数λ、μ与ω，使得 ■＝λ■+μ■＋ω■，且λ+μ+ω＝1”；

（3）在平面向量中有平面向量基本定理：如果■与■是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量■，有且仅有一对实数λ1，λ2，使■=λ1■+λ2■，在空间向量中，可由此类比得到空间向量基本定理：如果■、■、■是空间三个不共面的向量，那么对于空间的任一向量■，有且仅有一组实数λ1，λ2，λ3，使 ■=λ1■+λ2■+λ3■；

五、解析几何中的类比

解析几何中的椭圆、双曲线的定义非常相似，从定义上看，仅仅是“和”与“差（的绝对值）”的区别，并且它们有统一的第二定义，它们的第二定义也仅是常数e的取值范围不同。因此，在讨论了椭圆的几何性质后，便可类似地得到双曲线的相应的几何性质，如它们的范围、对称性、离心率等。

例5：（2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值。试对双曲线■-■=1写出具有类似特性的性质，并加以证明。

分析：根据椭圆与双曲线的定义与性质的相似性，可得结论：若M、N是双曲线■-■=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值。（证明略）

六、在解题策略中通常采用规律类比、数形类比、形式类比等

解题过程中，借助类比将陌生对象和熟悉对象、未知规律和已知规律相互类比之后，往往达到启发思路、举一反三的效果。

例6： 计算D=sin（α1+α1）sin（α2+α2）sin（α3+α3）+sin （α1+α2） sin （α2+α3） sin （α3+α1）+sin（α1+α3）sin（α3+α2）sin（α2+α1）-sin（α2+α1）sin（α3+α3）sin（α1+α2）-sin（α2+α3）sin（α3+α2）sin（α1+α1）-sin（α3+α1）sin（α1+α3）sin（α2+α2） 。

分析：由求解式的构成特点、规律类比到三阶行列式，从而

D=sin（α1+α1） sin （α1+α2） sin（α1+α3）sin（α2+α1） sin （α2+α2） sin（α2+α3）sin（α3+α1） sin （α3+α2） sin（α3+α3）

=sinα1 cosα1 0sinα2 cosα2 0sinα3 cosα3 0・cosα1 cosα2 cosα3sinα1 sinα2 sinα30 0 0=0

例7：求满足方程组y=4x3-3xz=4y3-3yx=4z3-3z的实数（x，y，z）。（1990北京IMO集训题）

分析：由每个方程的形式联想三倍角的余弦公式，用三角法。首先证明|x|≤1，用反证法|x|＞1由y=4x3-3x=x（4x2-3）|y|＞|x|.同理|z|＞|y|、|x|＞|z|，矛盾。

因此可设x=cosθ，0≤θ≤π，则y=4cos3θ-3cosθ

=cos3θ，z=cos9θ，x=cos27θ.提出cosθ-cos27θ=0

sin13θsin14θ=0，θ有27个解：

θ=■，k=0，1，2，…，13；或者θ=■，k=0，1，2，…，13。

所以，（x，y，z）=（cosθ，cos3θ，cos9θ），其中θ=■或■且θ=0，1，2，…，13。

另外，除了上述概念、定理、性质之间的类比即解题方法的类比外，还有从特殊到一般的类比等等。

总之，知识的类比，实际上也就是新旧知识的迁移；方法的类比，也就是对知识的归纳与总结。张雄将类比分为简单共存类比法――根据对象之间具有简单共存关系而进行类比推理；因果类比法――根据对象的属性间可能有同一种因果关系而进行的推理；对称类比法――根据对象属性之间具有对称性而进行的推理；协变类比（数学相似）法――根据对象属性之间具有某种确定的协变关系（即函数变化关系）而进行的推理；综合类比法――根据对象属性的多种关系的综合相似而进行的推理，数学中有降维与升维类比，等。作为教师，在教学中应该有意识地教给学生如何去进行类比，引导学生通过对新旧知识的对比，找出它们的差异与相似的地方，通过类比得出新的知识，有助于学生对知识的理解与掌握。同时，只要学生学会了正确的方法，则可提高学生学习数学的兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的自学能力。

参考文献：

[1]杨燕。崭露头角的研究型试题[Z].中学数学教学参考，2002.

[2]张同君。中学数学解题研究[M].东北师范大学出版社，2002.

高中数学等差数列总结【第四篇】

关键词：灰色时间序列；用电总量预测；误差分析

引言

全国电力年消耗总量作为重要的经济指标，对国内经济环境的反映具有重要作用。电力在传输、储存和远程调配等环节中损耗严重，从而要求了发电量必须与用电量相适应。基于以上两点，对未来全国电力年消耗总量进行准确预测，不仅能对发电工作进行提前指导，还能根据预测数据指导经济政策的制订。

目前，对全国电力年消耗量预测进行较少，多为专家定性预测，准确度得不到保障，而全国电力年消耗量影响因素众多，内部关系不明晰。针对此，本文利用灰色时间序列进行预测，所需数据量小，准确度高，预测结果更具有参考价值。

1 灰色r间序列

时间序列预测是将所需要预测的数据按照时间进行排列，形成一个数列，利用数列的内在规律，合理外推出未来时间相应节点所对应的数据。灰色预测用于数据内在关系不明确或不完全已知的情况，利用较少数据，进行准确度和可信度高的预测。灰色时间序列将以上两种方法相结合，所需数据少，预测准确，可信度高，特别适合类似于用电总量的预测分析。

灰色时间序列预测过程包括：数据预处理（累加数列），序列建立，参数求解，精度检验。

2 基于灰色时间序列的全国电力年消耗量预测

实验条件

（1）查询国家统计局有关数据，2007至2016年全国电力年消耗总量数据如表1所示。

（2）在MATLAB R2014a，利用MATLAB语言对相应程序进行了编写。

实验结果

利用灰色时间序列进行预测，预测2017年全国电力年消耗总量为万亿兆千瓦，全国电力年消耗量预测如图1所示。

误差分析

以2012～2016年全国电力年消耗总量作为预测目标，将预测值与实际值进行比较，误差分析结果见表2。

从预测误差表中可以看出，利用已知实际值和模型预测值进行比较，2012～2016年全国电力年消耗总量预测值与实际值差距最大为%，最小为%，5组验证均保证预测值与实际值差异小于5%，满足统计学的预测值具有95%的保证率的要求，预测精度高，预测结果可信，预测数据具有重要的现实意义。

3 结束语

综合全国电力年消耗总量符合时间序列规律以及数据量小，内部关系不完全清晰的特点，利用灰色时间序列得到预测模型，并对2017年全国电力年消耗总量进行了预测。预测方便，所需数据量小，通过误差分析发现，预测结果准确度高，具有重要的现实意义。预测2017年我国电力年消耗总量将达到万亿兆千瓦，继续呈现上升趋势，为保证电力供应，有关部门应及早进行准备，参考预测数据采取相应措施。

参考文献

[1]林添枝，吴卢荣，陈绩馨。基于时间序列与灰色拓扑的春节火灾损失预测[J].数学的实践与认识，2014（17）：176-183.

[2]杨月英，马萍。基于灰色时间序列预测中国汽车销量[J].湖州职业技术学院学报，2012（01）：5-7+11.

[3]肖勇，尹世洋，邵景力，等。灰色预测与时间序列分析在地下水位预测中的应用[J].灌溉排水学报。

[4]刘淼。基于灰色理论的时间序列交通事故预测[J].许昌学院学报，2014（02）：14-17.

[5]曹艳平。灰色时间序列理论及应用的研究[D].西安建筑科技大学，2005.