双曲线的定义实用5篇

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双曲线的定义范文1

关键词：圆锥曲线；椭圆；双曲线；准线；焦半径；准线来历；认同

一、问题的提出

焦点和准线在研究圆锥曲线时的重要作用不言自明。焦点和准线联系紧密。焦点的来历教材有所说明，然而准线的来历没有介绍。准线“来历不明”，这也导致学生缺乏对准线的认同感，在解决问题时不容易想到准线。

在苏教版选修2-1《圆锥曲线与方程》的第一节，先介绍从圆锥面截得三种曲线。在其中一种曲线中，利用丹德林双球模型，证明了曲线上任意一点到两定点的距离和为定值。这条截线叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点。教材给出了焦点的来历。

接下来，教材分别给出了双曲线、抛物线的定义。双曲线的定义与椭圆类似，涉及焦点，而抛物线的定义不仅涉及焦点，还涉及准线，但教材没有说明准线来历。

在后面《圆锥曲线的统一定义》一节中，教材把准线从抛物线推广到圆锥曲线。这样，椭圆和双曲线也有了准线。

教材从始至终都没有说明圆锥曲线准线的真正来历。俗话说：“名不正则言不顺。”如果在圆锥面截得抛物线时构造准线，那是一件非常繁琐的事情。这也与本章的主题（用代数方法研究几何问题）相悖。

笔者设想在研究椭圆和双曲线焦半径时引入准线，再把准线推广到抛物线的情形，还希望这样处理不要耗费太多的时间和精力。

二、定性描述焦半径

在本章第一节的结尾处，有一个在图板上画椭圆的内容。在画好椭圆后，我们可以适时地给出如下的思考。

思考画圆只要一个定点，而画椭圆需要两个定点；画圆时定长不变，画椭圆时，细绳被分为两段，每一段的长度都在变化。那么，这每一段的长度变化有规律吗？如果有的话，如何描述？

仔细观察画图过程，一个较好的描述是：当笔尖在焦点连线上方自左向右移动时，笔尖到左焦点的绳长越来越长，到右焦点的绳长越来越短；笔尖在焦点连线下方时，情况类似。

这是对椭圆焦半径的定性描述，为后面的定量描述做好铺垫，在新课学习时插入这个思考不需要花费很长时间。

三、定量刻画焦半径，为“创造”准线打下基础

在《椭圆的几何性质》一节中有这样一道例题。

例：我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439 km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384 km，AB是椭圆长轴，地球半径约为6371 km，求卫星运行的轨道方程。

读完这道题，细心的学生可能会提出这样的问题：为什么长轴的端点到其中一个焦点的距离最短（长）？或者说，为什么近（远）地点是长轴的端点？

如果没有学生提出这个问题，教师可以引导他们提出。为了解释近（远）地点，引导学生用代数方法来研究椭圆上任意一点P到左焦点的距离表达式。

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。以上这5篇双曲线的定义是来自于山草香的双曲线的相关范文，希望能有给予您一定的启发。

双曲线的定义范文2

随着“微”概念的流行，以及“翻转课堂”和可汗学院教学模式在全球的迅速传播，“微课”成为教育界关注的热点话题，并在教学中发挥着重要的作用。在国内，最早提出“微课”概念的是广东省佛山市教育局的胡铁生。随着国内外微课实践的不断丰富和相关研究的逐步深化，微课的概念在不断的发展和改进，许多学者和教育工作者都提出来自己的看法。目前国内对“微课”概念的界定还未达成共识。

一般认为，“微课”是指按照新课程标准及教学实践要求，以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点、难点、疑点）或教学环节而开展的精彩教与学活动全过程[1].

“微课”的核心组成内容是课堂教学视频（课例片段），同时还包含与该教学主题相关的教学设计、素材课件、教学反思、练习测试及学生反馈、教师点评等辅助性教学资源，它们以一定的组织关系和呈现方式共同“营造”了一个半结构化、主题式的资源单元应用“小环境”[2].

根据以上分析，笔者对微课的再认识有以下几点：

（1）“微课”不同于传统的单一资源类型的教学课例、教学设计，是在其基础上发展起来的新型的教学资源。微课可以用在课前、课中，课后，在教学环节中使用灵活，是教学环节的一部分。

（2）微课的时间一般5～10分钟，时间简短而内容精要，但绝不是一节课的缩影，是针对某个知识点或是某节课的重点、难点展开，内容选择不宜过大。

（3）微课的应用，使教学时间与空间得到拓展，既能提高数学教学的有效性又能促进学生的自主学习。

2 基于微课的数学教学设计

微课在教学实践中发挥着重要的作用，下面以人教B版普通高中数学选修2-1《双曲线的标准方程》为例，给出以微课作为课前预习环节重要载体的教学设计。

（1）目标分析

学生在课前通过观看微课视频，复习椭圆的相关知识，并在视频的引导下，运用类比的思想自主思考得到双曲线的定义，深刻理解双曲线的概念。进一步在课上小组合作、自主探究推导得出双曲线的标准方程。通过探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

（2）教学素材的准备

课前给学生关于复习椭圆的定义与方程、类比推导双曲线的微视频以及自学报告单，几何画板，动态演示双曲线的图像。

（3）教学理念的准备

结合建构主义学习理论以及思维“最近发展区”理论，开展课堂教学。在类比椭圆的过程中，让学生去感受、理解双曲线的概念，学生往往能深刻的理解双曲线的本质。同时，前后知识也能很好的连贯起来。本次微课虽然时间短暂，但是仍提供大量的时间给学生探索、体验、思考、整合，在尽可能短的时间内让学生体会双曲线的形成过程。

（4）微视频、自学报告单设计分析

微视频

将《双曲线的标准方程》这一节的教学内容做成PPT，回顾椭圆的定义、标准方程，用实验来获得双曲线的定义制作成微视频。

①温故知新

教师用PPT呈现如下三个问题：

问题1：椭圆的定义是什么？

问题2：椭圆的标准方程是什么？

问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

要求学生将问题1、2的答案写在自学报告单上，并思考问题3.

设计意图通过复习回顾，既检测了学生对椭圆知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫，导入新课。

②实验探究

师：数学家欧拉曾说过：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。下面我们通过实验来研究问题3：

实验用品：大头钉 2 个，一条拉链，笔，剪刀

实验步骤：

1.取一条拉链，拉开一部分，将其中一支拉链剪短（保证了距离之差为定值）；

2.将拉链的两端固定在两个大头钉上；

3.笔尖P放在拉链的拉头处，并随着拉头移动。

实验一：慢慢将拉链拉开，笔尖在板上慢慢移动，看形成的图形，思考作图过程。

在图形的形成过程中，两个大头钉间的距离是变化还是不变的？

在画图形的过程中，笔尖与两个大头钉间距离大小有怎样的关系？

实验二：将两个长短拉链的固定位置互换，再慢慢将拉链拉开，笔尖在板上慢慢移动，看形成的图形，思考作图过程。

教师通过几何画板形象展示双曲线的形成过程，引导学生分析、归纳双曲线的定义。

我们可以归纳出双曲线定义应包含下列要素：

由于剪掉的拉链长度是固定的，所以点P到两个定点的距离的差的绝对值是个定值；

点P到两个定点的距离的差的绝对值要小于两个定点之间的距离。

③类比椭圆的定义，我？可以得到双曲线的定义：

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离2c叫做双曲线的焦距。

为了进一步帮助学生理解概念，把握平面内动点的轨迹、距离差的绝对值为常数 、常数要小于|F1F2|且不等于0等重要特征，教师设置两个问题：

问题1：类比椭圆，寻找双曲线定义中的关键字

问题2：若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？

特殊情形：

若常数2a=0，轨迹为线段F1F2的垂直平分线；若常数2a>|F1F2|， 此时轨迹不存在；若常数2a=|F1F2|，此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线；若去掉绝对值，则表示双曲线的一支。

④自主练习

学习了椭圆的定义让我们来解决下面的问题：

问题1 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差的绝对值为6的动点P的轨迹

答：点P满足双曲线的定义，是双曲线。

问题2 到点★★F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差为6的动点P的轨迹

答：点P的轨迹双曲线的一支

问题3 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差为8的动点P的轨迹

答：点P的轨迹为以F1或F2为端点的两条射线

问题4 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差为10的动点P的轨迹

答：点P的轨迹不存在。

⑤小结：

自学报告单

（6）教学过程

教师批改自学报告单，及时了解学生掌握知识的情况。进行二次备课，适当调整教学设计。

①开门见山 直入主题

师：同学们看微课了吗？今天我们要学习什么知识？――双曲线及其标准方程（板书）

师：双曲线的定义是什么？

生： 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离2c叫做双曲线的焦距。

②小组交流 辨析重点

小组内，互相批改自学报告单中的自主练习，互相辨析有不同答案的题目。

通过教师提问、小组交流的方式，教师能够了解学生对双曲线概念的掌握情况。

③小组汇报 落实重点

教师根据学生的小组学习情况开展学习活动，重点针对学生在微课学习中出现的问题，及时点拨，进一步深化？λ?曲线概念的理解。

④自主探究 合作交流

利用微课解决双曲线概念理解的难点后，接着进行标准方程的教学。

教师设置问题：

问题1 回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法；

问题2 类比椭圆试着推导双曲线的标准方程；

问题3 换元处理与椭圆有没有区别？

问题4 猜证双曲线焦点在y轴上的标准方程。

学生回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法：①建系；②设点；③列式；④化简

小组合作交流在教师的引导下，认真思考教师设置的问题，类比椭圆标准方程的推导，尝试完成双曲线标准方程的推导。

设计意图通过探究、合作推导出双曲线的两种标准方程，加深学生对类比思想的应用，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

师：引导学生对双曲线方程的两种形式进行比较，强调双曲线方程的特点与判断焦点位置的方法

生：认真观察双曲线的两种标准方程，通过小组讨论、比较，归纳双曲线方程特点，以及如何判断焦点的位置

设计意图通过小组交流、合作探索，让学生各抒已见，畅所欲言，激发学生的学习兴趣，体验成功的快乐。

⑤双曲线的标准方程

焦点在x轴 标准方程：x2a2-y2b2=1

焦点在y轴 标准方程：y2a2-x2b2=1

注意：

双曲线方程特点：

① 方程中x2 ，y2的系数异号；②a>0，b>0，c2=a2+b2但a，b大小不确定。

判断焦点位置：

如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上。

⑥例题精讲 简单应用

例1 已知双曲线的焦点 F1（-5，0）， F2（5，0），双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。

例2 已知双曲线的一个焦点坐标是（0，-6），经过A（-5，6），求双曲线的标准方程。

例3 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。

前两道例题由学生讲解，教师指导补充。教师引导学生对例3进行分析，详细讲解求解过程。

设计意图通过精讲例题，巩固所学，帮助学生掌握求双曲线标准方程的两种方法：定义法与待定系数法，以及双曲线方程的简单应用。

⑦归纳总结 思维提升

设计意图让学生自己来归纳总结，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。

⑧分层作业 巩固落实

设计意图布置作业，进一步巩固所学的知识。作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，满足不同学生的不同需要。

3 几点启示

本次微课给出的是双曲线的概念，是一次概念教学课。基于本次微课的教学，为进一步提高微课的教学质量，笔者得到以下几点启示：

（1）微课教学要合理选题，切题迅速

微课的特点主要体现在“微”，这个“微”字，一是指时间简短，二是指只是针对某一个知识点或某些例题。因此，并不是所有的课都适合微课教学，要合理选题；同时，内容选择上范围不宜过大。此外，微课教学中要处理好“微”还需做到切题要快，开门见山，切题迅速，选择与所讲内容紧密相关的知识，主题突出，这样才会有时间讲解重点内容。

（2）微课是一个完整的教学活动

微课是围绕数学课程中的某个知识点或某个教学环节开展的数学教学活动，一般是教学的重点、难点和疑点。俗话说：麻雀虽小，五脏俱全。微课虽然短小精悍，但它也有完整的教学过程，是完整的教学活动。每次微课都有其教学目标、教学重难点、引入、师生互动、相应练习、归纳总结等[3].

（3）微课的教学对象始终都是学生

虽然录制微视频时，没有学生在场，但是微课的教学对象还是学生，在视频中也要有师生的互动。因此，设计微课，最关键的是从学生的角度去设计，而不是从教师的角度去设计，体现以人为本，以学生为主体的教育教学理念[4].

（4）切实重视自学报告单的应用

双曲线的定义范文3

一、巧用定义求轨迹

例1 已知圆C1：（x+3）2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

分析：解决本题的关键是寻找点M满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然而然地想到圆心距与半径的关系，还必须注意同圆的半径相等这一条件。

解：如图：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得到：|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2.

这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小）.

这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为（x，y），则其轨迹方程为x21-y28=1（x

点评：（1）本题是利用定义求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可以求出a、b时，就可以直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出其标准方程。

练习1：已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB-sinC=12sinA，求顶点A的轨迹。

答案：建立适当的直角坐标系，则B（-6，0），C（6，0），设A（x，y）为轨迹上任一点，则y≠0，|BC|=12.因为sinB-sinC=12sinA，利用正弦定理，我们有|AC|-|AB|=12|BC|，结合双曲线定义，动点到两个定点C、B距离之差为6，动点A位于以B、C为焦点的双曲线上，又注意到，此时A点只能在左支上，并且不能与左顶点重合。双曲线中，实轴长为6，焦距为12，则a=3，c=6，b2=c2-a2=27，中心在原点，两焦点在x轴上，方程为x29-y227=1，所以A点轨迹是双曲线x29-y227=1的左支，并且除去点（-3，0）.

二、巧用定义求面积

例2 已知F1、F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求F1PF2的面积。

分析：利用双曲线的定义及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积。

解：P为双曲线x24-y2=1上的一个点且F1、F2为焦点。||PF1|-|PF2||=2a=4，|F1F2|=2c=25

∠F1PF2=90°，在RtPF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.

（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，20-2|PF1||PF2|=16，

|PF1|·|PF2|=2，SF1PF2=12|PF1|·|PF2|=1.

点评：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用。

练习2：若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B，若|AB|=5，求AF1B的周长。

答案：由题意得到：|AF1|-|AF2|=2a=4，|BF1|-|BF2|=2a=4，

把两式相加|AF1|+|BF1|-（|AF2|+|BF2|）=8，且|AF2|+|BF2|=5，所以|AF1|+|BF1|=13，则AF1B的周长为18.

三、巧用定义求角

例3 已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。

分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形。

解：点P在双曲线的左支上，|PF2|-|PF1|=6，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36.

|PF1|2+|PF2|2=100.|F1F2|2=4c2=4（a2+b2）=100，∠F1PF2=90°

点评：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化。（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视。

练习3：已知双曲线的离心率为2，F1、F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2=60°，且SPF1F2=123，求双曲线的标准方程。

双曲线的定义范文4

从高考内容上看，双曲线标准方程及几何性质是命题的热点，题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度不大，但有一定的灵活性。

重点：双曲线的第一、第二定义， 双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，轨迹问题等。

难点：a，b，c，e等参数值的求法及其取值范围问题的探讨，直线与双曲线位置关系相关的综合问题。

（1）研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，首先应考虑用定义来解题。 关注定义中的“绝对值”，若定义中去掉了“绝对值”，则点的轨迹是双曲线的一支，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。

（2）研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还会经常用到正、余弦定理。

（3）求双曲线的标准方程．

①定义法：分析题目条件是否满足定义；求出a，b，c；写出方程．

②待定系数法：确定焦点的位置；设出待求方程；确定相关系数；写出方程．

（4）双曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如：双曲线■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等。 在求与双曲线有关的一些量的范围或与这些量有关的最值时会经常用到这些不等关系。解决双曲线中有关变量的最值与取值范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法． 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．

（5）直线与双曲线。 直线与双曲线位置关系的判断：直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式δ，则有：δ>0？圳直线与双曲线相交于两个点；δ=0？圳直线与双曲线相交于一个点；δ<0？圳直线与双曲线无交点． 若得到关于x（或y）的一元一次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．

（6）直线与双曲线相交时常见问题的处理方法：①涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长。 直线l被双曲线截得的弦长ab=■或ab=■，其中k是直线l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直线与双曲线的两个交点a，b的坐标，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韦达定理整体给出． ②涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题时，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．

（1）求双曲线c的方程；

（2）若直线：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线c交于不同的两点m，n，且线段mn的垂直平分线过点a（0，－1），求实数m的取值范围．

思索 ①涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的问题，δ>0是必不可少的条件． ②关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑δ>0，还要考虑方程根的取值范围。

建议同学们在复习本节内容时重视以下几个方面：

（1）重视定义在解题中的作用，对于双曲线的两种定义，要在训练的过程中加强理解和掌握。

（2）重视平面几何知识在解题中的作用，解题过程中应借助图形分析条件，寻求最优解法。

（3）重视设而不求的整体化处理思想的应用，遇到有关直线与双曲线交点及相关问题时，若解方程组求交点，往往运算量大，易出差错，设而不求利用根与系数的关系便可简捷求解。

双曲线的定义范文5

双曲线的通径是过焦点，垂直于实轴的弦，通径有两条，长为2b²/a。

双曲线的定义为平面交截直角圆锥的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e=c/a（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为x=±a²/c（焦点在x轴上）或y=±a²/c（焦点在y轴上）。

（来源：文章屋网 ）