证明面面平行的方法参考5篇

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面面平行的证明1

面面平行的证明

判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

反证：记其中一个平面内的两条相交直线为a，b。假设这两个平面不平行，设交线为l，则a∥l（过平面外一条与平面平行的直线的平面与该平面的交线平行于该直线），b∥l，则a∥b，与a，b相交矛盾，故假设不成立，所以这两个平面平行。

2证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α，求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

4直线与平面平行的判定

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

判断直线与平面平行的方法

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α，求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

6证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥b.直线与平面平行的判定

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

判断直线与平面平行的方法

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α，求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

它山之石可以攻玉，以上就是一秘为大家整理的5篇《证明面面平行的方法》，能够给予您一定的参考与启发，是一秘的价值所在。

面面平行2

面面平行的判定和性质

一、内容提要

1、 两个平面的位置关系：

（1） 平行：没有公共点；

（2） 相交：有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

2、 两个平面平行的判定定理表述为：

4、 两个平面平行具有如下性质：

（1） 两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行，则线面平行”。

（2） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行，则线线平行”。

（3） 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

（4） 夹在两个平行平面间的平行线段相等。

二、要点内容

1、 证明两个平面平行的方法有：

（1）根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

（2）根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2、 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3、 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

1、设直线l,m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的是„() α，mα，且l∥β，m∥β α，mα，且l∥m ⊥α，m⊥β，且l∥m ∥α，m∥β，且l∥m

2．已知直线l⊥平面α，直线m②

③

平面β，有下面四个命题: ①④

其中正确的两个命题是（）

A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③

3、下列命题中正确的是()

①平行于同一直线的两个平面平行②平行于同一平面的两个平面平行③垂直于同一直线的两个平面平行④与同一直线成等角的两个平面平行

A.①②B.②③C.③④D.②③④

4、给出下列四个命题:①夹在两个平行平面间的线段中，较长的线段与平面所成的角较小；②夹在两个平行平面间的线段相等，则它们与两个平面所成的角相等；③夹在两个平行平面间的线段相等，则这两线段必平行；④夹在两个平行平面间的平行线段必相等。 其中正确的命题有()

A.①②④B.②③④C.①③D.④

5、设α，β表示平面，a表示直线，且直线a不在平面α或β内，并有①α∥β；②a⊥α；③a⊥β。以其中任意两个为条件，另一个为结论，可构造出三个命题。其中正确命题的个数是（) 、已知平面α∥平面β，α，β之间的距离等于d,直线aα，则β内（） A.有且只有一条直线与a的距离等于d B.有无数条直线与a的距离等于d C.所有直线与a的距离都等于d D.仅有两条直线与a的距离等于d7、如果平面α∥平面β，直线a平面α，点B∈β，则平面β内过点B的所有直线中，下列结论成立的是(）

A.不一定存在与a平行的直线 B.不存在与a平行的直线

C.存在唯一一条与a平行的直线 D.存在无数条与a平行的直线

8、已知m,n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题: ①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线； ②若α∥β，mα，nβ，则m∥n; ③若m⊥α，n⊥β，m∥n,则α∥β； ④若α∥β，mα，则m∥β。 其中正确的命题是()

A.①②③B.③④ C.②③D.④

*

9、已知平面α∥平面β，C、A∈α，B、D∈β，AB⊥CD,且AB=2，直线AB与平面α所成的角为30°，则线段CD长的取值范围为()

]

3242,)D.［，+∞) C.(333

A.［1，+∞)B.(1,*

10、已知平面α∥平面β，其间夹一垂线段AB=4，另一斜线段CD=6，且AC=BD=、F分别是AB、CD的中点，则EF的长为(

)

11、如下图，点P是一光源，将一投影片放在平面α内，问投影幕所在平面β与平面α______时，投影图象的形状不发生变化

。12、如图，已知平面α∥平面β，线段AB、CD夹在α、β之间，AB=13，CD=55，且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离是

____________.13、 如图，平面段BF分别交，线段AB分别交

于C、D，线END的面积．

于M、N，线段AD分别交

=78．求

于F、E，若AM=9，MN=11，NB=15，S14、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面 CDE是等边三角形，棱EF

1

2BC. (1)证明FO∥平面CDE;

（2）设BC=CD,证明EO⊥平面 如图2－23：已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BDC1。

D

1C1

AC

B

16、如图：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD； （2）求SMNG:SADC

D C

A

17．如图：在正方体ABCD－EFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP//平面QRS。

E

Q

CA B

18、如图，正四棱锥S—ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长

。19. 已知：如图，α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH∥平面α

。

证明面面平行的方法3

证明面面平行的方法

利用向量方法判断空间位置关系，其难点是线面平行与面面垂直关系问题。应用下面的两个定理，将可建立一种简单的程序化的解题模式。定理1设MA→、MB→不共线，pQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R)，则①p∈平面MABpQ平面MAB;②p平面MABpQ∥平面MAB.定理2设向量AB→、AC→不共线，DE→、DF→垂直于同一平面的两个平面互相平行

这个是错误的，比如立方体相邻三个面，两两垂直，显然不符合你说的平行条件，证明面面平行可以用垂直于同一直线来证，但垂直于同一平面是错的2

1,线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行与或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2

2，（最白痴的一个）平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2

3，通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的这些方法前面都要通过其他方法证明，一步步才能证到这儿，譬如方法1，要先证明线面垂直，所以你也得知道线面垂直的证法有哪些。学立体几何，重要的是空间感，没事多揣摩揣摩比划比划，把每个定理的内容用图形表示出来，并记在脑子中，这样考试的时候才能看到图和题就会知道用什么定理了，熟记并熟练掌握哪些定理的运用才行。还有像这样比较好，证明每个东西都有哪些方法，有几种途径，那么做题的时候想不起来用哪个就可以根据题目条件一步步排除，并选择对的方法，一般老师上课都会总结的。还是好好听课吧~~

3

判定：

平面平行的判定一如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

平面平行的判定二垂直于同一条直线的两个平面平行。

性质：

平面平行的性质一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

平面平行的性质二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。

这五个条件？哪五个？

判定一中：两条相交的直线是可以确定一个平面的，所以“两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。”

判定二中。如果一个直线垂直与一个平面，那么直线垂直于平面内的所有直线，则有垂直于同一条直线的两个平面平行。

4

线线平行证2条线成倍数就行，倍数属于R线面平行找面的法向量，它的法向量与线平行就OK面面平行先找两个面的法向量，只要2个法向量成成倍数就行

怎么证明面面平行4

怎么证明面面平行

线面垂直：1.一条线与平面内两条相交直线垂直

2、一条线在一个平面内，而这个平面与另外一个平面垂直，那么这条线与另外一个平面垂直

面面垂直：一条线与平面内两条相交直线垂直，且有一个平面经过这条线

2证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a在平面α上，b在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面γ上，b在平面γ上

∴a∥用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α，求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

4直线与平面平行的判定

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

判断直线与平面平行的方法

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α，求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点p，点p∈β

又因为p∈AB，所以p∈α

α、β有公共点p，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

6

线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

面面平行5

面面平行

一。知识与方法:

1、面面平行定义:无公共点

2、面面平行判定定理：一平面上的两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。 推论1：若一平面上两条相交直线分别平行于另一平面上的两条直线，则两平面平行 推论2:垂直于同一直线的两个平面平行

推论3：平行于同一个平面的两个平面互相平行 3.面面平行性质:

（1）两平面平行，则一平面内的任意直线都平行于另一平面 （2）两平面平行，第三个平面与两平面相交，则两条交线平行 （3）两平面平行，则垂直于一平面的直线也垂直于另一平面

二。复习题:

1．下列命题中正确的是（）

(A)两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合(B)若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (C)若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

(D)若两个平面平行，则其中的一个平面与另一个平面内的所有直线都平行

2．M、N、P为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，则有下列命题，不正确的是（(1)若a∥c，b∥c，则a∥b（2）若a∥P，b∥P，则a∥b (3)若M∥c，N∥c，则M∥N（4）若M∥P，N∥P，则M∥N (5)若M∥c，a∥c，则M∥a(6)若M∥P，a∥P，则a∥M A．（4）（6）B。（2）（3）（6）C。（2）（3）（5）（6）D。（2）（3）

3、若平面上有不共线的三点到平面的距离都相等，则和 的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.以上三种情况都有可能

4．设直线m在平面内，则“∥平面”是“直线m∥”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．a、b、c是空间三条不同直线，、、是空间的三个不同 平面，下列给出四个命题：

（1）a⊥b，b⊥c，则a⊥c（2）a∥，b⊥，则a⊥b（3）∥，∥，则∥（4）∥，a，b，则a∥b 其中正确的命题序号为___________

6、己知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四个命题 (1)若m∥n，m⊥，则n⊥(2)若

∥，m，n，则m∥n

（3）若m∥n，m∥，则n∥(4) 若∥，m∥n，m⊥，则n⊥ 则其中正确命题的序号是________________ 7．平面∥平面的一个充分条件是（）

A．存在一条直线a，使a∥，a∥C．存在两条平行直线a，b，使a，b，a∥，b∥ B．存在一条直线a，使a，a∥D．存在两条异面直线a，b，使a，b

，a∥，b∥

8．直线L∥平面，L与的距离为b，则到直线L的距离和到平面的距离都等于35

b的点的集合是） A．一条直线B．两条平行直线C．一个平面D．两个平面

9．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_____________时，有MN∥平面BB1D1D 10. 己知平面∥平面，两条直线AB、CD分别与和交于A、B和C、D，且AB∥CD。求证：AB=CD

11、己知异面直线AB、CD分别与两平行平面和交于A、B和C 、D， E、 F分别是AB、CD的中点。 求证：EF∥。 AC

EF

B

D

12、己知异面直线a、b ， a平面，b平面。若a∥，b∥，求证：∥a

）