数学有理数知识点【优质4篇】
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数学有理数知识点总结【第一篇】
(1)凡能写成形式的数,都是有理数,整数和分数统称有理数。
注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数;
(2)有理数的分类:①②
(3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的`数也有自己的特性;
(4)自然数0和正整数;a>0a是正数;a<0a是负数;
a≥0a是正数或0a是非负数;a≤0a是负数或0a是非正数。
有理数知识点总结归纳【第二篇】
1、正数和负数的有关概念
(1)正数:比0大的数叫做正数;
负数:比0小的数叫做负数;
0既不是正数,也不是负数。
(2)正数和负数表示相反意义的量。
2、有理数的概念及分类
3、有关数轴
(1)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。
(2)所有有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不一定都是有理数。
(3)数轴上,右边的数总比左边的数大;表示正数的点在原点的右侧,表示负数的点在原点的左侧。
4、绝对值与相反数
(1)绝对值:在数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做a的绝对值,
一个正数的绝对值等于本身,一个负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0.即
(2)相反数:符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。
若a、b互为相反数,则a+b=0;
相反数是本身的。是0,正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。
(3)绝对值最小的数是0;绝对值是本身的数是非负数。
任何数的绝对值是非负数。
最小的正整数是1,最大的负整数是-1。
5、利用绝对值比较大小
两个正数比较:绝对值大的那个数大;
两个负数比较:先算出它们的绝对值,绝对值大的反而小。
6、有理数加法
(1)符号相同的两数相加:和的符号与两个加数的符号一致,和的绝对值等于两个加数绝对值之和。
(2)符号相反的两数相加:当两个加数绝对值不等时,和的符号与绝对值较大的加数的符号相同,和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值;当两个加数绝对值相等时,两个加数互为相反数,和为零。
(3)一个数同零相加,仍得这个数。
加法的交换律:a+b=b+a
加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
7、有理数减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
8、在把有理数加减混合运算统一为最简的形式,负数前面的加号可以省略不写。
例如:14+12+(-25)+(-17)可以写成省略括号的形式:14+12 -25-17,可以读作“正14加12减25减17”,也可以读作“正14、正12、负25、负17的和。”
9、有理数的乘法
两个数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。
第一步:确定积的符号 第二步:绝对值相乘
10、乘积的符号的确定
几个有理数相乘,因数都不为 0 时,积的符号由负因数的个数确定:当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。
11、倒数:乘积为1的两个数互为倒数,0没有倒数。
正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(互为倒数的两个数符号一定相同)
倒数是本身的只有1和-1。
12、有理数的除法
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数;0除以任何一个不等于0的数,都得0。
13、有理数的乘方
(1)求相同因数的积的运算叫做乘方。乘方运算的结果叫幂。
读作:a的n次方,表示n个a相乘;其中,a是底数,n是指数,称为幂。
(2)正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数,
负数的偶数次幂是正数。
(3)一个数的平方为它本身,这个数是0和1;
一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。
14、科学计数法
一般情况下,把大于10的数表示成
(n为正整数)的形式时,为了统一标准,规定了a的范围,(1≤a<10),这种记数方法叫做科学记数法。
15、有理数混合运算
有理数混合运算的顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里的。
数学有理数知识点总结【第三篇】
有理数:
整数和分数统称为有理数。
注:
(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。
(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
(3)“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数。
整数包括正整数、零、负整数。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。
分数包括正分数和负分数,例如:1/2、、-1/2、-等等。
有理数的分类
(1)按整数、分数的关系分类:
(2)按正数、负数与0的关系分类:
注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数。
数轴
数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云:
数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数是难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!
数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的定义包含三层含义:
(1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;
(2)数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;
(3)原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。
2.数轴的画法:
(1)画一条直线(一般画成水平的直线)。
(2)在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。
(3)确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。
(4)选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……
注:
(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;
(2)确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;
3.数轴上的点与有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。
4.利用数轴比较有理数的大小:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。
相反数
1.相反数的定义:
(1)相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。如,4与-4互为相反数。
(2)相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数。
2.相反数的性质:任何一个数都有相反数,而且只有一个。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。0是唯一一个相反数等于本身的数。反之,如果a=-a,那么a一定是0。
3.相反数的特征:若a与b互为相反数,则a+b=0(或a=-b)若a+b=0(或a=-b),则a与b互为相反数。
4.求一个数的相反数的方法:(见书)
5.多重符号的化简:
(1)在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5())=-5。
(2)在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的'相反数。如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。
绝对值的概念
1.绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“丨a丨”
2.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
有理数大小的比较
正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
利用数轴,在数轴右边的数永远大于左边的数。
数学有理数知识点总结【第四篇】
一、正数和负数
正数和负数的概念
负数:比0小的数;正数:比0大的数。
0既不是正数,也不是负数
注意:字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。强调:带正号的数不一定是正数,带负号的数不一定是负数。
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
二、有理数
有理数的概念
(1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
(2)正分数和负分数统称为分数
(3)整数和分数统称有理数
注意:
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
数轴
(1)数轴的概念:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:数轴是一条向两端无限延伸的直线;
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;
数轴的三要素都是根据实际需要规定的,同一数轴上的单位长度要统一;
(2)数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示,正有理数可用原点正方向的点表示,负有理数可用原点负方向的点表示,0用原点表示。
相反数
(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数;0的相反数是0;任何一个有理数都有相反数
(2)互为相反数的两数的和为0,即:若a、b互为相反数,则a+b=0;互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧,并且与原点的距离相等。
(3)在一个数的前面加上负号“-”,就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。
(4)多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
绝对值
(1)绝对值的几何定义:数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做a的绝对值,记作:|a|
(2)求绝对值:正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a;
②如果a<0,那么|a|=-a;
③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为
①:a≥0时,|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
②a≤0时,|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
(3)若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
有理数比大小
(1)利用数轴表示两数大小
在以向右为正方向的数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
(2)数轴上特殊的最大(小)数
最小的自然数是0,无最大的自然数;
最小的正整数是1,无最大的正整数;
最大的负整数是-1,无最小的负整数
(3)利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;
(4)大数-小数>0,小数-大数<0。
三、有理数的加、减法运算
有理数加法
(1)同号两数相加,取相同符号,并且把绝对值相加
(2)异号两数相加,取绝对值大的数的'符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值
(3)互为相反数的两数相加得0
加法交换律:两个有理数相加,交换加数的位置,和不变,a+b=b+a
加法结合律:三个有理数相加,先把前两个数相加,再把结果与第三个数相加;或者先把后两个数相加,再把结果与第一个数相加,和不变,(a+b)+c=a+(b+c)
(1)同号结合相加(正数+正数、负数+负数)
(2)互为相反数的两数结合相加(把相加结果为零的数结合相加)
(3)几个分数相加,将同分母的先结合相加
(4)将求和后为整数的数先结合相加
(5)几个带分数相加,可将整数部分与分数部分分别结合相加
在一个求和的式子中,通常可以把“+”省略不写,同时去掉加数的括号
有理数的减法
根据相反数的定义,减去一个数,等于加上这个数的相反数,有理数的减法可以转化为加法进行计算。引入相反数的之后,有理数的加减混合运算可以统一为加法运算。
四、有理数的乘、除法运算
有理数乘法
(1)异号两数相乘得负数,并把绝对值相乘;同号两数相乘得正数,并把绝对值相乘。
(2)任何数与0相乘都得0
有理数的乘法运算定律
乘法交换律:两个有理数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。a×b=b×a
乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变。a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律:两个数的和(差)同一个数相乘,可以先把两个加数(减数)分别同这个数相乘,再把两个积相加(减),积不变。a×(b+c)=a×b+a×c
倒数
(1)乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;
(2)若a,b互为倒数,则ab=1;
(3)求倒数:求一个数的倒数就是用1去除以这个数。
①求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可;
②求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1;
有理数除法
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0
有理数的加减乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如果有括号先计算括号里的,如果无括则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行,同级运算中,按前后顺序从左到右依次运算,谁在前先算谁。
五、有理数乘方
乘方的概念:求n个相同因数的乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数。
记作:an,在an中,a叫做底数,n叫做指数,an叫做幂
乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
(3)互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数,偶数次幂相等。
(4)任何一个数的偶数次幂都是非负数。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算中,按前后顺序从左到右依次运算,谁在前先算谁。
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
科学记数法
把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数(即1≤|a|<10,n是正整数),这种记数法叫科学记数法。
方法:
①a的确定:把原数的小数点向左移动,使它的整数位数为1,数的正负号保持不变;
②n=原数的整数数位-1。
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