二次函数知识点总结精编3篇

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初中数学学习方法1

二次函数解题方法总结

二次函数是初中重要的数学知识点，本文就来分享1篇2次函数解题方法总结，希望对大家能有所帮助！

1.求证“两线段相等”的问题：

2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：

由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。

3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。

4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：

(方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。

(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。

(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。

5.常数问题：

(1)点到直线的距离中的常数问题：

“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：

先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

(2)三角形面积中的常数问题：

“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：

先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

6.“在定直线(常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：

先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。

7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题：

“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题)：

由于有两个定点，所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算)，只需另两边的和最小即可。

8.三角形面积的最大值问题：

①“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”)：

(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高1/2。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。

(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，

进一步可得到，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。

②“三边均动的动三角形面积最大”的问题(简称“三边均动”的问题)：

先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形)面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。利用相似三角形的性质(对应边的比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。

9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：

由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点，即可得到一个定三角形)的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。

10、“定四边形面积的求解”问题：

有两种常见解决的方案：

方案(一)：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；

方案(二)：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴(或y轴)作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差)，或几个基本模型的三角形面积的和(差)

11.“两个三角形相似”的问题：

12.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：

首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。(若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标(一母示)，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。

13、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：

这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的'判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

进一步有：

①若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

②若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

③若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

14.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。)

先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。

15.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：

若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。

若夹直角的两边中有一边与y轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。

16.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。

①若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程)，利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合题，反之不合题，舍去。

②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1?若为-1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。

17.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：

题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。

二次函数的知识点总结2

1.说教材

本节内容是人民教育出版社出版的九年级《数学》下第26章第一节第二课时的内容。在此之前，学生已学习了二次函数的概念，对于函数的积累知识有一次函数和反比例函数。本节内容是对二次函数图像及其性质的学习，是后续研究二次函数图像的变换的基础。二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。

本节课中的教学重点利用描点法画出二次函数的图像，建构符合学生认知结构的知识体系，教学难点是运用数形结合的思想描述函数，根据解析式判断函数的开口方向、对称轴、顶点坐标。基于以上对教材的认识，根据数学课程标准，考虑到学生已有的认知结构与心理特征，制定如下的教学目标。

2.说目标

知识与能力：

理解二次函数的意义。

会用描点法画出函数y = ax2的图象。

知道抛物线的有关概念

会根据公式确定抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴以及抛物线与坐标轴的交点坐标。

过程与方法：

1、通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方法，加深对于数形结合思想的认识。

2．综合运用所学知识、方法去解决数学问题，培养学生提出、分析、解决、归纳问题的数学能力，改善学生的数学思维品质。

情感与态度目标：

在数学教学中渗透美的教育，让学生感受二次函数图像的对2

称之美，激发学生的学习兴趣。认识到数学源于生活，用于生活的辩证观点。

3.说教学方法

教法选择与教学手段：基于本节课的特点是学习新知及其综合运用，应着重采用复习与总结的教学方法与手段，先从一次函数、反比例函数的图像复习入手，通过提问思考、归纳总结、综合运用等形式对二次函数图像及其性质进行有针对性的、系统性的教学。教学的模式为学生思考，讨论，教师分析，演示、师生共同总结归纳。

利用白板的动态画板功能，画出不同的二次函数图像，进行分析比较和归纳。

学法指导：让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。

最后，我来具体谈一谈本节课的教学过程。

4.说教学过程

（一）为对二次函数图像及其性质的相关知识进行重构做准备。通过回忆复习一次函数和反比例函数图像及其性质等相关知识引入新课。利用描点法画出二次函数的图象，总结规律，会根据公式确定抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴。说出a为何值时y随x增大而增大（增大而减小），引导学生掌握用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。运用联想、概括方法对二次函数图像及其性质的相关知识进行梳理，领悟数形结合的思想方法，发展学生的化归迁移的数学思维，培养学生的转化能力。

（二）通过对二次函数图像及其性质的学习，采用学生思考，教师分析，解题小结三个环节构成的练习题讲解模式，巩固二次函数图像及其性质的基本题目的一般解题方法，并进一步研究二次函数图像及其性质的应用。

（三）反思概括，方法总结

总结本节课的知识点、重点和难点，着重理解二次函数图像及其性质的相关知识和基本解题方法，领悟数形结合的数学思想方法，学会用化归思想，解决实际问题。培养学生由题及法，由法及类的数学总结归纳方法。

（四）作业

课后通过练习来巩固本节课所复习的知识点、重点和难点，强化教学目标。

各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂上是千变万化的，会随着学生和教师的灵性发挥而随机生成的，预设效果如何，最终还有待于课堂教学实践的检验。本说课一定存在诸多不足，恳请各位老师提出宝贵意见，谢谢！

初中数学解题技巧顺口溜3

二次函数概念：

二次函数的概念：一般地，形如ax^2+bx+c = 0的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。

二次函数图像与性质口诀

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象限；

开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。