实用高三数学解析几何的训练试题答案精编

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高三数学解析几何的训练试题答案篇1

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知圆x2+y2+dx+ey=0的圆心在直线x+y=1上,则d与e的关系是()

a.d+e=2b.d+e=1

c.d+e=-1d.d+e=-2[

解析d依题意得,圆心-d2,-e2在直线x+y=1上,因此有-d2-e2=1,即d+e=-2.

2.以线段ab:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()

a.(x+1)2+(y+1)2=2b.(x-1)2+(y-1)2=2

c.(x+1)2+(y+1)2=8d.(x-1)2+(y-1)2=8

解析b直径的两端点为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为2,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

3.已知f1、f2是椭圆x24+y2=1的两个焦点,p为椭圆上一动点,则使|pf1||pf2|取最大值的点p为()

a.(-2,0)b.(0,1)c.(2,0)d.(0,1)和(0,-1)

解析d由椭圆定义,|pf1|+|pf2|=2a=4,∴|pf1||pf2|≤|pf1|+|pf2|22=4,

当且仅当|pf1|=|pf2|,即p(0,-1)或(0,1)时,取“=”.

4.已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是f1、f2,p是椭圆上一点,若连接f1、f2、p三点恰好能构成直角三角形,则点p到y轴的距离是()

解析a椭圆x216+y225=1的焦点分别为f1(0,-3)、f2(0,3),易得∠f1pf2<π2,∴∠pf1f2=π2或∠pf2f1=π2,点p到y轴的距离d=|xp|,又|yp|=3,x2p16+y2p25=1,解得|xp|=165,故选a.

5.若曲线y=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()

a.4x+y+4=0b.x-4y-4=0

c.4x-y-12=0d.4x-y-4=0

解析d设切点为(x0,y0),则y′|x=x0=2x0,∴2x0=4,即x0=2,

∴切点为(2,4),方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

6.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

a.充分不必要条件b.必要不充分条件

c.充要条件d.既不充分也不必要条件

解析c方程可化为x21m+y21n=1,若焦点在y轴上,则1n>1m>0,即m>n>0.

7.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()

解析d双曲线的渐近线为y=±bax,由对称性,只要与一条渐近线有一个公共点

即可由y=x2+1,y=bax,得x2-bax+1=0.

∴δ=b2a2-4=0,即b2=4a2,∴e=5.

8.p为椭圆x24+y23=1上一点,f1、f2为该椭圆的两个焦点,若∠f1pf2=60°,则pf1→pf2→=()

a.

c.23d.2

解析d∵s△pf1f2=b2tan60°2=3×tan30°=3=12|pf1→||pf2→|sin60°,∴|pf1→||pf2→|=4,∴pf1→pf2→=4×12=2.

9.设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为()

+y216=+y212=1

+y264=+y248=1

解析b抛物线的焦点为(2,0),∴由题意得c=2,cm=12,

∴m=4,n2=12,∴方程为x216+y212=1.

10.设直线l过双曲线c的一个焦点,且与c的一条对称轴垂直,l与c交于a,b两点,|ab|为c的实轴长的2倍,则c的离心率为()

c.2d.3

解析b设双曲线c的方程为x2a2-y2b2=1,焦点f(-c,0),将x=-c代入x2a2-y2b2=

1可得y2=b4a2,∴|ab|=2×b2a=2×2a,∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e=ca=3.

11.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的焦距为()

.25

.23

解析b∵抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,∴a=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±bx.∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴b=2,∴c=a2+b2=5,∴双曲线的焦距为25.

12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点m(1,m)(m>0)到其焦点的`距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为a,若双曲线的一条渐近线与直线am平行,则实数a的值为()

解析a由于m(1,m)在抛物线上,∴m2=2p,而m到抛物线的焦点的距离为5,根据抛物线的定义知点m到抛物线的准线x=-p2的距离也为5,∴1+p2=5,∴p=8,由此可以求得m=4,双曲线的左顶点为a(-a,0),∴kam=41+a,而双曲线的渐近线方程为y=±xa,根据题意得,41+a=1a,∴a=19.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知直线l1:ax-y+2a+1=0和l2:2x-(a-1)y+2=0(a∈r),则l1⊥l2的充要条件是a=________.

解析l1⊥l2a2a-1=-1,解得a=13.

答案13

14.直线l:y=k(x+3)与圆o:x2+y2=4交于a,b两点,|ab|=22,则实数k=________.

解析∵|ab|=22,圆o半径为2,∴o到l的距离d=22-2=2.即|3k|k2+1=2,解得k=±147.

答案±147

15.过原点o作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为p、q,则线段pq的长为________.

解析如图,圆的方程可化为

(x-3)2+(y-4)2=5,

∴|om|=5,|oq|=25-5=25.

在△oqm中,

12|qa||om|=12|oq||qm|,

∴|aq|=25×55=2,∴|pq|=4.

答案4

16.在△abc中,|bc→|=4,△abc的内切圆切bc于d点,且|bd→|-|cd→|=22,则顶点a的轨迹方程为________.

解析以bc的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,e、f分别为两个切点.

则|be|=|bd|,|cd|=|cf|,

|ae|=|af|.∴|ab|-|ac|=22,

∴点a的轨迹为以b,c为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a=2,c=2,∴b=2,∴方程为x22-y22=1(x>2).

答案x22-y22=1(x>2)

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在平面直角坐标系中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为22的圆c经过原点o.

(1)求圆c的方程;

(2)求经过点(0,2)且被圆c所截得弦长为4的直线方程.

解析(1)设圆心为(a,b),

则b=a+4,a2+b2=22,解得a=-2,b=2,

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

(2)当斜率不存在时,x=0,与圆的两个交点为(0,4),(0,0),则弦长为4,符合题意;

当斜率存在时,设直线为y-2=kx,

则由题意得,8=4+-2k1+k22,无解.

综上,直线方程为x=0.

18.(12分)(2011合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为f1(-3,0)和f2(3,0),且椭圆过点1,-32.

(1)求椭圆方程;

(2)过点-65,0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于m,n两点,a为椭圆的左顶点.试判断∠man的大小是否为定值,并说明理由.

解析(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),

由c=3,椭圆过点1,-32可得a2-b2=3,1a2+34b2=1,

解得a2=4,b2=1,所以可得椭圆方程为x24+y2=1.

(2)由题意可设直线mn的方程为:x=ky-65,

联立直线mn和椭圆的方程:x=ky-65,x24+y2=1,化简得(k2+4)y2-125ky-6425=0.

设m(x1,y1),n(x2,y2),

则y1y2=-6425k2+4,y1+y2=12k5k2+4,

又a(-2,0),则am→an→=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0,所以∠man=π2.

19.(12分)已知椭圆c的中心为直角坐标系xoy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.

(1)求椭圆c的方程;

(2)若p为椭圆c上的动点,m为过p且垂直于x轴的直线上的点,|op||om|=e(e为椭圆离心率),求点m的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

解析(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,

由已知,得a-c=1,a+c=7,解得a=4,c=3.

∴椭圆方程为x216+y27=1.

(2)设m(x,y),p(x,y1),其中x∈[-4,4],

由已知得x2+y21x2+y2=e2,而e=34,

故16(x2+y21)=9(x2+y2),①

由点p在椭圆c上,得y21=112-7x216,

代入①式并化简,得9y2=112.

∴点m的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4),

∴轨迹是两条平行于x轴的线段.

20.(12分)给定抛物线y2=2x,设a(a,0),a>0,p是抛物线上的一点,且|pa|=d,试求d的最小值.

解析设p(x0,y0)(x0≥0),则y20=2x0,

∴d=|pa|=x0-a2+y20=x0-a2+2x0=[x0+1-a]2+2a-1.

∵a>0,x0≥0,

∴(1)当00,

此时有x0=0时,dmin=1-a2+2a-1=a;

(2)当a≥1时,1-a≤0,

此时有x0=a-1时,dmin=2a-1.

21.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点f1,f2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10),点m(3,m)在双曲线上.

(1)求双曲线方程;

(2)求证:点m在以f1f2为直径的圆上;

(3)求△f1mf2的面积.

解析(1)∵双曲线离心率e=2,

∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),

则由点(4,-10)在双曲线上,

知λ=42-(-10)2=6,

∴双曲线方程为x2-y2=6.

(2)若点m(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,∴m2=3,由双曲线x2-y2=6知f1(23,0),f2(-23,0),

∴mf1→mf2→=(23-3,-m)(-23-3,-m)=m2-3=0,

∴mf1→⊥mf2→,故点m在以f1f2为直径的圆上.

(3)s△f1mf2=12|f1f2||m|=23×3=6.

22.(12分)已知实数m>1,定点a(-m,0),b(m,0),s为一动点,点s与a,b两点连线斜率之积为-1m2.

(1)求动点s的轨迹c的方程,并指出它是哪一种曲线;

(2)当m=2时,问t取何值时,直线l:2x-y+t=0(t>0)与曲线c有且只有一个交点?

(3)在(2)的条件下,证明:直线l上横坐标小于2的点p到点(1,0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线c的离心率.

解析(1)设s(x,y),则ksa=y-0x+m,ksb=y-0x-m.

由题意,得y2x2-m2=-1m2,即x2m2+y2=1(x≠±m).

∵m>1,

∴轨迹c是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为2.

(2)当m=2时,曲线c的方程为x22+y2=1(x≠±2).

由2x-y+t=0,x22+y2=1,消去y,得9x2+8tx+2t2-2=0.

令δ=64t2-36×2(t2-1)=0,得t=±3.

∵t>0,∴t=3.

此时直线l与曲线c有且只有一个公共点.

(3)由(2)知直线l的方程为2x-y+3=0,

设点p(a,2a+3)(a<2),d1表示p到点(1,0)的距离,d2表示p到直线x=2的距离,则

d1=a-12+2a+32=5a2+10a+10,

d2=2-a,

∴d1d2=5a2+10a+102-a=5×a2+2a+2a-22.

令f(a)=a2+2a+2a-22,

则f′(a)=2a+2a-22-2a2+2a+2a-2a-24

=-6a+8a-23.

令f′(a)=0,得a=-43.

∵当a<-43时,f′(a)<0;

当-430.

∴f(a)在a=-43时取得最小值,即d1d2取得最小值,

∴d1d2min=5f-43=22,

又椭圆的离心率为22,

∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率.

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