数学建模理财收入优化模型例题

摘要

如今市场上的理财产品种类繁多，选择和投资这些产品已成为我们日常生活中的一部分。本研究旨在运用线性规划和整数线性规划模型，对理财产品的数据进行深入分析与计算。

在数据整理方面：研究涉及到的理财产品共有六种，它们的投资期限分别是180天、150天、120天、90天、60天和30天；对应的月利率分别为%、%、%、%、%和%，并且每种产品都是每隔30天进行一次付息。

针对研究的第一个问题：我们首先对数据进行清晰的整理。考虑到题目的要求，目的是寻找能够实现最大投资回报的投资组合，我们构建了相应的数学模型。由于投资金额需要满足特定的倍数条件，我们依据整数线性规划的原则，建立了整数线性规划模型。

对于研究的第二个问题：这是一个动态优化问题，我们可以将其处理为已知的线性规划模型求解，主要在于理解特定的时间点的再投资会给模型带来哪些变化。这个问题的核心在于寻找在不同时间点进行再投资的最佳策略，以期最大化投资的整体收益。在具体操作过程中，我们定义需要在特定时间点做出再投资决策的变量，同时设置约束条件以包含投资组合的风险偏好和预期收益。这些变量之间的相互作用和约束条件将在模型中体现出来，并影响最终的投资组合选择。

在研究的最后部分，我们对模型的优势和局限进行了客观评述，并在指出不足的基础上，提出了改进策略。此外，我们还探讨了如何将此模型应用到其他相关领域中去。

关键词：理财收益优化、线性规划模型

一、问题重述

本研究涉及的六种理财产品，我们在文中分别称之为产品一至产品六。它们的投资期限分别为180天、150天、120天、90天、60天和30天。每种产品均设定了每30天支付一次利息。这些产品的月利率依次为%、%、%、%、%和%。此外，各产品的可投资金额需符合特定的倍数关系，即分别为50,000的倍数、20,000的倍数、10,000的倍数、1,000的倍数、500的倍数和10的倍数。

目前，我们拥有初始资本总额为435,000元，且目标是在180天后回收所有本金及利息。针对此目标，研究主要解决以下两个问题：

问题一：如何配置投资组合，以实现最大化的收益？

问题二：在已知在第31天、61天、91天、121天和151天将分别收到3万、4万、3万、6万和1万的额外收入的情况下，应如何调整投资策略，以达到收益最大化？

以上问题的探讨将基于整数线性规划模型，以确保所有投资均满足金额的倍数要求，并通过模型分析，提供最优的投资决策。

二、问题分析

为了最大化理财收益，我们必须深入了解并分析上述所提供的各项理财产品，包括各产品的投资期限、月利率及所需投资金额的限制条件。以下是我们对两个关键问题的具体分析：

问题一分析：

首先，我们需要确定一个达到收益最大化的投资策略。为实现该目标，投资决策必须考虑到每种理财产品的期限和对应月利率。同样重要的是考虑到，每种理财产品的投资金额需符合其特定的倍数要求。由于这些限制，我们的资金分配方案应合理安排，以使各期限内的总收益达到可能的最大值。因此，我们需要通过整数线性规划模型来找到一个综合考虑了所有限制因素的最优解。

问题二分析：

进一步地，在已知定期会有额外收入的情况下，问题较先前的情景略有复杂。我们必须在原有的投资策略基础上，对未来几个特定时间点的资金进行准确预测和安排。这就要求我们调整模型，确保在收到额外收入的同时能够实时优化投资组合。

在进行模型的构建时，我们要考虑的不仅是模型内的情况，为了使构建的模型更加契合实际，我们必须在建模后做出相应的模型评估。

总体而言，确保投资组合能在满足倍数要求的同时最大化收益，并考虑包括额外收入在内的所有可能的变化，以实现资金的有效分配。通过建立和调整整数线性规划模型，我们预期能够提出一个既实用又高效的投资策略。

三、模型假设与约定

下面我们给出关于所要建立的模型的相关假设和约定：

资金流动性假设：假设在理财产品到期日，本金及利息会立即可用于再投资。

资金限制假设：模型在整个投资期间内仅考虑初始的万元和所述的额外收入，没有额外的资金来源。

整数分配假设：由于个别理财产品要求投资额是特定金额的倍数，所有的投资额必须是整数值。

四、符号说明及名词定义

符号

定义

T

It

总投资期限，对应财务产品的最长期限（180天）

在时间t

天时收到的额外收入

Ri

第i 种理财产品的月利率

Ni

第i 种理财产品的投资期限

Mi

第i种理财产品的最小投资额倍数

Xi

决策变量，表示在第i种理财产品上的投资额

P0

初始投资资金总额（万元）

C

所有投资至结束时累计的本金加上利息的总和

本金：最初投资的金额，不包括任何收益或利息。

复投：指将本金或利息到期后立即重新投资于同种或不同的财务产品的行为。

投资额：在某一理财产品上实际投放的资金量。

利息收益：通过投资在某段时间内获得的收益，根据各理财产品的月利率计算。

收益最大化：在所有投资决策中寻求获取最大金额的利息收益的策略。

五、模型建立

建立线性目标函数

我们根据题目的要求，现在设出6个决策变量X1, X2, X3, X4, X5, X6，分别对应产品一至产品六。那么，我们的目标函数如下给出：

C=1+2+3+4+5+6

上式的系数为对应的月利率和期限所得，此式用于计算最后的总收益，现在我们需要建立线性规划模型使得目标函数的值达到最大。即我们要求得：

MaxC

建立线性约束条件

我们已知本金是万元，即P0=435000;投资期限T=180；投资金额倍数约束M=[50000，20000，10000，1000，500，10]，Mi表示对应的产品分别取矩阵M中的第i个值。（i的值取1，2，3，…,6）据此，对于第一问，我们可以建立以下的线性约束：

X1+X2+X3+X4+X5+X6

01

02

03

04

05

06

X1=50000k,X2=20000l,X3=10000m,X4=1000n,X5=500j,X6=10g(k,l,m,n,j,g均为正整数)

这表示投资总额不能超过本金的上限。除此之外，每个产品对应的投资额需要满足倍数约束M。线性规划模型建立完毕。

对于第二问，在原本第一问的模型基础上增加了一个约束，在投资中考虑了每个月新获得的月利润，即把每个月末得到的利润进行复投，也就是说要把即得利润算入本金的上限中，我们可对模型做出如下改动：

线性约束的右端向量由435000改为435000+30000+40000+30000+60000+10000，即605000。这样就可以把每个It都纳入线性规划中，将动态规划转变成整体上的线性规划。

六、模型求解

将上述线性规划模型转化为matlab代码在matlab上求解。首先，由于matlab的线性规划函数默认求的是目标函数的最小值，而我们需要让目标函数达到最大，所以需要在目标函数的系数前都加上负号，最后将算得的值再次取相反数，就可得到最大值了。目标函数的系数矩阵实现如下：

f = [-; -; -; -; -; -]；

接下来，转化线性约束的系数矩阵和右端向量，如下：

A = [1, 1, 1, 1, 1, 1]；

b = 435000；

在通常的投资决策模型中，通常约束条件会要求变量的最小值为零。然而，为了满足模型中每个变量必须遵守的特定倍数约束，我们对变量的上下限进行了必要的调整。这意味着每个变量不再被约束为从零开始，而是从符合倍数要求的最小整数值开始。同样地，变量的上限也被设定为该变量在问题上下文中可能达到的最大值。这样，每个变量的定义范围都被精确地限定在其应该遵循的约束条件内。

通过这种调整，我们确保了整数线性规划模型的解满足所有倍数约束条件，从而提供可行并符合实际情况的最优解。接下来是对变量范围调整的具体描述：

lb = [50000,20000,10000,1000,500,10]；

ub = [400000, 20000, 10000, 1000, 500, 435000]；

最后，我们调用intlinprog程序来解决这个整数线性规划问题。下面是模型求解的matlab过程：

我们得到结果，投资金额的分配分别为：180天：400000元，150天：20000元，120天：10000元，90天：4000元，60天：500元，30天：500元，最后得到的最大总收益为元。

对于问题二，需要在原来的模型上对线性约束的右端向量进行修改。即添加每月的额外收入用于再投资。以下是对问题二的matlab求解：

在完成了求解过程之后，我们通过细致的模型分析得出了考虑再投资的条件下，如何有效地分配我们的投资金额：在180天期限的投资中，我们分配投资额为550,000元；150天期限的投资中分配了40,000元；120天期限我们分配了10,000元；90天期限是4,000元；60天和30天期限，投资额则分别为500元。采用这样的分配策略，我们可以实现最大化的总收益，达到622,元。

在计算收益时，我们考虑的是整体回报，即本金加上通过投资所获得的利息。对于关心利润的投资者，我们可以从最大总收益中简单扣除本金，从而得到纯利息收益。这一数学模型不仅为我们提供了一个具体的投资配置方案，而且还揭示了在不同投资时限条件下，资金的再投资对最终收益的重要影响，强调了资金时间价值在投资决策过程中的核心地位。

七、模型检验

首先，我们将所掌握的数据一一代入模型中，并根据变量受到的约束来改变A矩阵，要求变量要满足是规定的倍数，那么该问题的解就有有限个。我们可以从以下几个方面来对该模型做出检验：

1.分支定界法。此方法用来求解整数线性规划，我们可以利用分支定界法在计算机上或是人工来对模型做出检验。

2.Gomory割平面法。运筹学中也常用此方法来计算整数线性规划。我们可以人工对其做出检验。

如果模型需要流入市场，那么该模型需要经过大量的数据进行实验，确保预测的偏差不会过大。我们将每一组进行测试的数据可以列出表格，先对数据减去均值除以标准差，然后在Excel里做描述性统计分析，若是满足正态分布3σ原则，我们可以认为模型的建立是良好的。（即偏离均值的范围要可控）

由于数据有限，我们这里只对题目中的数据做出检验，经过检验，模型的建立是基本良好的。

八、评估与分析

对比分析：

将模型计算结果与现实中的结果做对比，或者和其他已建立模型的结果比较。我们知道，因为投资额是整数倍，所以我们可以枚举出有可能的最优投资方案，显然，模型预测的结果一定是这种计算结果的子集，我们验证得到，预测结果中的最大总收益正好是这个集合所对应的收益中的最大值，而预测的投资方案也包含在集合中，这说明模型的准确性良好。

可操作性分析：

模型简洁易懂，能被非技术用户理解和实施。同时，所需计算资源量不大，模型效率良好。

成本效益分析：

模型运行所产生的成本微乎其微。模型具有经济效益，值得在实际中应用。

模型的缺点：

此模型如果面临投资额倍数约束的改变，需要手动调整线性约束条件，改变决策变量的上下界。这是因为在matlab线性规划的范畴内，不支持直接设置倍数约束，我们需要先把问题设置在整数线性规划内，然后通过限制变量的变化范围来达到相同的效果。这一点让该模型的灵活性受到了限制。

优化与改进：

可以在模型中加入动态规划的方法让模型更灵活。在我们的投资组合选择问题中，可以将时间分割成多个阶段，每个阶段可以做出投资选择。随着时间的进行，新的资金流入及不同产品的期限结束，投资决策也需要随之调整。

使用MATLAB的动态规划工具箱或者手动编写DP算法来求解问题。从最后一个时间节点往前逐个计算，对于每一个状态，找到能够带来最大收益的决策。通过这种反向迭代的方法，可以最终确定最初的最优投资策略。

在完成了对投资组合问题的深入研究、模型的细致建立和严格检验之后，我们透过应用先进的数学规划和优化方法，如动态规划，尝试最大化预期收益。通过MATLAB工具，我们得以实现对模型的高效求解和分析。

最终，本研究希望这个模型能够作为一个有益的工具，帮助投资者在复杂多变的金融环境中做出明智的决策，并为未来相关领域的研究打下坚实的基础。感谢您的耐心阅读。