微积分论文【范例4篇】

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微积分论文【第一篇】

关键词：金融衍生品；文献评析；研究建议

中图分类号：F830文献标志码：A文章编号：1673－291X（2008）14－0076－03

引言

近来，关于我国要推出股指期货金融衍生品的呼声日高，尤其是2006年9月8日，中国金融期货交易所在上海挂牌成立，标志着我国金融衍生品市场发展进入了一个新阶段，具有重大意义。我国的学术理论界也显示了极大的热情――这几年关于“金融衍生品”研究的文献也日益增多，主要对金融衍生品的风险监管、金融衍生品市场等方面给予了不同的关注，进行了多方面研究。目前，还没有关于金融衍生品研究综述的文章，笔者搜集整理了1995―2007年关于“金融衍生品研究”的大部分文献，从金融衍生品的风险管理、定价、市场等方面进行分析、总结，以为加强我国金融衍生品市场的建设提供借鉴。本文的结构是：一、文献回顾，二、文献评析，三、加强金融衍生品研究的建议。

一、文献回顾

目前，我国关于金融衍生品的文献不是很多，共搜集到五十几篇，其中包括11篇学位论文。根据查到的文献，目前研究的角度、范围主要集中在以下几个方面：

（一）关于金融衍生品风险及风险管理的研究

这类文献侧重于研究金融衍生品的风险产生的原因、风险分类、风险管理，少数文献研究的了金融衍生品的风险控制与度量。相比之下，刘静（2002）的学位论文观点有代表性，下面进行简单介绍。

关于金融衍生品风险成因：由金融基础产品和金融衍生品的市场相关性所带来的风险；金融衍生品的交易方式引发的风险；金融衍生品的产品性质决定了风险的存在。

关于金融衍生品的分类，目前普遍认为根据巴塞尔委员会与证券委员会国际组织共同的《衍生产品风险管理准则》（1994年）作出的界定，衍生产品的基本风险包括市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险和法律风险五种。有的文献分析了各类风险之间的关系，具体参见刘静（2002，5-16页）。

关于金融衍生品风险管理，刘静（2002）系统论述了金融衍生品市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险、法律风险的管理，主要包括金融衍生品风险管理的程序、技术、措施，并且对风险管理理论与技术的最新发展做了评述，具体参见刘静（2002，45-66页）。

另外，邓超（2005）的学位论文里关于金融衍生品风险度量方法、金融衍生品风险预警和风险评价进行详细的论述，值得借鉴。

（二）关于金融衍生品定价的研究

我国关于金融衍生品定价的文献极少，并且散存在学位论文的某些章节里，期刊文献几乎没有涉及到衍生品定价的文章。李楠（2004）的学位论文涉及金融衍生品的定价。下面简单介绍其主要内容：

期货定价理论，分析了期货价格和现货价格的关系、持有成本模型、预期未来价格模型、指数期货定价。

金融远期定价，分析了金融远期和金融期货价格的关系、无收益资产远期合约的定价、支付已知现金收益资产远期合约的定价。

金融期权定价，分析了期权价格及其影响因素、期权定价的理论基础、布莱克-斯科尔斯期权定价方法、二叉树期权定价模型。

金融互换定价，分析了利率互换定价和货币互换定价。

（三）关于金融衍生品市场的研究

学位论文研究的主要内容有：

金融衍生品市场的形成和发展，分析了金融衍生品市场主要历史梗概、金融衍生品在美国、欧洲、亚洲的产生与发展。

国际金融衍生品市场现状，分析了金融衍生品市场交易现状、不同金融衍生品结构下的市场现状。

期刊文献分析了金融衍生品市场的分类及对中国的启示，主要文献有徐建炜（2005）、安毅（2003）、钱瑞梅（2007）、李畅（2007）等。

（四）其他研究

目前，关于我国关于金融衍生品的研究主要集中在上述三个方面，有少数文献还进行了其他方面的研究：如“我国商业银行开展金融衍生品业务的现状分析”和“我国开展金融衍生品的思考”以及“中国衍生品前瞻、发展路径选择”等。主要文献有：鲍建平（2005）、张光平（2006）、都红雯等（2006）、王帆等（2005）、唐立尧（2005）、张美华（2005）、巴曙松（2006）等。

二、文献评析

笔者查到的我国关于金融衍生品研究的文献最早的1篇是1995年，十几年来，国内关于金融衍生品的研究取得了可喜的成果，文章数量逐年递增，研究的角度、范围逐渐深入。其成就主要表现在：

第一，充分论证了金融衍生品风险管理。金融衍生品的产生原意是要减少、规避和转移金融活动中的各种风险，但由于衍生品本身的杠杆作用和定价的困难，往往在实际操作中成为金融风险的来源。中国的金融衍生品已经呼之欲出，对于投资者来说，这既是一个增加投资品种的机会，同时也面临着更多层次的风险。因此，现有文献尤其是学位论文对金融衍生品风险管理的研究无疑具有重大意义。在众多文献里，其中，邓超（2000）的学位论文与刘静（2002）的学位论文较有代表性，尤其是刘静（2002）的学位论文，非常系统论述了金融衍生品风险的分类、特征、度量、管理、监管。特别指出的是，刘的论文里大胆地使用了VaR参数方法中的组合正态模型对我国股价指数十年大规模历史数据进行了实证检验，“得出突破性结论，VaR组合正态模型对我国股价指数的风险度量及管理有很好的效果，填补了VaR模型在我国应用的实证研究的空白”（刘静，2002，103页）。

第二，对于如何借鉴外国经验进行了有益探索。事实上，当前很多观点是在外国经验总结基础上提出来的。例如，巴曙松（2006）通过总结分析发达国家的金融衍生产品路径选择、新兴市场国家和地区的金融衍生品路径选择，结合中国金融衍生品试点状况总结，提出了我国金融衍生品市场交易品种选择：股指期货有望成为突破口，恢复国债期货交易时机成熟，货币类衍生产品发展的必要性日趋强烈。

第三，与期刊文献相比，学位论文尤其是博士学位论文更有深度，主要体现在论述的深度、广度上，例如，关于“金融衍生品市场的介绍中”，期刊文献可能是由于篇幅所限，介绍的很简单，没有分析；而博士学位论文内容详尽且论述充分。再如，关于金融衍生品风险的研究，期刊文献基本上都是文字描述风险的成因、分类，几乎没有涉及到风险控制、度量、预警等内容，模型也较少提及；而学位论文要花几十页的篇幅详细论述风险控制的模型，并进行比较。目前多数学位论文虽没有公开发表，在中国期刊网、图书馆等处搜索、下载，我认为比期刊杂志具有更大的参考价值。

但是，也有不尽如意之处：

第一，关于金融衍生品研究缺乏系统的理论支撑。国内对金融衍生品的研究只有短短的十年时间，尚未形成权威的、系统的研究体系。

第二，实证研究很少，对策研究偏多。在查到的文献里，虽然有的文章中有大量模型，多数是解释一下，用数据进行验证的可能只有刘静（2002）使用了VaR参数方法中的组合正态模型对我国股价指数十年大规模历史数据进行了实证检验。

第三，研究的深度、广度有欠缺。现有文献研究金融衍生品风险管理较多，但多数是文字描述，文中涉及到的模型也大多是介绍性的。

第四，对于金融衍生品定价的研究极少。金融衍生品的定价问题一直是金融衍生品理论研究的重点，也是其中最复杂、最艰深、最重要的一部分，目前我国四大国有商业银行也有金融衍生品业务，但缺乏自主定价能力。金融衍生品定价方面的研究亟待加强。

第五，没有把握国际前沿研究动态。目前最多的文献就是介绍外国金融衍生品市场及对我国的启示。还没有“国外金融衍生品研究综述”之类的文献来系统介绍国外研究动态。

三、关于开展金融衍生品研究的建议

我国加入WTO之后，开设金融衍生品市场已提到议事日程，因此，对于金融衍生品的概念、定价、市场、风险管理等方面进行系统研究具有重大现实指导意义。笔者关于开展金融衍生品研究提出如下建议：

（一）在大学开设金融衍生品课程，尤其要要开设跨学科的相关课程，培养复合型人才

金融期货业之父、芝加哥商品交易所名誉主席利奥-梅拉梅德提出，中国应该在大学和高校开设有关金融衍生品的课程。梅拉梅德表示，中国国内已经有了一些衍生品的专家或者是从事衍生品交易的机构，但是这个专家的群体规模现在还太小了，不能服务于政府和私人部门来满足衍生品市场日益增长的需求。衍生品市场需要不断有新人的加入，新鲜血液的加入，中国必须要培养那些有机会在复杂和一些尖端的金融期货方面成为专家的学生。

关于金融衍生品定价、风险管理等方面的研究涉及到很多其他学科的知识，比如，数学知识，从代数到微积分、线性代数、微分方程、运筹学和优化技术，乃至模糊数学、博弈论（包括微分对策），等等，统计学中的概率论、随机过程、随机微分方程等。还通常应用数值计算和模拟仿真，其中各种人工智能技术，如知识工程和专家系统、模糊逻辑、神经网络、遗传算法、模拟退火、定性推理、基于案例推理、混沌理论、小波理论，等等，以及它们之间的杂和。因此，高校要开设跨学科的相关课程，培养复合型人才。

（二）引导研究生学位论文进行金融衍生品方面的选题，高校联系相关部门最好设立专项基金资助

笔者搜集的1995―2007年的文献中，相比之下，学位论文尤其是博士学位论文论述得全面、系统、有创新。1篇博士论文的完成要经过选题、开题、写作、预答辩、盲审、答辩等“工序”，并且博士论文要求必须有创新。可以说博士学位论文的研究水平在某种程度上代表着某一学科的某一研究方向的前沿，因此，建议相关部门设立专项基金资助，扶持博士生开展金融衍生品定价、风险控制等尖端课题的研究。

（三）充分借鉴国外研究经验、结论

1972年5月16日，美国芝加哥商业交易所属下的国际货币市场（IMM）率先开办了外汇期货业务，并获得很大成功。经过30多年的迅猛发展，金融衍生品的市场规模已经超过其对应的基础市场规模。全球金融衍生品交易市场主要分布在美国、欧洲和亚太地区，而新加坡、中国香港、日本等尽管在亚洲是发达的市场，但以全球视角观之，其地位还很不突出。相应地，金融衍生品的研究前沿也集中在美国、欧洲，1997年，两位美国金融学教授默顿（Robert Merton）和斯克尔斯（Myron Scholes）获得诺贝尔经济学奖（其研究成果与金融市场的实际操作有非常紧密的联系并对之产生了巨大的影响）就是一个很好的证明。因此，全面、系统地研究国外尤其是欧美国家的金融衍生品风险管理、定价、市场等，充分借鉴国外经验，这不但是金融衍生品理论研究的需要，更是我国推出金融衍生品实践的需要。

参考文献：

[1]刘静。金融衍生品风险及风险管理研究[D].保存于国家图书馆，2002.

[2]邓超。金融衍生品的风险度量与预警研究[D].保存于国家图书馆，2000.

[3]李楠。金融衍生品的经济学分析[D].保存于国家图书馆，2004.

[4]王石。中国金融衍生品研究与中国期货市场实践[D].在中国期刊网上搜索并下载，2006.

[5]徐建炜、杨光。国际金融衍生品市场的发展现状及其影响分析[J].济南金融，2005，（5）：64-65.

[6]安毅、梁建国。国际金融衍生品市场的最新发展及国内相关研究述评[J].经济界，2003，（6）：71-76.

[7]钱瑞梅、极星。能源金融衍生品市场的现状及其价格风险特征分析[J].价格理论与实践，2007，（2）：58-59.

[8]李畅、徐苏红。结构性金融衍生品市场上的发展及启示[J].新金融，2007，（3）：56-59.

[9]鲍建平。论金融衍生品交易在商业银行改革中的作用[J].上海金融学院学报，2005，（1）：35-38.

[10]张光平。中国银行业金融衍生品发展的现状及未来[J].中国外汇，2006，（9）：10-11.

[11]都红雯、杨晓敏。商业银行参与金融衍生品交易的现状分析及对策思考[J].浙江金融，2006，（11）：10-11.

[12]王帆、王洪会。对我国商业银行发展金融衍生品业务的思考[J].集团经济研究，2005，（15）：76-77.

[13]张美华。我国商业银行金融衍生品业务现状分析与对策研究[J].辽宁高等税务专科学校学报，2005，（2）.

[14]唐立尧。中国工商银行金融衍生产品的结构研究[D].在中国期刊网上搜索并下载，2005.

[15]巴曙松。中国金融衍生品发展路径：从国际经验看中国选择[J].金融监管与研究，2006，（5：8-13.

[16]巴曙松。中国金融衍生品前瞻[J].大众理财顾问，2006，（4）：16-17.

Summary and Suggestions of the Research on Finance Derive in our Country

ZHENG Xiu-jun 1， LIU Jian-qiang 2

（ Manangement College， Shanghai Industry University， Shanghai 201206；

Aaministration Department， China Foreign Exchange Center， Shanghai 201203， China）

Abstract： The finance derive the article is a financial creative core, the domestic and international academic circles and industrial circleses nevered are to its existence and developments to pay with the angle our country set up the finance derive the article market after join WTO to have already spoken of the argument matter the characteristics to 1995-2007 year ends of our country carry on the critique in big and parts of cultural heritages of" the finance develops the article research", tallying up the finance derive the article research, and put forward to open the suggestion that the exhibition finance develops the article research, taking expect as the scholar who the thorough research finance derive the article to provide the foundation and references.

微积分论文【第二篇】

所谓纵向议论，就是在提出中心论点后，各层次间是层层深入，步步推进，环环相扣的。或从现象到本质，或从原因到结果，或从普通到特殊，其文章主体结构呈层进式排列。这种思路，表现出作者思维的缜密性和思想的深刻性，这样的文章写出来有时间跨度，有历史的纵深感，能让读者看到事物的变化，把握事物的本质规律。常用的方法有下面两种：

一是按照“提出问题――分析问题――解决问题”的思路行文，即围绕中心论点依次回答是什么、为什么、怎么办三个问题。比如写“生活应该是丰富多彩的”，“是什么”――生活丰富多彩是指生活不应是一种模式；“为什么”――①符合人的本性（人有多方面的精神需求），②有利于人的全面发展，有益于人的身心健康，③有利于充分调动人的积极性，形成生动活泼的局面；“怎么办”――①要会工作，也要会休息，培养多方面的生活情趣，②社会要为人的全面发展创造条件。这种思路的写作重点是“为什么”和“怎么办”，根据具体论题，这两个问题也可各有侧重。

二是按照“摆现象――析危害――挖根源――指方法”的思路行文，这种方法多用来评论某些不良的社会现象。比如有同学写《饮食产品免检岂能“终身制”》，“摆现象”――从一家豆制品厂质检问题入手，联想到相关的社会现象；“析危害”――病从口入，人命关天，饮食产品的质量直接关系人民群众身体健康和生命安全；“挖根源”――失去监督的产品质量必然发生“变化”；“指方法”――不要向饮食企业发放什么产品“终身免检证明”。

所谓横向议论，就是围绕中心论点，在同一个层面上从不同角度展开议论，这些不同角度平行展开，互不交叉，文章主体部分呈并列式排列，恰似“群山万壑赴荆门”。其实，横向议论就是对“是什么”“为什么”“怎么办”三个问题重点进行横向分解，当然，只分解其中一个问题即可。就议论的力度和效果而言，横向展开往往能使议论气韵酣畅，有如巨浪滔天，有排山倒海之势，给读者以强烈的征服感，从而增强议论的说服力和感染力。

如苏洵的《六国论》，先提出中心论点“六国破灭，非兵不利，战不善，弊在赂秦”，然后论述第一个分论点“赂秦而力亏，破灭之道也”，以韩、魏、楚为例；接着论述等二个分论点“不赂者以赂者丧。盖失强援，不能独完”，以齐、燕、赵为例。

用横向议论展开文章在列举分论点时要注意：分论点的切分要统一标准，各点之间不能交叉包容；分论点至少要有两到三个，以示充分；分论点的语言要精练，一般控制在15字内；分论点句子的结构最好一致，使中间几段构成排比；分论点表述要尽量紧扣话题的关键字眼，以保证每一段都扣题；分论点要放在每段开头显眼的位置，以示条分缕析，纲举目张。

为了说明的方便，上面对纵向或横向议论分开作了介绍，而在实际写作中，既有单独运用某一种方式的，也有交叉运用两种方式的，即整体上以纵向结构行文，但在某个局部又有横向结构的展开，或者文章整体上用的横向结构，但在某个段落中又用到了纵向形式说理。我们可以解剖一下大家熟知的《劝学》，文章一下笔即开宗明义提出中心论点“学不可以已”。接着讲“为什么”，先论学习的意义，可以提高自己，改变自己；再论学习的作用，可以弥补不足；最后论“怎样学”，告诉我们学习的方法和态度，即要注意积累，要持之以恒，要专心致志。全文四段，第一段提出论点，二、三段论述为什么，第四段论述怎样学。从整体上看用的是纵向形式，即层进式，但二、三段在分析“为什么”时，又用到了横向议论，即使最后一段告诉我们学习的方法时，作者强调积累、坚持、专心，也用的横向式议论。

所以到底用什么样的方式展开议论，要视具体的论题而异，不同的方式没有高下优劣之分，用纵向议论，好似“深挖一口井”，文章深、透；用横向议论，又好似“广开一片天”，文章广、博；把二者结合起来，文章就既有深度，又有广度了。需要强调的是，无论用哪种方式，一定要在明明白白中为之，不能在稀里糊涂中成就；再就是以得心应手为原则，否则就不能挥洒自如。

下面，我们就以1篇满分作文为例来分析纵横议论的妙处。

我爱这时代

广东一考生

我也偶尔会在文章里，畅想未来斑斓的图景；我也偶尔会在白日梦中，痴想如果我回到古代会有怎样的奇遇。但是如果时光穿梭真的能够实现，如果有人邀请我迁居到另一个时代，我一定会坚定地告诉他：我不愿意。

因为我爱这时代。

我爱这时代，因为我的根在这里。我已经习惯了这里的电视、电脑、洗衣机，习惯了和好友在电话上的闲聊或讨论，习惯了家门口的菜市场，习惯了人满为患的公交车。它们已经融入血液，成为我深深的依恋。回到从前，我无法想象该怎样与古人谈论维生素或是微积分，也不知如何才能使他们接受自由乃至天赋人权。生到未来，我也无法想象，未来的世界究竟会怎样发达，又会怎样的问题重重？我接受了这时代的滋养与教诲，注定了我对这时代无尽的依恋。

我爱这时代，因为这时代充满美与机遇。虽然，这时代里有着像药家鑫杀人、小悦悦遭遇冷漠路人、动车事故、食品安全屡出问题等危机，但这时代里也有“最美妈妈”、“最美女教师”、“最美老外”等真善美的典型。青少年越来越多地投身社会公益，从争当志愿者，到支教助学，到为环保、人权奔走呼吁，他们的身上彰显了品格精神之美，也让人看到，我们的舞台正在变得越来越大，我们有了越来越多的追求梦想的自由。当我看到“菜花甜妈”站在舞台上羞涩而自信地唱出《送你葱》，当我看到18岁少年已经在华为基因中从事喜欢的研究，我知道，这个时代如此美好，这个时代离梦想更近，人生更加丰富多彩，机遇无穷！

我爱这时代，因为建设它的责任已放到我们的肩上。我们从降生之时起，就承载了家庭的期望、祖国的期望。我们也无数次构想过自己的事业，遥望过自己的理想。只有我们能继承父辈的事业，只有我们能为后辈的幸福奠定基石。这份光荣的使命怎不让我们心潮澎湃，心怀自豪！这个时代，既是我责任所在，也是我心之所在。

我为这个时代而激动自豪。纵然还有千千万万个别的时代，它们自有热爱它们的赤子。但我爱这个时代，这是我的根、我的梦、我的责任所在！

微积分论文【第三篇】

关键词：模式方法，极限，微分，积分，分段函数

每年在教学过程中都会遇到许多同学学习微积分感觉困难的问题，其中一个主要原因就是同学们没有顺利完成从初等数学到高等数学的相应转变，而这里面学习方法的转变又是一个关键。对于初次接触大学数学--微积分的大一新生而言，在微积分学习过程中，掌握相关的几个重要“模式”就显得尤其重要了。下面就在一元函数微积分学习过程中所遇到的几种“模式方法”进行探讨。

一、关于极限

众所周知，函数是微积分的研究对象，极限是微积分的研究工具，它贯穿微积分的始终，掌握好函数的极限这一工具，对微积分的学习有着举足轻重的意义。

1．有理函数极限模式

当自变量时，比如对有理函数极限（其中分子和分母均为多项式）而言，该“模式”的特点为：若分母的极限， 则；若分母的极限，而，则；若，则分子分母定可找到相同公因式，约分化简后再按上述两步继续讨论。即，

另外当自变量时，极限取决于分子分母的最高次项的次数，当次数相等时，极限为分子分母最高次项的系数比；当分母的次数高于分子的次数时，极限；当分母的次数低于分子的次数时，极限。论文参考，微分。

2、两个重要极限模式；

第一重要极限模式有两个显著特点：作为分子的正弦函数所包含的表达式要和分母的表达式完全一样；该一样的表达式为在某一变化过程中的无穷小量；结论：该极限为1，即。论文参考，微分。此处需要注意的是，不论自变量是在在何种变化过程下，只需保证表达式即可。论文参考，微分。

第二重要极限亦具有两个类似的特点：底数一定要是1加上某个表达式，而指数是底数所加表达式的倒数；指数部分的表达式要为无穷大。结论：该极限值等于。即。对第二重要极限需要注意的是，在幂指函数的极限中，若底数可分离出1加某个表达式，且该表达式为无穷小，则其一般可以凑出第二个重要极限的模式。

3、无穷小等价替换模式

等价无穷小是一个非常有用的知识点，既然等价，我们就可以替换，从而就有了“无穷小等价替换模式”。该模式一般应用于分时极限，是仅在乘除法时使用，即若，（其中）。

二、关于微分

微分是微积分这门课程的重要构成部分，微分最核心的部分可用微分模式来概括，即函数的微分等于该函数的导数乘以自变量的微分。比如，函数的微分。这里需要强调的是微分一定等于导数乘以自变量的微分，而自变量的微分一般是初学微积分者易于忽略掉的地方

另外，即便是复合函数的微分也遵循这一模式：例如，复合函数的微分

三、关于积分

积分这部分有两个模式是非常重要的

1、奇零偶倍模式，完整的描述为奇函数在对称区间的积分为零，偶函数在对称区间的积分等于2倍的的积分。即

该模式对于计算对称区间上的定积分非常有用，可以节省诸多时间。

例：，其实该积分是不需要利用区间可加性去讨论去掉积分符号的。

2.积分上限函数模式（变上限定积分模式）

这里其实是只讨论积分上限函数的导数的求法，该模式的内容为积分上限函数的导数等于把积分上限带入被积函数后再乘以积分上限的导数。

例：

四、关于分段函数

微积分还有一个能够令初学者非常困惑挠头的地方，那就是讨论分段函数在分段点的极限、连续性、可导性的问题，此处由于都与分段函数有关，从而可归纳为“分段函数模式”。

“分段函数模式”的特点：一定要利用相应的定义（或相应的充要条件）去研究函数在其分段点处的极限、连续性与可导性。论文参考，微分。

分段函数在分段点处的极限左、右极限存在且相等；

分段函数在分段点处连续左、右连续；

分段函数在分段点处可导左、右导数存在且相等。论文参考，微分。

其中，左右极限，左右连续，左右导数一定要用相应的定义去求解或判断。论文参考，微分。

例：讨论函数在处的的连续性。

解：错误解法，，所以函数在处连续。错在忽略 函数在处左右两侧的表达式不一样这个问题。而利用“分段函数模式”解法：，右连续；

，不左连续，从而函数在处不连续。

例：讨论函数在处的导数。

解： 从而。

这种方法显然是错误的，而一旦我们应用“分段函数模式”，这种错误就可以避免。

，

。

显然在处不可导。

参考文献

[1]同济大学数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2007。

[2]赵树嫄，微积分[M]，北京：中国人民大学出版社，2007。

微积分论文【第四篇】

论文摘要微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在计算图行面积和体积，初等数学中的一些应用。

一、在计算图形面积和立体图形体积上的应用

在学习和生活中，我们常常会遇到一些计算图形面积和体积的问题，而且这些图形大多是无规则的，对这些图形的计算，如果用我们中学的计算面积和体积的数学公式是无法解决，因为中学所学的这些公式都是对比较规则图形实用。但是我们应用了定积分，这样的问题就可迎韧而解。

1.计算平面图形的面积

例1.求抛物线y=x2与直线x+y=2所围的平面图形的面积。

分析：根据题目，我以在坐标系们可中画出y=x2和x+y=2所围的图形，即（图一）其中阴影部分就是所要求的平面图形的面积。

解：由于抛物线y=x2与直线x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，

所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有

S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2

2.求立体图形的体积

用类似求图形面积的思想，我们也可以求一个立体图形的体积，例如求一个木块的体积，我们可以利用微元法，把木块划分成n份小块，其每一小块的体积厚度为xi，假设每一小块的横截面积为A（x）i则此小块的体积大约为A（xi）xi，从而将其所有的小块相加，我们可以得到其体积为V≈A（xi）xi，并且当其厚度xi趋于零时，由定积分定义有V=A（x）dx（其中a与b分别为计算体积时的起始值和终了值）。对于旋转体的体积，由于其平面截得旋转体的截面是一个圆，则设曲线y=f（x），其截面面积为A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求体积为V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。

例2.一块由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

分析：（图二）斜线区域即为题意所指的区域，其旋转积求法，可将区域ABQD的旋转体积减去区域ABCD的旋转体积，即为所求。

解：首先来求区域ABQD的旋转体积：

V1=?仔？琢xdx=?仔？琢|=4?仔？琢3

而区域ABCD的旋转体积为一个其半径为a，高为2a的圆柱体，则V2=?仔？琢2•；2?琢=2?仔？琢3

区域CDQ的旋转体积为：V=V1-V2=4?仔？琢3-2?仔？琢3=2?仔？琢3

二、在初等数学中的应用

近些年来，定积分还越来越多的被应用到初等数学中的一些问题上面来，下面就来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限方面的应用。

1.证明不等式和等式

在运用积分来证明不等式时，一般要利用到积分的如下性质：设f（x）与g（x）为定义在[a，b]上的两个可积函数，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，则有：f（x）dx≤g（x）dx.

例3.设n∈N，求证：1n（n+1）<1++……+<1+1nn

证明：设是i任意一自然数，则有：

dx=1n|=1n-1n=1n-1n

在区间（，）上显然有i<=idx从而得：1n-1n<………（1）

<1n-1n…………（2）

由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<

由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n

于是，综上所述：1n<1++……+<1+1n

以上是应用定积分的性质证明不等式，下面再看关于等式的证明。（注意：在运用定积分证明等式时，要根据等式的特点，作辅助函数，然后再直接积分从而证明等式。）

例4.证明：c+++……+=

证明：设f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n

f（x）dx=cx+x2+……+x

同时又有：（1+x）ndx=

cx+x2+……+x=

当x=1时，可得：c+++……+=

此外，定积分还可用来求和式，根据微分与积分互为逆运算的关系，先对和式积分，利用已知数列的和式得到积分和，再求导数即可，这里就不在介绍了。

2.求数列和的极限

在实际的学习中，我们会发现在计算一些数列和的极限时，可以利用定积分的计算法来求某些可以看成是积分和式的数列极限，这样，我们可得出一种求极限的新方法：若f（x）在[a，b]上连续，将[a，b]等分为几个小区间，x=记分点为：?琢=x0于是：f（x0+ix）x=f（x）dx，并且有些数列的一般项？琢n总可以设法写成？琢n=f（x0+ix）x，因此，有些数列的极限问题，则可以转化为定积分的计算问题。

例5.求：（++……+）

解：原式=（++……+）•；＝•；

取f（x）=且在[0，1]上连续，将[0，1]分成n个小区间，则有x=，分点为：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+ix）x=•；，由定积分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。

总而言之，微积分是与应用联系发展起来的。微积分的应用推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

文学，物理学，化学，工程学，经济学等自然科学，社会科学及应用科学各个分支中的发展，而且随着人类认识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

参考文献：