抛物线的标准方程（精编5篇）

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抛物线的标准方程1

本部分内容由抛物线的定义、标准方程及其基本性质组成。 在客观题中，突出考查抛物线的定义、标准方程及其基本性质，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、曲线导数的几何意义等；同时考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及运算能力、逻辑思维能力、灵活运用所学知识分析和解决问题的能力。

重点：熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式，会根据抛物线的标准方程研究得出性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程。 熟练运用坐标法，理解数形结合思想，掌握相关代数知识、平面几何知识的运用。

难点：把几何条件转化为代数语言，进而把“形”转化为“数”。 选择合理、简捷的运算途径，并实施正确的运算。 灵活利用概念、平面几何知识。

1． 抛物线及其性质的基本思路

求抛物线方程时，若由已知条件可知方程的形式，一般用待定系数法；若由已知条件可知动点的运动规律，一般用轨迹法；凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理；解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，还应注意焦点弦的几何性质，针对y2=2px（p>0），设焦点弦为x=my+■，既方便消元，又可避免斜率不存在的情况；可能的情况下，注意平面几何知识的应用，达到“不算而解”的目的。

2． 抛物线及其性质的基本策略

（1）求抛物线的标准方程

①定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程。

②待定系数法：先定位，后定量。根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式，从简单化角度出发，焦点在x轴上，设为y2=ax（a≠0）；焦点在y轴上，设为x2=by（b≠0）.

（2）焦点弦问题和焦半径

①焦半径：抛物线y2=2px（p>0）上一点p（x0，y0）到焦点f■，0的距离pf=x0+■.

②通径：过焦点f■，0且与x轴垂直的弦pq叫通径，pq=2p.

③焦点弦的性质：过f■，0的弦ab所在的直线方程为y=kx－■（k不存在时为通径）.

④弦长：ab=x1+x2+p=■（θ为弦ab的倾斜角）；x1·x2=■，y1·y2= －p2；■+■=■；以弦ab为直径的圆与准线相切。

在抛物线y2=4x上找一点m，使ma+mf最小，其中a（3，2），f（1，0），求点m的坐标及此时的最小值。

思索 “看准线想焦点，看焦点想准线”，可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解。 数形结合是灵活解题的一条捷径。

破解 如图1，点a在抛物线y2=4x的内部，由抛物线的定义可知，ma+mf=ma+mh，其中mh为m到抛物线的准线的距离，过a作抛物线准线的垂线交抛物线于m1，垂足为b，则ma+mf=ma+mh≥ab=4，当且仅当点m在m1的位置时等号成立，此时点m1的坐标为（1，2）.

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点，求线段ab的长。

思索 求焦点弦的弦长有多种方法，既要掌握运算方法，也要考虑一些不算或少算的方法。 数形结合是解析几何中重要的思想方法之一。 一些问题中，充分发挥“形”的作用，可以最大限度地减少运算，“看出结果”。 我们不妨考虑问题的一般情形：斜率为k（倾斜角为θ）的直线l过抛物线y2=2px（p>0）的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点，如何“看出”焦点弦的弦长？

如图2，由图可以看出，fa=p－facosθ，fb=fbcosθ+p，所以ab=fa+fb=■+■=■. 求解过程非常直观，在已知直线倾斜角的情形下，可以直接“看出”焦点弦的弦长。 直线斜率存在时，由k=tanθ，

破解 例2中，k=1（θ=45°），p=2，所以ab=8.

在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：x2=2py（p>0）的焦点，m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点，过m，f，o三点的圆的圆心为q，点q到抛物线c的准线的距离为■．

（1）求抛物线c的方程；

（2）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由。

思索 （1）由抛物线c的标准形式可得点f的坐标和准线方程，由圆心q在弦of的中垂线上可得点q的纵坐标，再由点q到抛物线c的准线的距离列出方程，确定p的值。

（2）存在性问题的常用方法是：先假设结论存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则否定假设；若推出合理的结果，说明假设成立。

思路1：先求切线mq的方程，结合弦of的中垂线方程解点q的坐标，再由点q在弦om的中垂线上解题即可。

思路2：先由点q在弦of，om的中垂线上，再结合切线qm斜率的不同形式表示，列出方程思考。

1． 立足课本，夯实基础

掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力。

2. 熟练通法，步步过关

对相对固定的题型，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固定，要以课本为例，以习题为模型，淡化技巧，理解通性通法，熟练步骤，能作出合理的算法途径设计，基本问题运算过关，破解“想得出，算不出、算不对”的瓶颈。

3. 重视抛物线的综合问题

重视抛物线与直线、圆等的综合研究，尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究。高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑，对性质深入的探究不在于知道一些结论，而是在这一过程中掌握探索的方法，理解解析几何的基本思想方法。

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抛物线的标准方程2

习题挖潜变式探讨用好一些典型例习题，研究其内涵与解法，充分“挖潜”与“变式探讨”，并力求“举一反三，推陈出新”，对培养学生发散思维与创新能力，对掌握一类问题知识间的内在联系与灵活应用，具有极好的数学教育价值与训练功能。

现以《平面解析几何》抛物线习题为例，进行“挖潜”与“变式探讨”，用以说明深挖习题训练功能的巨大教育价值。

题：过抛物y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2。求证：y1y2=-p2

证明：设过F（p2，0）的直线AB：y=k（x-p2）（k≠0）

代入y2=2px得：

ky2-2py-kp2=0

y1y2=-kp2k=-p2

将上题中结论进行推广得：

变题1：过抛物y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的横坐标为x1、x2。

求证：x1x2=p24

证明：由上题结论知：y1y2=-p2

又 x1=y212p x2=y222p

x1x2=（y1y2）24p2=p44p2=p24

进一步，由特殊到一般，将过焦点推广到过对称轴上任一点，使问题得到深化得：

变题2：过抛物线y2=2px的对称轴上一点M（a，0）的一条直线和这条抛物线相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）， 则 x1x2=a2，y1y2=-2pa。

证明：只需将AB设为y=k（x-a）同上可证得结论。

再进一步，利用以上结论可解：

例1：求证：抛物线的通径是经过焦点的所有弦中的最短线段。

证明：设抛物线方程为y2=2px，（p>0）

焦点弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2）

|AB|=x1+x2+p≥2x1x2+p=2p

当且仅当x1=x2=p2时，AB 垂直于x轴，即AB为通径。

例2：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q。过P点和抛物线顶点的直线交准线于M点。求证MQ平行于抛物线的对称轴。

证明：设抛物线方程为y2=2px 点P、Q、M 的纵坐标为y1、y2、y3，由上题结论知：y1y2=-p2

y2=-p2y1

又PM的方程为：y=y1x1x

准线方程为： x=-p2

y3=-py12x1 而2x1=y21p

y3=-p2y1 即y2=y3

MQ 平行于抛物线的对称轴。

例3：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在其准线上，且BC平行于x轴。

求证：AC过原点O。

证明：设A（x1，y1）， B（x2，y2）

由上题结论知：y1y2=-p2

y2=-p2y1

又BC平行x轴，且点C在准线x=-p2上

得C（-P2，y2）

kOC=y2-p2=-p2y1-p2=2py1=y1x1

又kOA=y1x1

抛物线的标准方程3

本专题内容主要包含直线的方程、圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及其几何性质的应用，曲线与方程等知识，是高考考查的重点内容．　平面解析几何知识在历年高考试题中都占有较大的比重，一般选择题、填空题有2题左右，解答题1题，分值大约20分．　选择题、填空题主要考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的定义、方程和其简单几何性质的应用等重要知识，关注基础知识的应用、运算能力和数形结合思想的渗透．解答题大多数以圆锥曲线（主要是椭圆和抛物线）为载体，综合直线、圆、向量、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对坐标法思想、方程思想、数形结合思想、等价转化思想、设而不求思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．

1．　考纲解读：

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）．

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

（3）根据斜率判定两条直线平行或垂直，根据两条直线平行或垂直的位置关系求直线方程中参数的值．

（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）的特点和适用范围；根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；体会斜截式与一次函数的关系．

（5）了解二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

（6）探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离．

2．　考场对接：

通过2012年的考点统计可以看出，在高考题中，本节内容主要以选择题、填空题为主要题型，考查两直线的位置关系，属于基础题，难度不大．对直线与方程的考查，还渗透在平面解析几何的解答题中，与其他知识（圆与圆锥曲线）结合出题．

3．　经典例题：

（2012浙江）设a∈r，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

a．　充分不必要条件

b．　必要不充分条件

c．　充分必要条件

d．　既不充分也不必要条件

失分警示 本题属于基础题，解题时注意判断充分必要条件的步骤，即先验证充分性，再验证必要性，最后综合起来下结论．　在表述的时候要弄清顺序关系，以防发生概念错误．

方法突破 在研究充分和必要条件时，可先求一者的等价条件，再和另一者作比较．

完美答案 当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故选a．

4．　命题趋势：

直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题，单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．

1．　考纲解读：

（1）回顾确定圆的几何要素（圆心、半径，不在同一直线上的三个点等），在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；根据问题的条件，选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，会进行互化．

（2）根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）；根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．

（3）用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

（4）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“数”与“形”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用．

（5）通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；掌握空间两点间的距离公式及其应用．

2．　考场对接：

圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，在2012年高考试题中，主要在选择题、填空题中考查直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是含参数的问题，考题基本上属于中低档难度的题．

3．　经典例题：

（2012天津）设m，n∈r，若直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，则m+n的取值范围为（ ）

失分警示 本题属于中档题，考查直线与圆的位置关系，不等式的性质。　注意不要忽略了m，n∈r这个条件，在运用基本不等式时注意其成立的条件，求取值范围时注意不要扩大或缩小范围．

方法突破 由直线与圆相切的条件可以得到一个关于m，n的等式，观察等式的性质，利用基本不等式的形式消除差异，化为关于m+n的不等式，解出其取值范围即可．

完美答案 因为直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化简得mn=m+n+1.　又当m，n∈r有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故选d．

■ （2012江苏）在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2+y2－8x+15=0，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是_________．

失分警示 本题属于中档偏难题，解答本题时不要被题中的表面意思所迷惑，要透过现象看本质，认真审清题意，将题意中的关系进行合理的转化．

方法突破 数形结合理解题意，将两圆的位置关系化为圆c的圆心到直线y=kx－2的距离的取值范围问题去处理．

完美答案 圆c的方程可化为（x－4）2+y2=1，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则圆c上的点到直线上的点的距离的最小值小于或等于1，则圆心c（4，0）到直线y=kx－2的距离小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点．　而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的

整合问题．

1．　考纲解读：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

（2）掌握椭圆的定义和几何图形及标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

2．　考场对接：

纵观2012年高考数学试题可以看出，选择题、填空题主要考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的理解与应用，椭圆的离心率等相关知识，难度中等；解答题主要考查椭圆的标准方程、几何性质的应用，特别地，直线与椭圆的位置关系问题是考查的热点问题，且有一定的难度．

3．　经典例题：

失分警示 结合图形，审清题意，注意三角形哪个角是底角，细心运算，避免发生运算失误．

方法突破 求解圆锥曲线的离心率（或其范围）的关键是根据已知条件寻求一个关于a，b，c的等式（或不等）关系，再结合a，b，c的固有关系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）关系，从而求得离心率（或其范围）．

4．　命题趋势：

椭圆是命题的热点内容，预计2013年的高考仍将在选择题、填空题中考查椭圆的标准方程、离心率的求解等知识，难度中等；将在解答题中重点考查直线与椭圆的位置关系问题，可能还会出现一些创新题型，如新定义题型、探索性问题、定点定值问题等，此类问题难度较大．同时，会加强椭圆与圆，椭圆与双曲线，椭圆与抛物线等知识的交汇问题的考查力度．

1．　考纲解读：

了解双曲线的定义、图形和标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理一些简单的实际问题；了解双曲线的简单几何性质．

2．　考场对接：

分析2012年高考试题可以看出，双曲线的考题基本上以选择题、填空题为主，主要考查双曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，且出现了双曲线和圆、椭圆、抛物线等的整合问题，总体难度中等．

3．　经典例题：

（2012浙江）如图1，f1，f2分别是双曲线c：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p，q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m．　若mf2＝f1f2，则c的离心率是（ ）

失分警示 本题的解题思路并不难得出，但运算量较大，在认真审题的前提下避免发生运算错误，同时注意双曲线的离心率的取值范围，谨防增根．

方法突破 本题考查双曲线的几何性质的应用，离心率的求解，突破的关键是正确求出p，q两点的坐标（用a，b，c表示），再求出pq的垂直平分线的方程，进而用a，b，c表示出m的坐标，由mf2＝f1f2列出等式，最终化为a，c的关系．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查双曲线的标准方程的求法、定义和几何性质的应用，其中离心率的求解和渐近线问题是考查的热点．　此外，仍会加强将双曲线和其他知识（如圆、椭圆、抛物线）进行交汇出题，题目难度中等偏低．

1．　考纲解读：

（1）掌握抛物线的定义、图形和标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

（2）了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线和圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合思想．

2．　考场对接：

透过2012年高考数学试题可以看出，抛物线是考查的热点问题，考题既在选择题、填空题中出现，也在解答题中出现．选择题、填空题重点考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的定义和性质的应用，以及抛物线在实际问题中的应用，同时还出现了抛物线与双曲线的交汇问题，难度中等．　解答题重点考查直线与抛物线的位置关系，抛物线与其他知识（如圆、不等式等）的整合问题，且出现了探索性问题，难度较大．而曲线与方程的考查则渗透在以上各大知识板块之中．

3．　经典例题：

（2012安徽）过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，若af=3，则aob的面积为（ ）

失分警示 本题属于中档题，有一定的思维量，认真审题，找准关系，运算准确，避免发生思维受阻和运算错误．

方法突破 显然ab是抛物线的焦点弦，且已知af=3，若结合抛物线的定义，则可以求点a的坐标，从而直线ab的方程便可以得到解决，具体见如下的解法一．　本题也可以设角度（见如下的解法二），通过三角关系来表示线段的长度，从而求出三角形的两边及其夹角的正弦值，再求面积．

（1）求抛物线c的方程；

（2）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点m的横坐标为■，直线l：y=kx+■与抛物线c有两个不同的交点a，b，l与圆q有两个不同的交点d，e，求当■≤k≤2时，ab2+de2的最小值．

失分警示 本题难度较大，综合性强，涉及的知识点多，属于直线、圆和抛物线的综合问题，解答时要注意数形结合思想的使用，审清题意。　解答第（1）小题难度不算大，但第（2）小题是一个探索性问题，有较大的运算量，需要扎实的运算功底，第（3）小题将直线、圆和圆锥曲线综合起来，难度较大，需要较强的分析问题和解决问题的能力．

方法突破 第（1）小题结合抛物线的定义以及圆的相关性质可以列出一个关于p的方程，求解即可；第（2）小题可先假设存在点m，利用抛物线的切线斜率和直线mq的斜率相等列等式求解；第（3）小题的解题目标是将ab2+de2表示为关于k的函数，从而化为求函数的最值问题去处理，但求两线段的长度需要用到直线与圆锥曲线相交弦长公式ab=■，以及直线与圆的相交弦长公式de=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．

抛物线的标准方程4

关键词抛物线 切线 角平分线 重要结论

中图分类号G632 文献标识码A 文章编号1674-4810（2015）12-0128-02

一 两个结论

结论1：如图1，F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线，MN是法线，ME是平行于坐标轴的直线，则法线MN必平分∠FME，即φ1=φ2。

结论2：如图2，M、N、P三点在抛物线的准线上，M、N在P点异侧，F是抛物线的焦点，过P向抛物线引两条切线PA、PB，则PA、PB平分∠FPM，∠FPN。

上述两个结论主要考查直线、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识。

二 通性通法分析

比较这两个结论可以看出它们的共同特征：（1）条件：抛物线上的切线问题，给定抛物线C：y2=2px。结论1是在抛物线上任取一点M做一条切线MT，结论2是从抛物线准线上任取一点P向抛物线上引两条切线PA、PB。切点为A、B；（2）研究的问题相近：切线平分角的问题，涉及直线与焦点有关。查阅高考试题及有关高中的数学资料，可以找到诸多与此相似的问题，由于抛物线方程可以看作为函数的表达式，因而研究的思路更加宽阔、活跃，在高考试题中频频出现。

求抛物线切点弦所在直线方程的常见通法是：设出切点坐标，用导数表示切线的斜率写出切线方程，利用已知点在切线上展开思路。（2）联立方程研究位置关系。利用已知设出切线方程，联立切线方程与抛物线方程，利用判别式为0展开思路。（3）待定所求直线方程，通常用斜截式。联立直线方程与抛物线方程，用韦达定理列出切点坐标，再利用导数的几何意义列式消参求出所待定的系数。用导数求切线的斜率和联立方程研究直线与抛物线的位置关系均为课标的要求，在人教A版教材中的例、习题中都有相应的题目。

三 解题思路和策略

两个结论都先从导数的几何意义入手，将切点坐标设出来。

结论1是根据两垂直直线斜率之积等于-1，根据点斜式写出垂直与切线且经过切点的直线方程，计算出此直线与抛物线轴的交点坐标N，计算出|FN|和|FM|的长度，判断出FNM是等腰三角形，再根据ME∥轴线推出内错角相等，即证。详细证明过程如下：

结论1证明：取坐标系如图，设此时抛物线方程为y2=2px（p>0），因为ME平行x轴（抛物线的轴），φ1=φ2，设点M的坐标为（x0，y0），对y2=2px两边求导得：2yy′=2p。

即： 所以，直线MT的斜率为 。

则法线MN的方程是y-y0=- （x-x0），令y=0，

便得到法线与x轴的交点N的坐标（x0+p，0），所以|FN|=

|x0+p- |=x0+ ，又由抛物线的定义可知，|MF|=x0+ ，

|FN|=|FM|，由此得到φ1=φ2=φ3，若M与顶点O重合，

则法线为x轴，结论仍然成立。

结论2是设出切点坐标，利用点斜式写出切线PA所在的直线方程，根据角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，得出切点A到准线的距离与切点A到PF的距离相等。得出PA平分∠FPM，同理得出PB平分∠FPN。

详细证明过程如下：

所以点A到FP的距离等于点A到准线的距离，故PA平分∠FPM，同理PB平分∠FPN。

四 学生应该突破的瓶颈

第一，在解题过程中，不会应用导数的几何意义。导数是解决函数问题的重要工具，导数的几何意义使得求曲线的切线方程十分便捷。

第二，没有养成用数学思想指导、分析问题的好习惯。这类问题的典型特征是变量多、关系式复杂，容易使学生迷失方向，看到很多式子不知如何推算。而产生这种问题的原因是没有用数学思想去指导分析问题，没有从整体上对解题进行规划，明确解题的方向路线。解题思路是围绕如何选择有效途径消参来展开，推算则不再盲目。

参考文献

[1]王诚祥、马家祚主编。直线与圆锥曲线[M].南京：河海大学出版社，2006

抛物线的标准方程5

关键词概念；过程；实质；思维

“抛物线及其标准方程”这一数学概念课的设计独具匠心，充分激发了学生“自我实现”的创造力，使学生成为学习的真正主人。但对抛物线标准方程的四种形式的成因讲解过简，本人认为需要加以补充。而和学生一道经历抛物线标准方程的四种形式的形成过程，追寻抛物线标准方程的四种形式的实质，正是让学生进行一次思维训练和体验数学研究的思想方法的佳机。

每一个数学概念都是科学概念，具有抽象性、概括性、精确性的特点，并有严格的形式。西南师大陈重穆先生提出“淡化形式，注重实质”的观点。而对实质的注重须从过程入门，经过操作体会抛物线、焦点、准线及平面直角坐标系的具体关系和相互影响。使它比较容易与学生已有的知识经验贴近起来，并比较自然而然地提升到理论水平。

抛物线标准方程的四种形式实质是对同一条抛物线在不同的坐标系中的四种表现形式的描述。首先观察定直线l和定直线l外一点F的位置关系。先在透明的玻璃板上画好如图（1）的定直线l和定直线l外一点F，让学生从正面观察发现点F位于直线l的右侧；再让学生绕到透明的玻璃板后面观察发现定直线l和定直线l外一点F的相对位置与从正面观察截然相反，点F位于直线l的左侧（如图（2））;

再让学生倾斜身体使身体与定直线l垂直头朝向点F，观察发现点F位于直线l的上方（如图（3））;再让学生倾斜身体使身体与定直线l垂直头朝向直线l，观察发现点F位于直线l的下方（如图（4））。其实在这个过程当中定直线l和定直线l外一点F的位置并未改变，改变的只是我们的观察角度，在我们眼中点与直线表现出四种相对位置关系。

接着观察以点F为焦点，以直线l为准线的抛物线。仍在透明的玻璃板上按照定义画好如图（5）―1的抛物线，再让学生按照刚才的方法从四种不同角度观察发现焦点F、直线l和抛物线分别表现出以下四种相对位置关系（如图（5））：

其实这里的焦点F、直线l和抛物线都是确定的，只因观察者所处的位置不同，而在不同的位置建立的平面直角坐标系也不同，同一条抛物线在不同的坐标系中分别表现出开口向右、开口向左、开口向上、开口向右，从而推导出抛物线标准方程的四种形式。也就是说，抛物线标准方程的四种形式其实是对同一抛物线不同角度的描述。

这样按知识的发生发展过程进行数学教学，从完整的表象蒸发为抽象的规定，从而使学生对抛物线标准方程的四种形式有一个自然的理解。

通过课后调查发现，当没有和学生一道经历抛物线标准方程的四种形式的形成过程之前，大多数学生都认为抛物线标准方程的四种形式表示的是在同一平面直角坐标系中的四条抛物线的标准方程。事实上，直角坐标系并不是客观存在，它是为了数学研究的方便而创立的一种工具，因人因地可以建立不同的直角坐标系，而研究对象是确定的客观存在。虽然学生知道直角坐标系是可以根据需要人为建立的，但这时他们还是被形式束缚住了思维。显然大多数学生不能领悟抛物线标准方程的四种形式的实质，形成了这种不正确的数学思维。而这种不正确的数学思维没有对解题造成障碍，对短期的教学效果没有直接的影响，所以极易被师生忽视。但从长远来看，这不是一种有效教学。前苏联数学教育家A・A・斯托利亚尔认为：“在教学的每一步，不估计学生思维活动的水平，思维的发展、概念的形成和掌握教材的质量，就不可能进行有效的教学。”所谓数学教学，实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的结果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

从现行的高中数学教学大纲在教学目的中提出：“努力培养学生数学思维能力。”到高中数学新课程标准在课程的总体理念中提出要：“注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”的加强可以体会出：数学教育不能满足于传授给学生数学概念和结论，更重要的是使学生理解数学概念、结论的逐步形成的过程，从而理解数学概念、结论的本质并体会蕴涵在其中的数学思想和方法。

参考文献：

[1]李彩芬。 不预习下的“再创造”教学尝试。 数学教学通讯， 2004（1）